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關鍵詞 線性代數；教學改革；地方本科院校

0　前言

線性代數是高等代數的一大分支。我們知道一次方程叫做線性方程，討論線性方程及線性運算的代數就叫做線性代數。通過線性代數課程的學習，應使學生獲得線性代數方面的基本知識（基本概念、基本理論、基本方法）和基本運算技能，為今后學習各類后繼課程和進一步擴大數學知識面奠定必要的離散量方面的數學基礎。在傳授知識的同時，要努力培養學生進行抽象思維和邏輯推理的理性思維能力、綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力以及較強的自主學習能力，逐步培養學生的創新精神和創新能力。

為了不斷提升線性代數教學質量，提出如下教學改革策略。

1　精選教學內容

對于非數學專業的學生學習線性代數，只要求掌握計算及其在專業上的應用，而對于有關定理的證明并不作太多要求，只要能記住定理的內容，會用就可以了。因此，在教學時要盡量避免從頭到尾講授一些理論知識的來龍去脈，而是在講授理論時，將通俗易懂的實例穿插其中，既讓學生理解知識點，又提高了學習興趣。如果教師在上課時將各知識點通講一遍，效果不好。因此，在教學中，應抓住各知識點之間的內在聯系，精選教學內容，從矩陣這一重要概念入手，運用矩陣的初等變換，重點講授向量的線性相關性、線性空間、線性變換、矩陣的相似對角化、解線性方程組等內容。在教學安排上，應做到博覽與精讀相結合，主次分明。

2　改革教學方法和手段

線性代數相對于其他學科而言，更加抽象難懂；而運用恰當的教學方法和手段，會收到事半功倍的教學效果。

2.1　比較法

前蘇聯教育家烏申斯基曾說過：比較是一切理解和思維的基礎。有比較才有鑒別。在教學中，遇到學生難以理解、又易于混淆的知識點時，引導學生進行比較，找出知識點之間的差異，會收到較好的教學效果。

2.2　啟發式教學

啟發式教學是一種積極的雙向教學方法。在對非數學專業學生進行教學中，教師只要抓住關鍵的幾步，由淺入深，由表及里，突出重點，化解難點，最終達到教學目的。

2.3　合理引進多媒體教學

“一支粉筆、一份教案、一本教材”的傳統的教學方式，板書量大，書寫速度慢，在有限的學時內完成教學任務。教師只能拼命寫、不斷講解，下課后普遍感到疲憊，教學效果也不一定好。線性代數的計算過程很多部分是重復再現，大部分理論的證明過程，對于非數學專業的學生來說不需要掌握，只要能用就行。因此，在教學中恰當地引入多媒體，展現理論的內容，再現重復部分，既可以豐富教學手段，使一些枯燥無味的教學內容變得生動、形象、具體，又可以避免重復勞動，減少課堂板書，提高工作效率。如：行列式的計算、矩陣的初等變換等，重復內容太多，不書寫學生又不易明白；而采用多媒體教學，可以將重復內容直接再現，講清步驟即可。

3　教師在規定的學時內合理安排教學的主要內容及重點

切忌貪多求全及平均使用力量和時間，在教學組織上狠下功夫，形成精煉的課堂教學內容，甚至在備課環節把講授時所用的語言都準備好。抓住主要問題形成精煉的講授內容。對教學內容須分清主次，從而以基本概念、基本理論、基本方法等主要內容為核心形成精煉的內容。對這些內容，保證學時，講透徹。而其它內容，應根據學生的實際情況，可簡明扼要地講解，或者在教師引導下學生自學。教師要注意運用精煉的表達，對講授的語言、板書的運用都講究精煉。除此之外，將多媒體技術引入教學中來，提前準備好教學課件，把書寫冗長的定義、定理的時間節省出來，用于解釋定義的背景、定理的證明及應用，把寶貴的課堂教學時間充分利用起來。

4　構建合理的線性代數教學內容和體系結構

線性代數教學內容和體系結構的設計取決于對線性代數內容的本質的理解、對線性代數課程在人才培養中的地位和作用的認識。“矩陣是線性代數研究的基本代數對象。按照矩陣的觀點，線性代數是研究矩陣在各種意義下的分類問題及標準形理論。” 因此，可以把矩陣理論作為核心內容和主線，來組織、展開線性代數的各部分內容。

5　進一步突出數學思想方法的教學

日本著名數學教育家米山國藏曾指出，學生所學到的數學知識在進入社會后如果沒有什么機會應用，那么這種數學知識在出校門一兩年內就會忘掉。然而，不管他們從事什么業務工作，那些銘刻在大腦中的數學精神和數學思想方法會長期地在他們的生活和工作中發揮作用。 因此，數學思想方法教育是數學教育的根本點，線性代數中充盈著豐富的數學思想方法。通過學習線性代數，鍛煉和培養學生的抽象思維、邏輯思維和空間想象能力，使學生掌握嚴謹、科學的思維方法，具備較強的觀察、分析、解決問題的能力。因此，在線性代數教學中應進一步加強數學思想方法的教學。

總之，線性代數的教學改革是一個很重要的課題。線性代數在不同的專業中有不同的應用形式，我們要從中尋找它們的共同的特點，并根據不同專業在教授線性代數時給出相應的靈活性的變化。整個教學改革需要教師精心設計和實踐，我們將進一步探討有關線性代數的教學改革，使得線性代數的教學能夠更加完善和成熟，為培養具有現代高素質高水平的大學生而努力。

參考文獻

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Explore Applied Undergraduate Colleges Linear Algebra Teaching

YANG Wei

（Department of Mathematics and Physics， Shanghai Dianji University， Shanghai 201306）

Abstract Based on the characteristic of application-oriented college and university， the current situation of education of Liner Algebra and the practical teaching experience， this paper discusses how to further improve the teaching quality in teaching process， and shares the teaching experience and result.

Key words Linear Algebra; application-oriented college and university; mathematical software

線性代數同微積分、概率論與數理統計等一樣，是大學數學的一部分，是一門具有實用價值的工具學科。線性代數主要處理線性關系問題，即數學對象之間的關系，是以一次形式來表達的，它的理論與方法已經滲透到數學的很多分支，同時也能應用到物理學、計算機科學、密碼學、力學、經濟學等學科。①因此，在大多數高校中，不管是理工科學生還是文科商科學生，線性代數是安排在大一或者大二上學期，這樣安排既能使學生慢慢適應大學課程的學習節奏，為后續課程打好基礎;又非常有益于提高學生抽象思維能力和邏輯思維能力，為提高學生的創新能力做好鋪墊。因此線性代數的教學既擔負著傳授知識的責任，又起到培養學生理性邏輯思維能力的重要作用。

線性代數的研究對象是向量、向量空間（或稱線性空間）、線性變換和有限維的線性方程組等。②③向量空間是大學數學的一個重要課題，而且被廣泛地應用于抽象代數、泛函分析、物理學、導航等;含有多個未知量的一次方程稱為線性方程，關于變量是一次的函數稱為線性函數，線性關系問題簡稱線性問題，解線性方程組的問題是最簡單的線性問題。隨著科學的發展，我們不僅要研究單個變量之間的關系，還要進一步研究多個變量之間的關系，各種實際問題在大多數情況下可以線性化，而由于計算機的發展，線性化了的問題又可以計算出來，線性代數正是解決這些問題的有力工具。

在一些新建的理工類本科院校中，學生水平參差不齊，學生對數學的需求由于專業的不同而存在差異，這就給數學課的教學增加了難度。下面介紹這些年作者在應用型本科院校線性代數教學實踐中所得出的一些想法和體會。

1 提高教師自身知識水平

教好一門課的首要前提條件是教師能夠深刻理解和把握教學內容。教師在上課之前備課的過程中，要深刻理解所授知識，知道它的來龍去脈、推導過程、演變原因等等。對于線性代數來說，就要深刻理解矩陣和行列式的意義，從實際應用出發，將這些定義介紹給學生，并要認真貫通地講解行列式計算方法、矩陣求逆的方法等，并比較所有方法的優缺點。如果教師對自己所教的內容缺乏深刻的理解，或者處于似懂非懂的狀態，則在教學過程中，將無法把教學內容最本質的東西交給學生。線性代數是數學的一部分，具有很強的邏輯性，是一門要用心去思考的課。教師能夠真正理解它的每個知識點和這些知識點之間的關系，才能在教學的時候游刃有余，把其中的難點、重點用通俗易懂的語言全部點到，縮短學生思考領悟的時間，并且有利于提高學生的學習興趣。④

2 幫助學生樹立學好數學，尤其是線性代數的信心

由于數學的抽象性、邏輯性以及運算的復雜性等原因，使得很多學生在沒有學學數學之前就對它產生了畏懼和抵觸心理，學習過程中，更是有多數學生感覺學習較困難，以至于沒有學好數學的信心。

針對這種情況，教師在教學時，就要逐步加強學生學好數學，尤其是學好線性代數的信心。首先，在教學過程中，擺脫刻板的形象，改變教師的衣著、語氣等外在形象，使學生眼前一亮，引起他們的注意力。其次，在講課的過程中，盡量用他們聽得懂的專業語言。作為數學專業的老師，對線性代數都非常熟悉，講課時很容易用到一些學生并不掌握的數學用語或者符號，此時若不加以說明，學生便會很茫然。在例題的選取過程中，一定要針對學生的接受程度選擇，而且要做到先易后難，循序漸進，切不可揠苗助長，操之過急，使學生感覺無從下手，甚至使得有些學生產生“即使學了也學不會”的想法。再次，教學過程中，應以鼓勵為主，批評為輔。尤其是對那些自暴自棄的學生，更要多鼓勵，從簡單的題目入手，如計算兩階行列式，使其慢慢增加學好線性代數的信心。在證明一些重要結論等講解理論的時候，不能讓學生產生挫敗感，讓他們自認為很難不可能學會，適時適量地鼓勵督促往往能起到事半功倍的效果。

3 解決實際問題，提高學生學習興趣

隨著現代傳播技術的發展，學生感觀方面越來越挑剔，單純的理論講解證明不能吸引大多數學生的注意力，而一些實際問題，尤其是與學生專業相關的實際問題能極大地提高學生的興趣。另一方面，線性代數本身就是一種應用工具，授課過程中，可以將一些日常生活問題或者與學生專業相關的問題作為例子在課堂上講解，并應用線性代數予以解決，以滿足非數學專業學生的需要。⑤此外，可以將一些實際問題甚至一些趣味問題作為實驗的例子建立數學模型，綜合運用線性代數、微積分、概率論等數學知識，并結合計算機軟件的使用，讓學生得出結果，解決問題，做綜合實驗是很有益的。當學生看到線性代數有這么多適合他們專業的應用時，便提高了他們學習線性代數的興趣。

4 簡化理論證明，加強計算能力，學習數學軟件解題目

和高等數學一樣，線性代數中也有較多的理論需要詳細講解和證明，證明的過程較復雜。對于應用型本科院校的學生來說，他們更加想要學的是用現有的方法又快又準確地解決問題，并不是這些解決問題方法的由來與證明，因此教學過程中，可以講解一下證明的思路與方法，并不需要詳細的證明。

線性代數的許多知識點都需要較復雜的計算，比如，計算矩陣的秩、求逆矩陣、行列式計算、求伴隨矩陣等等，這些計算既復雜又容易出錯，是教學的重點，又是學生學習的難點，考試時的易錯點，因此教學過程中，需要著重講解這些計算方法，讓學生掌握計算過程以及容易出錯的地方，通過例題和課后作業，加強學生的計算能力。事實上，對于上述計算問題，數學軟件都能既快又準確地解決，比如Matlab等，因此，在學生學會筆算之后，可以圍繞線性代數的知識點介紹如何使用Matlab解決這些計算問題。

5 布置適量且難度適中的課后作業;布置開放作業以給學生自由發揮的空間

線性代數的知識點較多，而且每個知識點的計算方法有很多種，故需要大量針對性的練習以鞏固所學的內容。結合人們學習過程中的“先快后慢”的遺忘規律，一定要在上完新課后馬上布置對應的作業，讓學生有針對性的練習。但是，布置的作業除了使學生盡可能地記住所學知識，還需要照顧到大多數學生的學習能力和知識水平，盡量布置題量適量且難度適中的作業。促使學生及時復習，提高學生的時間利用率。

另外，結合線性代數在實際應用中的廣泛性，以及學生渴望解決時間問題的愿望，應當布置一定難度的開放作業，例如簡單的建模問題等，這些問題能夠吸引學生自覺自主地復習所學內容，而且學會查閱資料，與同學討論共同進步。

6 精簡內容

在一般的非重點大學、應用型本科院校中，由于越來越重視實踐技能，導致理論課程的學時不斷減少，因此線性代數在教學內容上應當盡可能地簡化與提煉，以適應這種變化趨勢。而且在應用型本科院校中，學生的素質也相對弱一些，學習氛圍并不是太濃厚，若按照重點大學的課程內容授課通常行不通，學生不易接受，教師講解費時費力，到最后，學生的學習興趣被磨沒了，教師的教學熱情也逐漸減弱，而學生能夠真正掌握的東西卻很少。解決這一問題的一個方法就是將線性代數簡化提煉。著重突出講解定義、內涵原理等，讓學生掌握矩陣、行列式、線性方程組系數矩陣的由來、定義等，學會計算矩陣的初等變換、矩陣的秩、逆矩陣、行列式的計算和線性方程組解的情況以及解的求法等。另外，要了解上述內容的計算機軟件如Matlab等的求解方法。

7 總結

線性代數是一門陶冶情操、增強邏輯能力又很實用的一門學科，在教與學的過程中，我們都能體會到它的力量與魅力。作為大學數學教師，自身也要不斷地擴充學習，用心體會線性代數教學的樂趣。總之，作為新建應用型本科院校數學系的老師，要學會把握理論教學與實踐的關系，不斷探索線性代數教學的教學思想，改進教學新方法與手段，充分利用現代傳播演示技術，為我國培養更多合格的應用技術型人才而努力提高教學質量。

基金項目：本文系上海電機學院重點教研教改項目（項目編號：A1-0212-00-010-06）的研究成果

注釋

① 同濟大學數學系.工程數學線性代數（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

② 王海俠，孫和軍，王青云.改進線性代數教學方法的幾點想法[J].高等數學研究，2010.13（6）：13-15.

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一、推進線性代數教學的高效化所要解決的問題

1.缺乏背景知識的講解

線性代數作為一門必修課，其理論體系日臻健全，不過因科技進步與教育教學體制的深化，近些年來，對于線性代數背景改革的探討也在日益發酵.就目前而言，高校雖普遍開設線性代數教學，但教學的內容未有實質性的創新，數學的重要背景知識被嚴重忽略，證明例題與重要定理依然占據教材的相當版面，致使學生不知“為何而學”，教學效果不見起色.

2.教學質量有待提高

現今高校片面地注重科研、輕視教學，這也讓教師在很大程度上把教學的重心放到科學研究上.誠然，科研會極大地推動教學，不過，教學畢竟用于實踐，更是知識與技能的升華與釋放；而科研僅是汲取和革新知識的過程.假若不能正確地對待與處理兩者的內在關聯，則會損害線性代數的教學質量和效益.

3.教學中未體現其實用價值，影響高效化課堂的打造

一方面，線性代數教材中的例題和習題占據絕大部分內容，特別是習題，雖習題是本著強化知識的原則而科學設置，然而，習題本身也未能同生活實際進行緊密結合，學生們常感到解答題目無多大意義；另一方面，在大學生面臨更嚴峻的就業形勢的情形下，學生難免有急于求成的心理，期盼著學以致用.一旦線性代數的學習內容與就業或生活相脫節，大家會立刻喪失學習的基本興趣與熱情，甚至對枯燥的公式與定理產生抵觸情緒，教學的高效化也就無從談起.

二、線性代數高效化教學方法分析

1.將多媒體運用到教學的每一環節中，激發學生學習的興趣

眾所周知，新課程理念在教育界已深入人心，多媒體也成為教學的重要輔助手段.傳統意義上，教師與學生仍延續“一對多”的低效教學模式，這種模式無論從教學效率還是課堂氛圍都是不符合新課改原則的.長此以往，教師因不清楚學生對抽象的線性代數概念、定理、公式的認知與把握，便會阻礙教學進度，妨礙師生之間的有序溝通與互動.基于此，借助于多媒體這一圖文并茂、視聽結合的先進技術手段，教師與學生在每一個教學環節均能實時交流，每一教學知識點的講解，學生們均能化“抽象地聽講”為“清晰地理解”.同時，教師采用在黑板上列出課堂筆記與制作多媒體課件相融合的方式，從知識點細微處出發，從結構上捋順，學生們便會學有所獲，通過豐富有趣的課件打破死氣沉沉、壓抑的課堂氛圍，激發學生探索線性代數奧秘的興趣，把學生的課堂注意力高效地集中起來，引領學生在趣味教學的氛圍中獨立思考，及時解決問題，凸顯課堂的高效運作.

例如，學習“行列式與矩陣”時，由于學生常把兩者的定義相混淆，將其符號或計算方法混為一談，教師便要借助于多媒體展示信息量大、直觀、清晰優勢特征，將行列式與矩陣的概念、計算方法等知識點和例題制作成多媒體課件，學生們在課堂教學中通過細致觀察，便能解開學習過程中的“死結”，從課件中更清楚地理解行列式的本質是在明確某一類運算規律之后經由計算得到的一個數，而矩陣則代表由若干數字形成的一個表.當然，通常意義上，行數不等同于列數，僅兩者相同的矩陣才擁有相應的行列式.通過多媒體課件對知識點的梳理與對比，大家不但能糾正、避免上述錯誤，還能懂得線性代數教學中，善于總結、高效學習的意義所在.

2.創新教學手段與途徑，提高教學質量

誠然，線性代數抽象性較高，邏輯推理十分縝密，原本機械化的講解與程式化的理論讓內容變得更難于理解.教師需換位思考，意識到創建高效化課堂需打破陳舊的、老套的教學模式.為此，教師需從學生實際的數學水平與學業能力出發，不失時機地變革與創新教學途徑和手段，變過往“被動地講授”為學生“主動地探究”，徹底摒除“一言堂”式的落后教學模式，時刻讓學生扮演教學的“主人公”.

例如，高等數學中有一類很重要的思想——數形結合，這便離不開數學建模的引進.在教學中，教師要將數學建模融合與教學內容進行有效結合，鼓勵和鞭策學生充分調動自身的主動性、積極性和創造性去探究未知知識，切實把抽象的線性代數知識通俗化、簡易化.講述矩陣的“特殊向量”及“特征值”時，學生通過研究例題與教師講授，僅知怎樣求特征向量與特征值，對兩個概念的含義認識不清.教師不妨從幾何意義，通過畫出橢圓的方式，將抽象的概念融入到圖形之中，促使學生從直觀的角度加深對兩個新概念的理解與掌握.這樣一來，大家在學到新知識、理解新定義的同時，教學質量自然而然也獲得了提高.

3.巧妙引入教學的背景知識，注重知識點的介紹方法

學生們常會有這樣一種感覺：線性代數在引入新概念時，如若沿用純粹定義和推導加定理的方式，會嚴重挫敗學生探究、掌握知識的積極性，也達不到深刻理解概念的目的.有鑒于此，現今不少學生在線性代數的學習時，便會純粹地應付題目，對教學中的背景知之甚少.為緩解、避免這種教學現象，教師需對線性代數的背景知識進行簡要的介紹.學生們通過了解線性代數中概念的來龍去脈，有利于激活自身的想象力和創造力，深化對這些概念與知識點的理解，進而擴大知識范圍，提高數學修養.

例如，行列式是學生初學線性代數時所接觸的概念，如若教學處理不當的話，教師直接講述抽象的定理與計算方法，那么學生會對線性代數產生厭倦情緒，不利于線性代數教學的后續開展，更不必說教學效果的提高了.從這個視角上看，教師需向學生們補充一些關于行列式起源的故事.在課堂上，教師可采用教具與多媒體相結合的方式，讓學生們欣賞萊布尼茨與關孝和的歷史照片，大家對這兩位行列式“先祖”的生平與數學成就有一個宏觀認識后，學習興趣會大增.教師要“趁熱打鐵”，活躍課堂氛圍，告知學生行列式是為解答線性方程所引入的數學工具.由此一來，大家獲取知識的熱情會進一步上漲，教學氛圍會變得異常生動活潑，學生們也不會漫無目的地學習、訓練，大家會以兩位數學家為榜樣，汲取和吸收他們身上高貴的科學精神與氣質，在學習中主動把行列式的概念與計算方法同生活實例相聯系，更能體現教學的實用性.

4.增強學生的應用意識

如今，高等院校越來越注重學生實踐能力與應用意識的考核與培養，線性代數無疑給全體高校學生提供了難得的實踐應用平臺.實際上，線性代數隸屬于數學，但其應用范圍已遠遠超過數學領域，在密碼學、生物學、物理學、經濟學等諸多學科中均有廣闊的用途.所以說，教師需在課堂上通過列舉應用案例的形式，不斷培養學生的應用能力，真正實現學以致用、學用相長.

例如，在信息技術日新月異的今天，計算機輔助設計、密碼學和圖形學等現實技術無一不以線性代數作為理論根基，而相當一部分學生對這些方面頗感興趣.因此，教師不妨在線性代數教學中適當地滲透相應的知識要點，并重點讓學生理解和熟知線性代數在這一系列學科中的應用狀況，為其做一些點撥與導向工作.

5.引入實驗優化教學內容，發揮學生教學主體地位

教師可通過線性代數軟件鼓勵學生設計和解決若干問題，引領學生在實踐中進一步理解、深化、運用所學知識，掌握線性代數的基本規律，了解常用的計算方法，進而完全掌握線性代數的基本理論、基本運算、基本知識.經由這樣的學習與訓練，學生們在熟練掌握的基礎上，熟能生巧，有所創新.數學實驗便是一種借由實際操作獲取解決問題方法的有效手段.在新課改的大背景下，數學實驗作為學生自主學習的動力和源泉，對學生培養自主學習能力和創新能力是大有好處的.

結語

總而言之，線性代數教學的質量高低取決于師生共同努力與良好課堂環境的形成.教師應不斷推進教育教學改革，正視阻礙線性代數高效化教學的問題，積極嘗試各種激發學生興趣、挖掘學生潛能的教學措施，力促線性代數教學收獲事半功倍的效果.

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線性代數是高校理工科及經濟、管理等專業普遍開設的一門公共必修課程，同時與其他數學基礎課程相比較，線性代數課程的特點是知識點瑣碎、概念符號及定理公式多，內容抽象而具體實例少，使得學生在學習這門課程時普遍感到有一定的難度。因此在教學過程中教師不僅要幫助學生理解和掌握線性代數的基本知識，同時也要轉變其固有的思維模式，逐步培養其抽象思維能力和邏輯思維能力。

1 重視主線教學，以此建構知識點關聯，培養學生的邏輯思維能力

線性代數的內容主要包括行列式、矩陣、線性方程組、向量、二次型、線性變換和線性空間。在教學過程中可以任意模塊為中心展開進行講解。鑒于大學一年級是中學教育階段與大學教育階段的“接口”，學生入校還沒有適應大學的生活，也沒有相應的代數和幾何方面的知識做鋪墊，因此選擇以線性方程組為中心，這種結構符合系統性、科學性，而對于初學者來說更易于接受。以線性方程組為核心即認為線性代數的基本問題或研究對象是線性方程組，線性方程組主要包括以下三方面內容：（1）判斷線性方程組有沒有解，即解的存在性問題；（2）若方程組有解，是唯一解還是無窮多解，即解的唯一性問題；（3）若方程組有無窮多解，解之間的關系怎樣，即解的結構問題。

圍繞線性方程組輻射于各章，引出行列式、矩陣、向量等的概念和理論，由此理清章節關系，整體把握該課程內容，培養學生的邏輯思維能力。

2 重視概念教學，由淺入深系統培養學生抽象的思維能力

線性代數課程明顯特點即知識點零碎，怎樣把知識完整而又具體地傳授給學生是擺在教師面前的迫切問題，教師不僅要對這門課程整體上有把握，弄清各章節之間的關系，而且還要對瑣碎的知識進行重組加工，使得它脈絡分明，重難點突出。眾所周知，線性相關性是向量的最基本的關系，而它本身又是線性代數中非常抽象的概念。可以先從平面上兩個向量的共線和空間中三個向量的共面談起，借助中學所學的知識喚起學生的共鳴，有了這些鋪墊之后，線性相關性概念的理解也就達到呼之欲出的效果了。由特殊到一般、由具體到抽象，使學生從最低的門檻進來，從高門檻出去！這樣逐步培養學生的抽象思維能力。比如線性變換是線性代數的重要概念，從中學所學的數的運算著手，介紹向量和矩陣的運算，而這些運算都歸結為加法和乘法兩種運算，這兩種運算以線性關系反映在圖形上，這樣使學生有了“線性”的初步認識，同時線性變換就是一種映射，而映射在不管是在中學數學，還是高等數學里都有了詳細介紹，因此有了這些背景之后對線性變換的理解就更具體了，沒有鋪墊的概念學生是理解不透徹的，沒有背景的定義是野蠻的“被定義”！在教學過程中不斷地培養學生能從大量具體的事物，抽象出它們的共性的一種歸納總結的數學素質。

3 重視實踐教學，培養學生的動手能力、創新能力

線性代數是一門古老而又年輕的數學學科，稱其古老是因線論可以追溯到柏拉圖的四藝：算術幾何天文音樂；孔子的六藝：禮樂射御書數。稱其年輕是因線性代數的計算于20世紀60年代伴隨著計算機技術的發展才蓬勃發展起來的，使得線性代數的應用擴展到越來越多的領域。應運而生的MATLAB數學軟件拓展了線性代數實際應用的范圍，比如逆矩陣在保密編譯碼中的應用、交通流量的分析、建立信號流圖模型等實際問題在MATLAB的環境中都有科學的分析及解決。

4 重視教師研究水平，逐步培育學生對科學的濃厚興趣及主動獲取知識的能力

5 教師的全心投入教學是使教學內容生活化、教學過程有趣化的前提條件

興趣和愛好是最好的老師，學生往往注意那些能引起興趣的形象和讀物，而對那些缺乏興趣的東西不愿注意。而教師的用心教學會捕捉到很多教學內容生活化的素材，增加教學過程的趣味性，提高學習的積極性。在講解逆矩陣的內容時，巧妙引入《潛伏》中的接收電報、破譯密碼的劇情，恰當地介紹逆矩陣在保密編譯碼中的應用，使得抽象內容生活化，教學過程有趣化。在講解特征值特征向量理論時，結合Google搜索引擎的優越性，Google 搜索引擎的顯著優點是它搜索所得到的條目是按其重要性（主要指相關性和有用程度）排列起來的。這是得益于它的創始人Sergey Brin 和Larry Page 首創的Page Rank 算法，而支撐該算法的就是矩陣的特征向量理論。通過這些興趣點的刺激，筆者相信學生對相關知識的掌握應該能達到預期效果。

參考文獻

[1] 陳維新.線性代數（第二版）[M].北京：科學出版社，2007.

[2] 同濟大學數學系.工程數學教研室.線性代數（第五版）[M].高等教育出版社，2007.

[3] 張志讓，劉啟寬.線性代數與解析幾何（第二版）.高等教育出版社，2009.

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1.2有助于對代數知識的接受和掌握

在工科數學中，強調的是計算和應用，往往忽略嚴格的數學證明。對于沒有給出證明的代數結論，學生往往懷疑它的正確性，進而，影響他們對代數理論的應用。為了避免此種情況的出現，以解析幾何為例來簡單地闡述代數結論的正確性。例如：線性方程組解的個數有三種情況，即無解，有無窮多解和有唯一解。課堂上教師很少嚴格去證明這個性質。但是，可以通過平面上一些直線的公共點及空間中一些平面的公共點的個數，自然地引出一般線性方程組解的個數。這樣，學生不僅在一定程度上可以接受這個結論，而且對該結論有進一步的認識，便于他們對結論的掌握和應用。

1.3有助于將復雜的代數證明簡單化

線性代數理論的論證往往是符號的一個嚴格的邏輯推理過程，這對于初學者來說有一定的難度。但有時可以用簡單的幾何圖解論述抽象、復雜的代數理論，例如：三個向量共面的充要條件用幾何圖解即可證明。用幾何方法證明代數問題，既能規避代數推理的邏輯性要求，又能使證明更加形象化和立體化，從而在增強學生學習興趣的同時，讓學生了解解析幾何在線性代數中的作用，感知代數的數與幾何的形的完美結合。

1.4有助于培養學生用代數方法處理幾何問題的能力

線性代數的抽象性使學生在學習線性代數的過程中，經常問這樣的問題：學這門課有什么用。對學過這門課的人來說，這已經不是個問題了。但是，對于初學者來說，特別是大一的學生，這是需要解決的問題。因此，在講解完一個抽象的定理、命題后，盡可能多地介紹一些應用，特別是在解析幾何方面的應用是必要的。以解析幾何作為線性代數的應用實例，既可以幫助學生鞏固已學的解析幾何知識，理解新學的線性代數知識，又可以在應用中建立兩門課知識間的聯系，完善知識體系，將知識融會貫通。線性代數理論能夠解決很多幾何問題，如應用線性方程組的解的結構理論可研究平面的位置關系，直線和平面的位置關系；應用二次型理論可以解決二次曲面的分類問題。教師可以提供給學生這些實例，讓學生學會用代數方法解決幾何問題。

2.將解析幾何融入線性代數教學中應注意的幾個問題

2.1不能通過沒學的或難于理解的知識講解新知識

將解析幾何融入到線性代數的教學中是目前普遍提倡的教學方法。但是，微積分和線性代數都是大學一年級的課，教師在使用解析幾何知識的時候，一定要考慮學生在微積分中是否已經學到該知識點。如果通過學生還不了解的幾何知識去講解代數問題，那么不僅不利于學生對代數知識的理解和掌握，而且會影響學生對幾何知識學習的興趣。因此，教師授課前一定要了解學生當前的知識水平，根據學生實際情況，采用恰當的教學方法。

2.2教師對解析幾何與線性代數的內在聯系要有深入地理解

將解析幾何融入到線性代數教學中需要一個重要的前提，就是要求教師對解析幾何與線性代數的內在聯系有深入地理解。在高等院校，大部分教師都有自己的專業，講授線性代數課的教師不一定熟悉解析幾何知識，因而不一定能準確地了解解析幾何與線性代數的內在聯系。在這種情況下，無法保障這種教學模式的有效實現，可以通過開放式課堂解決這個問題。在開放式課堂上，教師既可以通過學習解析幾何知識，理解解析幾何與線性代數的內在聯系，又可以通過與有經驗的教師交流實現教學效果的提升。

2.3教師要與時俱進，掌握新技術、新方法

解析幾何是圖形的科學，因此有直觀性和形象性。為了更好地將解析幾何的這種特性滲透到線性代數教學中，需要教師繪制圖形以此闡述線性代數中定義、定理所要表達的含義。但是，一些立體幾何的模型，在普通條件下難以實現，而利用多媒體技術可以形象、直觀地將一些現象和性質顯現出來。例如：二次曲面的命名是根據截面的形狀給出的，如果讓一個教師在課堂上手繪馬鞍面，講述截面形狀，難度很大，而利用多媒體技術，可以很輕松地完成這個教學。這說明將解析幾何融入到線性代數的教學中單靠傳統教學方式是不夠的，教師要與時俱進，掌握新技術、新方法，更有效地提高教學質量。

2.4有效地將解析幾何與線性代數兩門課程合并

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20世紀60年代以來，歐美等發達國家在國家教育戰略規劃下，提出了基于問題的學習模式，產生了良好的效果。基于問題的學習是一種發現探索式的學習，是一種促進創造性思維發展的研究性學習方式。20世紀60年代以來，美國一流大學為本科生提供機會，讓他們積極參加本科生科研項目的研究活動。20世紀80年代中后期，“本科生參與研究”逐漸被美國的教育界所重視。“本科生參與研究”成為了本科生教育改革中的一個重大舉措，美國研究型大學一般都設有校級本科生科研管理機構。清華大學也提出了“創建研究性的本科教學體系”，是在國內進行研究性學習的一個初步嘗試。教育部在“985”“211”高校推行本科生創新計劃，目的在于高年級本科生參與科研，養成科研創新意識。

所謂研究性學習，是指在教師指導下，學生根據各自的興趣、愛好和特長，選擇不同研究課題，獨立自主地開展研究，從中培養創新精神和創造能力的一種學習方式。

教師講授、學生聽講，是當前大學課堂的主要教學方式，而且很多高校線性代數課程課時少、進度快，采用大班教學，課堂開展研究性學習比較困難。我們選擇在平時將研究性課題的題目布置給學生，將學生分組，讓學生利用課余時間做研究，最后形成研究報告。

為了保證研究性學習的順利進行，教師根據教學的具體情況創設問題情境，促進學生思考，使他們發現問題，并激發他們探索的動機。教師要提供有關文獻資源，以供學生檢索研究。筆者認為，我們可以根據教材的主要內容、知識、方法來設立研究課題，也可以根據近年來相關領域研究的熱點，比如從近兩年來的國際數值代數會議的內容，了解與線性代數課程相關的熱點來確立研究課題。筆者曾在教授線性代數課程時提供如下課題：（1）概念定理的延伸；（2）教材中相關知識點設成的專題；（3）圖像處理中的矩陣計算；（4）線性方程組的常見數值計算算法；（5）大規模線性方程組的數值算法、稀疏線性方程組的求解算法。課堂上概念或定理的引申，可以鞏固基礎還可以培養學生的創新能力；對相關知識點形成專題性的研究性學習，可以培養學生搜集資料，再進行歸納總結的能力，有助于啟迪學生從熟悉的知識點上探索出新的問題。對后四個課題的研究性學習，激發了學生的學習興趣，促進了交叉學科的學習，拓展了知識視野，學生學會了一些科研方法，綜合提高了全面素質。

矩陣是線性代數課程中的一個重要概念，矩陣的秩、矩陣的初等變換是線性代數中研究線性方程組的重要工具。在講矩陣時常常會介紹財務報表，學生的成績表就是一個矩陣。圖像處理是近幾年來研究的熱點，矩陣是圖像處理中的一個基本工具，因此可以將圖像處理中的矩陣計算問題作為一個研究課題。

線性方程組是線性代數的重要內容，教材中研究線性方程組的解的結構、通解的求法。大多線性代數教材沒有介紹線性方程組的數值計算，線性方程組的數值計算可以作為一個研究課題。近年來壓縮傳感是一個研究的熱點，該領域研究線性方程組的稀疏解的計算，而且往往是大規模的線性方程組。大規模線性方程組的求解是近年大數據時代研究的一個熱點，大規模線性方程組的數值算法、稀疏線性方程組的求解算法都可以作為研究的課題。

教師要引導學生通過對問題的分析、探索，進行假說、討論或歸納等一系列再發現的認知操作過程，尋找解決問題的方式。另外，學生在研究性學習中占有主體地位，所以要求學生具有一定的數學以及其他各學科的知識基礎，具有較高程度的學習自主性。同時，學生還要有能力安排自己的研究活動，并利用可用的學習資源。

另外，在課外開設新生研討課是開展研究性學習的有效形式。清華大學、南京大學、浙江大學等高校引進新生研討課，大部分學生認為研討課討論氣氛活躍、主題深入，拓展了知識視野，提高了口頭表達能力。他們在研討課上學會了一些科研方法，學習方式也從被動學習變為了主動學習。哈佛大學認為，從大學生一入校，大學的主要努力方向就是使他們能夠成為參與發現、解釋和創造知識或形成新思想的人，這彰顯了大學研究性學習最基本的價值觀，也是研究型大學在發展學術、開展科研過程中應當要確立的目標。

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線性代數是理工科類學生的基礎課程，對于本獨立學院的經管類學生來說，也是一門必學課程，本課程旨在培養學生嚴密的邏輯推理能力、獨立思考能力、綜合歸納能力、對數據的處理與計算能力.但是，基于我院辦學實際，針對我院學生興趣點和思想特點，培養學生對數據的處理能力、獨立思考能力、綜合歸納能力，是本課程的改革目標.

二、課程改革的定位與思路

（一）課程的定位

對于本院大多數專業來說，本次課程改革的定位與國家高等教學本科線性代數課程的基本要求和國家碩士研究生入學統一考試大綱的要求相接近，即略低于基本要求，而對于經統專業與經濟統計專業，本次定位在二者之g，即達到并超過基本要求，且與考研接軌.通過課程改革把課堂教學與生活體驗結合起來，使大學生正確把握學習線性代數課程的要求與目標，使學生學以致用.

（二）改革的思路

隨著時代的進步與科技的發展，線性代數的應用日趨廣泛，當今社會的發展對人才也有了更高的要求.傳統的以教師為主體、以課堂為中心、以掌握理論知識為目的的教育教學理念難以滿足社會的需要，為了更好地培養適應社會需要的應用型科技人才，教師教學過程應當以學生為主體、以專兼職結合教師團隊為主導，培養學生的邏輯思維能力、數據的處理能力、縝密的推理能力，采用多種方式、多元評價等相結合的方法對學生進行考核，建立慕課平臺，隨時為學生解決疑惑，為學生提供至少每周一次的晚自習輔導，積極引導和培養學生的邏輯推理能力和應用能力.

三、課程改革的實施

（一）教材編寫

1.教材使用與建設.為了適合我校實際情況，提高教學效果，本次改革教學中使用自編教材――由經濟科學出版社出版的《線性代數》，并配套有習題冊進行教學，此次的教材，受到了廣大學生的喜歡，也得到了校內外同行的認可.

2.促進學生主動學習的擴充性資料.與《線性代數》教材配套，教研室還編寫了《線性代數習題冊》，本習題冊中有詳盡的知識點的總結、例題的擴展，使得學生在離開課堂后也能通過習題冊去回顧老師課堂的知識，既增加了學生學習的興趣，又養成了課后復習的好習慣.本習題冊每章結構如下：（1）主要內容，即本章所有知識點的歸納總結；（2）學法建議，即明確指出學生掌握某一知識點的方法與方式；（3）疑難解析，即本章的重要例題，并有詳細的解答過程；（4）習題，即配套教材的每一小節，對應的練習題，另外，還有本章的總結復習題――總習題.本習題冊知識點詳細，結構合理，在學生學習的過程中起到了指導性作用，極大地促進了本課程的教學.

（二）教學要求

教學方法：線性代數是一門高度抽象并且概念性強的課程，其計算量大，推理過程復雜，因此教學方法的優劣直接關系到教學效果的好壞.

1.加強基本概念的教學，重視概念的引入.線性代數課程中的概念較多，較抽象.

2.重視推理過程.不僅培養了學生的邏輯推理能力，而且學生也能體會到此過程的樂趣，同時也感覺到線性代數并不難，是可以理解的.

3.發揮典型例題的作用.線性代數課程知識量大，但題型固定.要使學生學好這門課程，一定要配套典型題型.對典型例題逐一講解，或者一題多解，培養學生分析問題解決問題的能力，培養他們發散思維的能力，激發他們的學習興趣，活躍學習氣氛，都是很有幫助的.

教學手段：

①利用多媒體教學，不僅節約教學中的簡單運算和大量書寫時間，還可以增大課堂信息量.②開發網絡答疑系統，師生“面對面”容易產生互動效果，提高學生的學習注意力與興趣.③豐富教學生活.

（三）建設目標

線性代數課程是我校經管分院，會計分院，管理分院等各個專業的專業基礎理論課程.該課程對我校各個專業后繼課程的學習起著舉足輕重的作用.

教材建設：

在《線性代數》教材方面上，繼續使用自編優秀教材.組織教師針對不同專業編寫高水平的教材，完成本教材的第二版修訂，使教材重點突出，主線清晰，知識結構更合理，定理的推導過程細致縝密，典型例題的解題方法多樣化，爭取在本教材的實踐教學中，得到學生與校內外同行教師的認可.

在《線性代數習題冊》方面上，呈現出“漸進性，多層次”，以適應不同專業不同層次的學習，突出本習題冊的四大模塊，尤其是學法建議與疑難解析，使習題冊的內容由淺入深，由易到難，本著“強調基本方法，增強解題能力，開拓解題思路，提高綜合能力”的原則，對學生學習本課程起到良好的促進作用.

在慕課建設方面，完成本課程的慕課建設，提供學生免費下載平臺，使學生隨時隨地學習，同時，建設師生互動平臺，解決學生在學習過程中出現的疑難問題，調動學生學習本課程的積極性.

教學條件建設：

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一、引言

線性代數是大學理、工、管等學科的共同開設的一門重要基礎理論課，在大學數學中占有重要地位，隨著計算技術的發展和計算機的普及，線性代數作為理工科的一門基礎課程日益受到重視，如何使線性代數的教學內容與各個學院專業相結合一直是研究熱點。由于線性代數內容的偏抽象性，而各個學校一般課時安排偏少，如何提高線性代數課程的教學方法值得進一步研究和探討。

傳統的線性代數教學偏重于自身理論體系，強調線性代數的基本概念、定理和證明，對線性代數的數值計算方法和應用重視不夠。對于軟件學院學生來說，將來的培養目標是應用性開發人員，更多的學生將從事一線軟件開發工作，這與計算機學院以及其他一本理工科院系學生有很大不同。所以，如何更好的將線性代數課程內容與后期計算機專業課結合起來，如何將線性代數中的抽象數據處理與數學模型建立方法應用到軟件開發過程中，是線性代數課程教學過程中要思考的問題。

數字圖像直觀的說就是計算機和各類智能機上顯示的圖片，這些圖像如何實現？和線性代數的哪些內容有關系？把這些聯系融合在教學內容中，既增加學生對線性代數課程的興趣，又降低了課程的抽象性。線性方程組是學習線性代數課程的基本內容，也是學生中學時代學習過的內容，在線性代數教學課程中以線性方程組組求解為主線進行教學，可以更好的降低學習難度，提高教學效果。

在新課標下，高等數學的核心內容微積分知識學生在中學已學過，而且微積分的導數可以理解為切線的斜率、運動的速度，定積分可以理解為求圖像的面積、由速度求路程，這都比較自然，容易理解。而線性代數核心概念矩陣對學生來講是陌生的，有關矩陣的知識讓他們感到不好理解，比如線性相關、線性無關是什么意思，有什么用？所以抽象是線性代數學習的攔路虎，由此導致學生學起來困難，對該課程不感興趣。

本文以我校軟件學院的線性代數課程教學為基礎，以我院二本學生作為實驗對象，結合數字圖像處理概念和線性方程組求解問題，對線性代數課程進行教學研究。通過實際教學測試，結合了數字圖像和方程組的線性代數課程教學效果有很大提高。

二、線性代數概述

線性代數（linear algebra）涉及的運算主要是稱為加減和數乘的線性運算，這些線性運算須滿足一定的性質進而構成線性空間。線性代數需要解決的第一個問題就是求解來源于實際應用問題的線性方程組。從廣義的角度看，線性代數研究線性科學中的“線性問題”。矩陣和向量是重要的代數工具，在一定的意義上，它們以及其上的一些運算本身就構成線性空間。因此，線性代數的主要內容分別是線性方程組、向量空間、矩陣代數，以及與線性變換密切相關的方陣的特征值和二次型這種線性空間之間特殊的雙線性函數等。線性代數的特點是內容較抽象、概念和定理較多，前后聯系緊密，環環相扣，相互滲透。

為何要學習線性代數？線性代數是一種數學建模方法，科研工作者必須掌握。線性化是重要的數學方法，在高等數學特別是優化問題的討論中會用到。在計算機程序設計語言特別是MATLAB中，矩陣是最基本的數據結構。在微積分（高等數學）、微分方程、離散數學、算法分析與設計、計算機圖形圖像處理及數字信號處理等課程中，矩陣、向量、線性變換是經常要用的知識。隨著計算機的普及，線性代數在理論和實際應用中的重要性更加突出，這使得諸如計算機專業、電子信息專業、自動控制專業以及經濟管理專業等對線性代數的內容從深度和廣度方面都提出了更高的要求。

三、線性代數教學探討

1、數字圖像與線性代數關系

數字圖像學生并不陌生，在智能手機普遍使用的條件下，學生基本人手一部，智能手機的拍照功能基本每一個學生都在用，拍出來的照片就是數字圖像。數字圖像恰恰以矩陣的形式存儲，當我們說一副灰度圖像 的像素為 時，實質指的是這幅圖像有一個 的矩陣組成，即

而在某些討論中，可用傳統矩陣表示方法，即

矩陣中每一個元素的值從0-255之間取。所以我們在介紹線性代數知識的時候將數字圖像作為例子加以引入，會讓學生覺得知識不再那么抽象，讓學生感覺到知識用在什么地方，從而對這門課增加興趣。

當介紹線性代數運算時，有矩陣的加、減、乘和數乘，以數乘為例，其定義為，

若 為常數，則

每當學生學到這個定義的時候都會問，這個定義有什么用？這時我們以數字圖像為例來給學生解釋。假設 是一個灰度圖像， 則是將 中每一個元素的值變為原來的 ，反應到圖像上則是變暗。例如A為下圖

另外向量組的線性相關性、極大線性無關組及向量組的秩是非常抽象的概念，一個向量組對應一個矩陣，而現在基于低秩稀疏理論的圖像處理正是建立在這些概念之上，我們可以以圖像去噪或圖像分割為例告訴學生這些概念的用處，從讓這些概念不再那么抽象。當然，將這些概念用在圖像處理上，還需要知道別的知識，學生只需了解這些概念在圖像處理領域是怎么處理的就可以了，至于如何建模去解決問題，則是另外的知識點，這樣做的目的是為了讓學生看到抽象概念的實際應用，從而激發他們對線性代數知識的興趣。

2、線性方程組與線性代數關系

線性方程組是線性代數課程研究的基本內容，以此為主線，我們把行列式、矩陣運算、矩陣初等變化以及向量組的線性相關性有機的結合在一起。行列式只能求解一類特殊的線性方程組，矩陣行初等變換可以求解所有的線性方程組，向量組的線性相關性對方程組無窮解的解空間進行描述。所以，利用線性方程組這條主線，能夠更好的貫穿整個教學過程，從而降低學習難度，提高教學效果。

3、具體教學方法探討

（1）在學習線性代數過程中，常有學生問到這門課的作用以及和本專業的關系，我院教授本課程教師過程老師多為計算機專業。利用這個特點，我們將線性代數課程內容與后續專業課緊密聯系，如各類計算機語言編程、數據結構、算法分析等課程，真正給學生講清線性代數與專業課的關系，從而增加學生興趣和提高教學效果。

（2）根據數字圖像在智能機上存儲和實現，結合線性代數課程中的矩陣、矩陣運算、向量組線性相關性等知識點，將線性代數課程與實際應用相結合，激發學生對本課程的興趣，降低課程抽象性，提高教學效果。同時在教學過程中融入數學建模的思想和方法，使學生體會到運用線性代數的知識能夠解決實際問題，學會數學建模的方法，從而“發現問題――分析問題――解決問題”。

（3）根據二本學生特點，簡化教學內容，利用線性方程組求解為主線，將線性代數基本內容，即行列式、矩陣及其運算、矩陣的初等變換和向量組的線性相關性完美地結合起來，從而建立新的課程體系、教學內容和教學方式，更好培養學生的抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力和解決實際問題的能力。具體包括：將數學建模的思想和方法融入線性代數的課堂教學中，將抽象的數學知識與實際應用和日常生活相結合，用建立的數學模型描述客觀事物的特征及其內在的聯系，從而為將來進行軟件開發打下深厚基礎。

（4）改革教學內容，提高教學的實用性。在一般數學課程內容中有大量的定理證明與推演，但對于軟件學院二本學生來說，提高實用性顯得更加重要，因此線性代數課程內容不應過分強調定理的證明與理論的完整性，而應將注意力集中于基本概念與基本理論、方法的應用。基于此種理念，線性代數課程將重點放在基本概念和計算以及與本專業其它的應用上。

四、結束語

本文結合軟件學院教學和辦學特點，通過對數字圖像和線性方程組求解討論，對線性代數課程的教學過程和教學方法進行了探討。同時，通過本屆學生的課程改革試驗，線性代數課程的教學效果有了較大提高，學生的學習積極性得到了一定提高。

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一、認真準備，精心備課

上課前充分備課是上好課的前提，要提高課堂教學質量和效率，首先要抓好備課這一環節。大量的教學實踐表明，教師在備課上所花的工夫直接影響授課質量。就同一任課教師來說，進行觀摩教學時教學效果一般都比平時好，原因并非觀摩教學時教學能力高，而在于教師備課比平時充分得多，進行了認真的籌劃和精心的設計。針對線性代數課程學時少、概念多、抽象度高、思維方式獨特的特點，教師要在教學過程中既保證數學原理的傳授，又使學生及時掌握主要的解題方法，就必須認真地籌劃和精心地設計每一節課的每一個知識點。

要備好課，首先要熟悉教材的整體構架。具體地指，這冊教材是怎么樣編寫的，它是以怎么樣的脈絡為主線的，主要內容有哪些，分為幾大版塊，每個版塊由哪些具體的內容構成。只有對教材框架熟悉，我們才可以創造性地加工教材，對教材科學地重組、合并、添加及刪除，讓教材符合學生的實際，符合學生的口味。這就是說，我們要“用教材教”，而不是“教教材”。例如大多數線性代數教材講行列式的時候，開始都是以2階與3階行列式引入一般行列式的定義的，如文獻[1]和[2]。如果嚴格按照課本章節，那么2階節行列式還容易讓學生記住，但是3階行列式對于大多數學生來說，不但有的6項不容易記住，而且常會為這些項的正負號糾結。如果熟悉了教材的整體框架，知道這不過是為了引入行列式一般概念而設的章節，就完全可以跳過這部分內容，直接從逆序數引入行列式的一般定義，然后再用一般定義看2階與3階行列式，這樣容易讓學生接受。

要備好線性代數課程，還要事先對所教的學生情況有所了解。現行的線性代數教材大多是老版本，但是中學教材施行的是新課程標準，這就造成大學教材與中學教材脫節的情況，即使是最近出版的線性代數教材也有這種情況。如在線性代數教材中講到全排列與逆序數的時候，都是默認學生學過簡單的排列組合知識的。但是，實際上這部分知識點有些中學是不作要求的。老師在處理與這部分內容相關的知識時，要清楚班級到底有多少人知道這一知識點，根據具體情況適當增加一些排列組合的知識，這樣更有助于學生理解所教內容。

最后，每次備課都要針對此節課知識點精心設計一些課后習題留給學生完成。著名數學家華羅庚曾說：“學數學不做題，如入寶山而空手歸。”足見解題對深刻理解數學知識和方法的重要性。線性代數課程的特點是學時少、概念多、抽象度高，課后如果不盡心設計一些習題，則學生很難真正掌握所學知識點。如在線性空間這一章節中，不少學生對線性空間的概念感到很迷茫，難以想象，但是課本[1]上用定義驗證線性空間的題目只有針對2階矩陣的驗證是否為線性空間的三個小題。如果只用書本上的作為習題，一是驗證類型太單一，二是量比較少，因而在這一知識點上，我會增加一些課本之外的用定義驗證線性空間的習題。實踐證明，通過適量做題，學生對線性空間的概念認識有所提高。

二、充滿激情，組織教學

為了更好地組織課堂教學，首先我們必須盡力地營造和諧活躍的課堂氛圍。要營造活躍的課堂氛圍，教師一定要用自己的話（要講出自己的理解）講授課程，不照本宣科，語言不僅要生動、形象，還要幽默。學生只有在寬松、和諧、自由的環境中學習，才能思路開闊，思維敏捷，才會主動參與到教學過程中。好課堂是充滿真情與激情的課堂，一堂缺乏激情的課是無法引起學生共鳴的課。這里所說的激情，就是老師課堂上內容表達清晰、用語抑揚頓挫、全身心投入講課、滿腔執情地與學生互動。師生的良性互動不但會提高學生的學習積極性，而且會提高課堂教學效率。例如講消元法解線性方程組時，對于3元或4元線性方程組，因為學生在中學就有接觸，所以我讓不同的學生講這些內容，并先讓學生自己點評總結。學生面對學生，可以無拘無束地發表自己的見解，同學之間的討論、爭辯、交流大大調動了學生學習的積極性。在學生討論交流后，我最后給出用矩陣初等變換的方法進行消元的教學內容。這樣的學習方式，不僅能活躍課堂氣氛，而且能激發學生的創新意識。

其次，要更好地進行課堂教學，還要理解學生，與學生做朋友。理解學生就是要知道隨著高校的擴招，一些高等院校在努力探索自己的生存與發展的同時，接收了一些低分數考生。這些低分入學的同學的基礎比較差，以至于我們經常會遇到這樣的情況――一個簡單的定義或者結論，有部分同學無論如何解釋都不懂。在這種情況下，教師首先要有耐心，理解他們為什么才會這樣。有了這樣的理解為基礎，學生才有可能將你當做真正的朋友。心理學研究表明，學習興趣是學習積極性中最現實、最活躍的成分。而學生對某學科有興趣在一定程度上取決于對任課老師喜歡的程度。所以，當學生將你作為他的朋友時，他在一定程度上就會喜歡你所教的這門課程，在學習中就會充分發揮自己的主體作用。

再次，適當應用多媒體進行課堂教學。對于多媒體在教學中的使用，我覺得目前不少高校出臺的各種政策與采取的措施有些激進，在教學質量學生與專家的測評表中、各種級別的講課比賽中，把是否運用多媒體作為衡量教學水平的指標之一，在客觀上產生一種過高定位多媒體作用的傾向。實際上，傳統的板書模式有著多媒體不可替代的功效，學生可以從板書過程中解讀出教師對所寫內容的理解思路，進而促進對這部分內容的學習。在教學過程中大量使用多媒體，追求講授速度，而不給學生充分思考的時間，這樣不利于培養學生的創新思維，不利于培養學生的數學能力；況且在有限的教學時間內，學生接受知識的容量也是有限的。擴招后，數學課一般是大課，然而我們的多媒體教室只有不到兩平方米的黑板，教師板書受到限制；即使教室有黑板，多媒體屏幕又一般設置在教室正前方，屏幕一拉下來，黑板便占去了一大半，留下的可用版面很小。這種多媒體教室實際上充當了強迫教師完全使用多媒體進行教學的角色，它使得數學教學效果大打折扣。因此，在線性代數教學過程中，只有對一些內容簡單的章節，例如線性空間的定義，我才會將基本定義、定理的內容打上屏幕，證明及解釋過程則板書；而那些學生不容易掌握的較難的章節，則使用多媒體教學。

最后，為了更好地達到預期的教學效果，每次課堂教學快結束時，我都會預留5到8分鐘，對本次課堂教學內容進行總結。實時小結，有助于學生掌握課堂教學內容。如講完正定二次型這一小節內容時，可以預留點時間，引導學生寫出正定二次型（或正定矩陣）的所有等價命題，并用框圖給出，這樣學生可以更清楚各個命題之間的聯系，從而加深對正定二次型的理解。

三、用心批閱，及時反饋

課堂教學結束，線性代數課程教學并沒有就此結束。教師還得用心完成預留作業的批閱，并及時反饋作業情況給學生才算完成一次完整的教學過程。作業的批閱如同課堂教學一樣是學校教學工作中的一個重要環節，有著無法替代的特殊作用。它不但可以及時檢驗學生學習的情況，讓我了解他們存在的不足和需要重視、改進的地方，為如何組織下一課的教學提供有力的依據，還可以因材施教，為每一個學生的教育、培養提供參考意見。通過作業，我及時發現在剛結束的課堂教學中存在的問題并想辦法解決問題。如果錯的是少數同學，我就會在學生出錯的地方寫出正確的解答過程。如果大部分人都犯類似錯誤，我就會在下次課堂教學時進行集體訂正。例如在求解齊次線性方程組的時候，我通過作業發現不少學生在求基礎解系的時候不知到怎樣尋求，于是我就在下次課上把如何求解基礎解系重新講解一遍。

同樣，通過認真批閱作業，能夠幫助學生正視自己，提高學習效率。作業是學生在學完每一節課后檢驗自己學習情況的一種有效手段和方法，是學生自己的學習成果。學生可以從自己的作業成功中獲取自信心，進而激發對線性代數學習的興趣。

通過作業的用心批閱，能夠拉近師生距離，建立良好的師生關系。教師認真批閱學生作業的這種敬業精神會在一定程度上感染學生。我在批改作業時做到一視同仁認真對待，無論是對成績較好的學生還是成績不理想的學生交上來的作業都一絲不茍、認真批閱。

總之，批改作業是每個教師都必須重視并認真對待的重要工作環節，它為提高教學質量、建立良好的師生關系提供了有利條件，在教學教學作中有特殊作用。教師一定要本著為學生服務、為教育事業服務的精神，兢兢業業，認真批閱學生的作業，耐心教育引導他們在完成作業的過程中樹立良好的學習態度和習慣，為努力學習科學文化知識打下堅實的基礎。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系.工科數學：線性代數[M].北京：高等教育出版社，2007.

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線性代數是高等院校大部分專業必修的一門公共數學課程，其應用范圍廣泛，如微分方程、運籌學與控制論等數學分支，計算機圖形學、計算機輔助設計、密碼學等技術，無不以線性代數為其理論研究和算法設計的一個重要基礎組成部分。在電氣、土木、金融等領域，很多實際問題的數學模型是含有多個變量多個約束的優化問題，而求解這些問題就必須有線性代數的基礎，才能理解相關的更深理論，如線性規劃、非線性規劃等的算法和理論，最終利用計算機依據算法編程來求解相應的數學模型，以此得到最優解。

美國著名數學教育家、美國國家“線性代數課程研究小組”的核心成員、線性代數課程現代化的主要倡導者David C.Lay 教授在其著作《線性代數及其應用》中述及：“這門課程是最有趣、最有價值的大學數學課程。事實上，一些學生在畢業以后告訴我他們在大公司的工作中或工程研究生院的學習中還使用本教材作為參考書。”[1]誠如其所言，不少研究生在專業研究中將以線性代數的知識作為基礎工具，如果沒有本科學習時打下的扎實基礎，要想使用其以提升自己的論文質量和研究成果，甚至只是進一步的學習，那么這將是制約發展的瓶頸。比如最優化中的線性規劃[2]，就以線性代數知識為基礎，而金融[3]、工程[4，5]等許多領域的應用中要用到最優化的知識，這樣基礎中的基礎問題――扎實掌握線性代數知識，其重要性不言而喻。

然而，另一方面，線性代數具有高度的抽象性和嚴密的邏輯性，概念多， 定理多，易混淆， 計算繁瑣，這使許多學生認為線性代數是一門抽象難懂的課程，不易掌握，望而卻步，但其廣泛的應用性卻激起了學生們強烈的學習需求，如何解決這個矛盾是教師一直在思考的問題。筆者在高校任教，經過教學實踐，不斷改革探索，教學質量穩步提高。在此和同行探討這一問題，以求進步。

一、備課面廣泛且要因材施教

備課不僅要備教材內容，而且還要根據學生學習情況和需要準備相關的改進提高措施。以同濟大學《線性代數》第五版的教材為例，一般授課的主要內容是第一到第五章，即行列式、矩陣及其運算、矩陣的初等變換與線性方程組、向量組的線性相關性和相似矩陣及二次型，課時為45節，每節40分鐘，按這個時間來安排好教學是比較緊張的。“如何安排好全程教學、提高教學質量、達到優質的教學效果？”就是一個擺在任課教師面前的重要問題。

俗話說：臺上一分鐘，臺下十年功。老師要想教好學生，給每個學生一碗水，自己就得有一桶水，所以老師就要在備課階段下足工夫。首先，研究教材，了解重難點，還有整個授課內容的框架和內在脈絡，這些都要了如指掌，為透徹理解這些理論及其應用，建議多讀國內外經典教材和教輔書，如參考文獻[1]等。其次，為豐富教學內容，提高學生學習興趣，學習對課堂整體把握的技巧等，廣泛閱讀教改論文，尤其是近幾年的論文，了解關于線性代數課程的現狀、發展和局限，學習同行如何提高學生的學習興趣[6]，如何在課堂上滲透數學思想以提高學生的數學素養[7]等。再次，查看國外著名的大學公開課線性代數的教學視頻，國內精品課程網站，認真學習名師的網上課堂，通過對教學大綱的了解和比較，調整原來的重難點，平時抽空走進教學名師的課堂，親身感受名師風采，總結差距，調整自己的授課布局和方法。最后，綜合考慮本學期授課學生的專業特點，汲取網上課件制作中的精華，調整修改制作課件。

二、提高課堂質量

每次上新課前，先將上次課講授的重難點讓學生回顧一下，看看還有哪些學生沒理解掌握的，加以引導，尤其是主線脈絡，順此理清，承上才好啟下。講授新課前先說明需講授的要點分別是哪幾點，這幾點的關系等，然后再逐一展開。因為線性代數的概念和知識點較多，所以講授過程中分段總結很重要，某個知識點要么在引例中看其用處，要么講完后通過應用或故事說明它的用處或將在哪些方面應用，以拓展學生的思路和知識面，并提高學生的學習興趣，等用到的時候又再強調回顧。

同時，知識點間的聯系與比較都可以反復進行，比如矩陣和行列式的不同與相似，概念和記號不同，但行列式的某些性質和矩陣的初等變換有類似之處，啟發學生“如何通過比較巧妙記憶”；在判斷齊次線性方程組是否有非零解時，一般將系數矩陣化成階梯形后，根據矩陣秩與方程組中含有未知數個數的比較來判斷，但當系數矩陣是低階或易于計算其行列式的方陣時，簡單計算系數行列式，由其為零即可知此齊次線性方程組有非零解。學習新知的過程就是反復復習的過程，以此減輕學生的課后學習負擔，同時也可以檢測學生對已學內容的掌握情況，如此推進，學生在這個過程中就可以把知識脈絡框架建立起來，從而熟悉自己的課本，熟悉所學內容，做練習才得心應手，并且印象深刻，等到后續課程需要這些知識時，可以很快地回憶起來而應用于實踐。

三、課后追蹤練習情況

每次課后，讓學生做與授課知識點相關的練習，原則上學習完一章就進行單元測驗，題型主要可分為填空題、選擇題、判斷題、計算題和證明題。填空題考核學生對基礎知識的掌握；選擇題考查學生靈活應用知識的能力；判斷題考核學生對概念、定理、性質等理論的掌握和辨析能力；計算題考核學生的計算能力和綜合能力，證明題考核學生對一些重要定理的認知和應用能力。一般設置單元測驗的時間是40分鐘，即1小節課，可隨堂測驗也可另作安排。測驗后仔細批改，記錄常見錯誤的情況，如某道計算題，學生常見的錯誤有幾處，每處是哪些情況。講評時重在正面講授，講清關鍵點和思路、做題步驟、錯誤情況等。以教學過程中遇到的由兩個專業班級合成的教學班為例，每次列表比較班級的考分情況，如下表1：

這對激起學生的學習斗志有催化劑般的作用。通過這樣的比較，每次兩個班都在暗暗較量，并且每個學生經過講評和更正都知道自己的改進方向，待到期考，大部分同學都有明顯的進步，甚至原來測驗落后的班級會取得突出的成績，比如，這里的（2）班，期考35人中僅有1人卷面分（滿100）不及格（56分），但（1）班因一直占優勢，沒有居安思危，所以還有3位學生不及格。

另外，適時的在課后安排幾次輔導答疑時間，可要求學習有一定困難的學生參加，其他學生不做要求。重點抽查學生完成作業及批改后的作業、測驗改錯情況，看看他們對錯題是否理解清楚、是否更正。再則詢問他們對知識點是否掌握，可通過讓他們講述典型例題的方法了解他們的思路是否正確清晰。之所以要如此細致追蹤，是因為當前的大學新生剛由中學轉入，有些還是很依賴老師的管束，不夠自覺，盡管老師可以在課堂的教學中一再說明要自主學習，但部分學生自制力還待逐步提高，還需要老師的適時幫助，否則這部分學生將會跟基礎好及主動性強的學生拉開更大的差距，到期考前臨陣磨槍就肯定來不及了。

四、考前總復習

期考前，也就是最后一次課，一般會對課程進行總復習，此時再強調，課本內容為主，其他練習為輔。通過練習真正理解課本的理論知識，而不是本末倒置，只顧練習而不重課本理論，練得一題算一題，不知道總結也不知道課本的重心在哪兒。可以分章節講重點，弄清每章的綜合計算題方向，因為大部分重難點都集中在這些題中考核，比如：求解矩陣方程，就考核了矩陣的逆的存在和計算，矩陣的加法、減法和乘法的運算，以及因矩陣乘法的交換律不一定成立而需考慮的左乘右乘問題等。再如，將二次型用正交變換法化為標準形，就涉及二次型對應的矩陣的特征值和特征向量的問題，而求解特征向量又是一個個解線性方程組的過程，其間還有將特征向量正交單位化的處理。由此層層分析后，特別強調其中的一個基礎計算――將一個矩陣化成階梯形和最簡形的計算――一定要過關，否則后續大部分計算題將無法完成，因為它們都以此計算為關鍵的一步。

經過整個環節的把握，只要學生不是刻意不學，一般來說都能順利通過期末考試，半數左右的學生可以通過自身的加倍努力取得80分以上的優良成績，以筆者近一年兩個學期所帶的非數學專業班級參加全校統考（考教分離）成績結果為例，如表2可以看到改進后的較精細化教學方法帶來教學質量穩步提升的效果。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] David C.Lay 著，劉深泉等譯. 線性代數及其應用（原書第3版）――華章數學譯叢[M].北京：機械工業出版社，2005.

[2] Mokhtar S.Bazaraa，John J.Jarvis and Hanif D.Sherali. Lin？鄄ear Programming and Network Flows（the Fourth Edition）[M]. Canada：John Wiley & Sons Canada，2010.

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線性代數課程是高等學校理工科專業的基礎專業課程，重要性可見一斑。但是它卻以高度的一般性和抽象性使得學習者叫苦不迭，望而生畏，原本讓人鍛煉聰明頭腦的數學課程卻成了后續課程學習的攔路虎。

線性代數定義多、定理推論多、運算規律多、知識聯系緊密、內容復雜、例題抽象， 對于培養學生的空間想象能力、抽象思維能力、邏輯推理能力，以及解決實際問題的能力等都具有十分重要的意義，是一種解決具有線性關系實際問題的有力工具。教師上好和學生學好線性代數課程對于學好其它課程及后續發展都具有重要的作用。

1 教學現狀

線性代數是高等代數的主要部分，其理論體系已發展得相當完善。可是由于時代在發展、科技在進步，對數學知識的需求也在不斷發生著變化。近些年來，關于其改革的研究討論一直在繼續，雖然取得了一些成績，但是在實際教學過程中仍舊存在不少問題。主要原因在于一方面是教材內容經久不變，雖然進行過數次的修訂和補充，但定理和問題證明仍然是課本內容的主體部分，相關數學背景知識和專業特點提及甚少。嚴密的邏輯推理和抽象的證明使學生的學習相當吃力，稍有懈怠就會跟不上，直至完全放棄。課本配備的習題也基本上是圍繞定理公式的一些純數學的強化訓練題目，與實際聯系很少，讓人很難體會數學源于生活，是生活的抽象。另一方面，課堂教學成了照本宣科，教學質量不高。由于連年擴招，導致生源素質普遍下降，使得教育管理者和教師對課堂知識和能力的要求一降再降，使得高校課堂也只是一味地講授課本內容，只要學生對課本知識掌握，會做課后習題就萬事大吉。學生普遍認為與中小學課堂沒有什么區別，自然興趣全無。再者是在社會大環境下學生存在急功近利、急于求成的思想。再加上這門課程本身的深奧，復雜，使得學生覺得這門課不僅抽象乏味，而且學不學這門課根本沒什么大不了的，只不過是少記了幾條定理，少背了幾條公式，殊不知卻正是對待這門課程的這種消極態度嚴重地影響著自己后續專業課程的學習和發展。

2 教改策略

2.1 將線性代數與學生所學專業緊密結合

培養學生學習線性代數的興趣， 教師對上課的學生的專業要有所了解，這樣才能做到取舍合理，詳略得當，有針對性、有目的地講授內容。而且要注意線性代數在該專業的應用、與專業課的銜接， 切忌使學生感到這門課程難學、產生畏懼心理。著重向學生介紹這門課程的重要性和它在本專業實踐中的應用等， 結合學生的專業講解案例， 提出學生所學專業中需要用線性代數解決的問題。這樣可以激發學生學習這門課程的熱情，提高學習興趣，為上好課程開好頭。

2.2 要加強與解析幾何的聯系

幾何是形，代數是數，所謂“數形結合”就是指代數和幾何是密不可分的，將它們分開是不合理、不科學的。幾何使問題具體、直觀，而代數能夠更加精確地求解問題。而且隨著空間維數的升高（三維以上），問題往往已經找不到幾何背景，這就需要用代數的思想方法來解決問題。解析幾何就是用代數方法來研究幾何問題，正是它的創立為幾何的發展研究開辟了新的天地。平面解析幾何內容可作為線性代數部分內容的直觀背景，如向量組線性相關和線性無關、線性方程組的解理論等均可利用解析幾何知識作為直觀背景。大量的教學實踐進一步表明，正確、簡明的直觀幾何背景對學生正確、快速地理解、掌握抽象的代數概念和理論有著巨大的促進作用。這種數形結合的教學方法受到教師和學生們的一致歡迎和接受。這樣使得幾何知識講得更深入，同時對進一步理解代數知識培養應用能力有一定幫助。

3 改革教學方法和手段

線性代數相對于其他課程最大的特點就是抽象， 這也就增加了學習它的難度。而運用恰當的教學方法和手段會收到事半功倍的教學效果。

3.1 啟發式教學是一種互動的雙向教學方法

照本宣科的填鴨式教學，只會使得課堂氣氛沉悶，教師在講臺上講得津津有味，忘乎所以，而學生在下面昏昏欲睡。啟發式教學不僅能夠更好地發揮教師的主導作用，更能使學生們集中注意力，隨著教師的引導去思考，去求是，真正成為課堂的主體， 顯然教學質量得到提高，使課堂教學過程取得最優效果。

3.2 比較是一切理解和思維的基礎

有比較才有鑒別，在教學中，遇到學生難以理解、又易于混淆的知識點時，引導學生進行比較，找出知識點之間的差異，會收到較好的教學效果。比如，講解矩陣，矩陣性質及運算時可以和行列式進行全面比較，通過比較學生就會認識到，矩陣的本質是圖表，而行列式是個數值；另外在講解概念、定義時將其和初等代數進行比較，就會進一步體會到線性代數概念具有一般性和抽象性的典型特征。

3.3 另外還可以適當地采用多媒體進行教學

現代高科技信息技術為我們提供了形象、生動展現復雜理論問題的平臺，用比較生動直觀的動畫把復雜過程展示出來，不僅幫助學生獲得更多的感性材料，加深對數學理論的理解與掌握，同時還能豐富課堂內容，增大信息量，調節課堂氣氛，提高教學效率。

3.4 在日常的教學中積極地融入科研活動

學習不僅是為了將優秀的文化知識進行傳承，更要在積累的基礎上不斷創新。教師要把課本中的知識內容講解清楚，也要將課堂進一步拓寬，介紹線性代數和其它相關課程之間的聯系。而且要提出思考性的問題，以供學生討論，建議期末考核時針對某個具體問題要求學生以論文形式完成作為考核的一部分，這樣，更能激發他們的學習興趣和斗志。

總之只要能充分調動學生的積極性，提高課堂教學效果，就可以嘗試多樣的課堂教學方法和教學手段。

4 結束語

教學無常法，教學有良法。線性代數的教學充滿困難和挑戰，但只要堅持一定的教學規律和認知規律，靈活多樣地嘗試多種教學方式方法，就一定能夠收到好的效果，使這門課程更好地發揮自身的特點，服務于科學研究和現實生活。

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一、發散思維的理解與認識

線性代數課程是高等院校各專業的重要基礎課程，它具有較強的抽象性、邏輯性以及廣泛的應用性，具有概念多、論證量大、計算技巧強的特點，對于提高學生的思維能力及運算能力，培養學生的數學素養有著重要的作用.由于線性代數課程中各模塊內容聯系較緊密，定理、性質多，易混淆的概念、方法多，使學生在學習中產生了較多的困難，常常是學了后面的知識而忘了前面的內容和方法，極大地影響了教學效果和學生學習的積極性.這就讓進行線性代數教學的老師在時間緊、任務重的教學過程中多了一份思考――如何把前后知識聯系起來進行教學？

在進行教學時，我們常用的思維方式是集中思維方式，它是一種調動各種信息，按照常規習慣形成的沿固定方向，采用一定的模式或方法，尋求解決問題、整理知識或總結方法的思維方式.它的特點是思路集中，所有信息都朝著一個目標深入發展以生成新信息，在合適的條件下，一般能迅速地聯想和使用已有的知識與技能來分析和解決問題，表現了正遷移作用.但是在教學中過分采用和強調集中思維方式容易引起負遷移，表現出思維僵化、靈活性差，而不能從多角度、全面地看待問題、解決問題.教學中，老師應在運用好集中思維的同時，注意和注重運用和培養與集中思維相對應的思維方式――發散思維.

二、發散思維思想在線性代數課程教學中的運用

線性代數教學中如果總按照常規的方法進行講解，教師又常常因為照顧課堂進度而忽視知識點之間的聯系教學，時間長了學生往往只會顧眼前“利益”，而忘了曾經的“收獲”，從而只見樹木，不見森林，進而導致學生思維局限，思路狹隘，不能發現所學知識的有機聯系.為了搞好教學，提高教學質量，培養學生的發散思維能力，在教學中我們可以嘗試一題多解的教學方法.下面我們以一個實例來進行探討.

許多教材在進行向量的相關性講解后都會安排以下例題鞏固概念，我們就以它作例題說明數學思維發散性培養的一般方法.

證明中，不僅復習了矩陣的秩及與向量組相關性的關系定理，也復習了向量組與向量組關系的表示法，同時也鞏固了向量構成的矩陣與向量組的秩之間的關系.這一證明，完全“跳出”了習慣性的定義法證明思想，數學思維方式獲得了一次擴展.

在學習矩陣初等變換和秩的概念時，我們知道定理：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩.而學習向量組的秩和矩陣秩的關系時，我們學習了定理：矩陣 A 的秩= A 的行秩= A 的列秩.結合以上知識，我們又可以采取如下證明.

三、結束語

數學知識的發散性是普遍存在的，但數學知識和數學問題所蘊含的發散性總有強弱之分，這就要求老師在進行教學時根據學生的學習情況，教材內容的深度、廣度要求及學生學習過程的階段性來選取典型的、適合的知識點和問題作為發散對象，其根本的目的是讓學生更好地掌握知識，培養較好的思維能力.

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引言

“線性代數”課程是我國高等院校理工、經管類等專業的一門重要的基礎必修課。線性代數課程的學習不僅為學生后續的專業課學習打下基礎，也是很多學生繼續深造的基礎。因此，學好線性代數是非常重要的。

線性代數課程普遍被學生認為是比較難學的一門課程，主要的困難在于該課程的知識覆蓋面廣且很抽象。而目前全國許多獨立學院在基礎課程的改革方面都趨向于精而簡，基礎課的課時也在不斷減少，這無疑又為線性代數課程的教學蒙上了一層陰影。

獨立學院辦學的宗旨是培養創新型、應用型人才。獨立學院大部分學生與二本的學生相比，數學基礎相對薄弱。針對這一特點，我們應該采取與二本學生不同的方式進行教學。如何根據獨立學院的辦學宗旨及學生的特點組織教學，因材施教，提升線性代數課程的教學質量是目前我們需要解決的重要問題。[1]

一、目前線性代數教材存在的問題

目前專科和二本院校線性代數的教材都相對成熟且版本較多。[2] [3]而獨立學院是一種新興的高等教育體系，其發展尚處于探索階段，所以獨立學院的教材還不完善，且很少有專門針對獨立學院的教材，因此許多獨立學院很難選擇適合的教材。大多數獨立學院都是依托母體學校辦學，而所依托的母體學校都是一本或者二本院校。因此許多獨立學院仿效母體學校，使用與其相同的教材，這就嚴重忽視了獨立學院學生的特點。無論是從教材的難度和深度還是從學生的接受能力來講都是不可取的，這將會增加獨立學院學生學習線性代數的難度，降低學生學習的興趣和積極性。然而，與專科的學生相比，獨立學院的學生數學基礎較好，專科教材從內容來看其廣度和深度都不能滿足獨立學院學生在繼續深造及后續專業課程的學習方面的需要，所以在獨立學院采用專科的線性代數教材也是不可取的。

近幾年，不少高校教師也致力于撰寫適合于獨立學院的線性代數教材[4]，由于很多都還是第一版，所以書中的錯誤較多，內容安排也不夠科學，各章節的鏈接也不夠到位，從教材的內容布局來看，也沒有擺脫原有教材的基本模式，缺乏創新。因此，從獨立學院的辦學宗旨以及學生自身的特點出發，編撰適合獨立學院的線性代數教材是當務之急，也是提高獨立學院線性代數課程教學質量的重要途徑。

二、初等變換法的介紹存在的問題

初等變換法是線性代數課程的精髓，它幾乎貫穿于該課程全部內容。[5]而目前國內大多數教材對初等變換和初等變換法的介紹分散于各個章節，知識點顯得較為凌亂和分散，因此，在教學過程中師生的教與學兩個方面都受到了一定的阻礙和限制。一方面，由于初等變換法的介紹較為分散，且在每個章節幾乎都要用到，所以教師在授課時，就很難合理地安排教學內容；另一方面，學生在學習時，由于知識點分散，不能夠較為系統地學習、理解及應用初等變換法，所以部分學生就會感覺思緒混亂難以理清。

三、對目前初等變換法教學的調查研究

現在高校的許多專業都要開設這門課程，就本學院來說除國際學院和人文學部外的所有學生都要學習線性代數，人數大約為6000人。然而，該課程具有高度的抽象性和嚴密的邏輯性，再加上許多教材自身編撰得不夠科學，使學生在學習線性代數時困難重重，難以較好地掌握。初等變換法是線性代數課程的精髓，它幾乎貫穿于該課程的全部內容。因此，研究和探索線性代數初等變化法的教學新模式是非常必要的。

我們采用課堂交流、座談及發放調查問卷等形式去了解學生在學習線性代數課程中遇到的問題。我們提出的問題和改革意見得到了學生們的高度響應。同時，我們也對近三屆的在校學生在線性代數學習方面的情況進行了調查，發現我們提出的問題和要改革的內容確實是學生在學習中存在的共性問題，這更堅定了我們改革的信念。

四、對初等變換法教學的改革與實踐

（一）初等變換法教學改革的總體思路

為了適應高校基礎課程的改革趨勢，我們要求對線性代數教學模式與教學內容的改革，既要達到精簡內容的效果，又要達到讓學生學起來容易和提高教學質量的目的。我們要熟悉、掌握教材內容，從中提取初等變換法的相關內容并使其完整化、系統化；充分理解和把握初等變換法的各種應用，逐一對其進行詳細的闡述并成體系。總體來說，通過對知識內容的研究，我們將先對初等變換法做一個集中、統一、完整的介紹，之后再逐一介紹其在各個知識點的具體應用，使知識完整、系統、清晰，從而打破現有教材的固定模式。

（二）初等變換法教學改革的具體實施方案

1.初等變換法教學改革的內容

為了達到教學改革的目標，我們要在教學改革的內容做到以下兩點。

（1）對初等變換及初等變換法進行系統、詳細的介紹。首先，介紹初等變換的概念。初等變換包括兩大類，即初等行變換和初等列變換，而它們又各包含3種變換。三種行變換為：1.互換兩行；2.以非零數乘某一行的所有元素；3.將某一行各元素乘數后，加到另一行的對應元素上去。把三種行變換中的行變成列就是三種列變換。其次，介紹初等變換的性質及其相關定理。再次，介紹什么是初等變換法以及利用初等變換法的兩個重要工具，就是如何利用初等變換把矩陣化成行階梯型矩陣和行最簡型矩陣。最后，介紹初等矩陣的定義，以及初等矩陣與初等變換的關系及其相關的一些定理。

（2）逐次介紹初等變換法在各個內容中的具體應用。初等變換法在線性代數課程的學習中貫穿始終，因此在系統地介紹完初等變換法后我們將逐一地對其進行應用，我們的介紹順序如下：1.介紹利用初等變換法求矩陣的秩；2.利用初等變換法求逆矩陣；3.利用初等變換法求解矩陣方程；4.利用初等變換法判定向量及向量組間的線性表示關系；5.利用初等變換法判斷向量組的線性相關性；6.利用初等變換法求向量組的秩及其最大無關組；7.利用初等變換法求解線性方程組等。通過逐一介紹使初等變換法的應用系統化、清晰化，既可以使學生容易接受，又精簡了內容，讓學生在學習的過程中有清晰的思路，而且能夠各個擊破并成系統。

2.初等變換法教學改革的目標與實踐

（1）編撰相應的線性代數教材。根據改革思路，我們已經按照上面的改革內容整編出一套系統介紹以初等變換及初等變換法為基礎，以系統、有序地逐一介紹初等變換法的各種應用為主線的教材。（2）制作相應的課件及教案。在完成以上教材后，我們集中本院所有的數學教師，每人分一部分任務把教材制作成PPT課件，并由主要編撰人把教材的內容逐章逐節編寫成教案。（3）結合教材和教案進行教學實踐。本院教師共同對本教材及教案進行實踐，并通過與學生進行課堂交流、發放調查問卷以及開通網絡教學平臺等方式收集各種反饋信息，從目前來看成績還是令人滿意的。最后我們反復實踐，結合教師自身的教學經驗和學生的反饋信息，形成教學研究報告。而我們的目標則是通過教材及教案的編撰，在教學實踐中探索該方法達到的教學效果以及存在的問題，不斷改進和完善，以期形成一套較為成熟的教學方法，同時也達到既能讓學生輕松掌握知識，又能夠精簡內容的效果。

目前通過研究分析《線性代數》教材基本的知識結構，提煉出了初等變換法的共性，并使其系統化、完整化。再研究初等變化法在各個知識點的應用，通過對各種應用的研究使其自成體系，并在此基礎上編撰出了教材和講義。在提煉和完善的過程中，在課堂教學和實驗教學中采用相關教材和講義并對其進行研究性教學和實踐性教學，探索該課程的新教學模式。此外，還對學生進行教學效果的調查與研究，不斷完善該教學模式。目前整個改革在本院收到了一定成效。

[ 注 釋 ]

[1] 高揚.獨立學院《線性代數》教學初探[J].廣西教育學院學報，2012（1）.

[2] 同濟大學數學系.線性代數（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2007.