引論:我們?yōu)槟砹?3篇數(shù)學(xué)思維論文范文,供您借鑒以豐富您的創(chuàng)作。它們是您寫作時(shí)的寶貴資源,期望它們能夠激發(fā)您的創(chuàng)作靈感,讓您的文章更具深度。
篇1
特殊值代入法是數(shù)學(xué)中常用的一種方法,能夠在所有值中逐一考慮,選擇最簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)進(jìn)行代入,避開(kāi)常規(guī)解法,跳出傳統(tǒng)思維,更加簡(jiǎn)潔的進(jìn)行解題。初中數(shù)學(xué)的難度雖然不大,但是作為基礎(chǔ)數(shù)學(xué),初中數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的解題思維。初中數(shù)學(xué)的問(wèn)題設(shè)置中體現(xiàn)了一定的難度,以求引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)進(jìn)行探索,改變單一的解題思維,對(duì)于部分?jǐn)?shù)學(xué)問(wèn)題可以進(jìn)行創(chuàng)新型、便捷性思考。例如分解因式題:x2+2xy-8y2+2x+14y-3。在這道題中,教師可以先運(yùn)用常規(guī)的解法進(jìn)行解題,然后引導(dǎo)學(xué)生從巧取特殊值的思路出發(fā),將其中的一個(gè)未知數(shù)設(shè)為0,暫時(shí)隱去這個(gè)未知數(shù),對(duì)另一個(gè)未知數(shù)的式子進(jìn)行分解,實(shí)現(xiàn)化二元為一元的目的。令y=0,得x2+2x-3=(x+3)(x-1);令x=0,得-8y2+14y-3=(-2y+3)(4y-1)。兩次分解的一次項(xiàng)系數(shù)為1、1;-2、4,運(yùn)用十字相乘進(jìn)行試驗(yàn),即1×4+(-2)×1,正好為原式中的xy項(xiàng)系數(shù)。因此,可得,x2+2xy-8y2+2x+14y-3=(x-2y+3)(x+4y-1)。從上面的解析中可以看出,特殊值代入法(本題中使用的是取零法)能夠在因式分解中發(fā)揮奇妙的作用。從上題中可以進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)總結(jié),因式分解殊值代入法的解題思路為:①把多項(xiàng)式中的一個(gè)未知數(shù)設(shè)為0化簡(jiǎn)后進(jìn)行因式分解;②把多項(xiàng)式中的另一個(gè)未知數(shù)設(shè)為0化簡(jiǎn)后也進(jìn)行因式分解;③把兩步分解形成的結(jié)果進(jìn)行綜合驗(yàn)證,如果兩次分解的一次因式中的常數(shù)項(xiàng)相等,即可得出題中多項(xiàng)式的分解結(jié)果。
篇2
思維能力教育信息化大腦風(fēng)暴法信息生長(zhǎng)點(diǎn)
參考文獻(xiàn):
①《智力開(kāi)發(fā)綜述》(上)主編:周文黑龍江出版社
②《小學(xué)數(shù)學(xué)創(chuàng)新性教學(xué)指導(dǎo)》主編:關(guān)文信吉林大學(xué)出版社
話說(shuō)有位牧師正在專心地寫講道稿,他的兒子約翰卻總是不停的在身邊打擾他,牧師為了不受打擾,就拿了一幅地圖,撕成幾片,讓其兒子把它拼好。牧師認(rèn)為這下可以讓約翰忙一陣子了,沒(méi)想到不一會(huì)兒,小約翰就興沖沖地跑過(guò)來(lái),并呈上拼好的地圖。牧師很詫異,就詢問(wèn)約翰這么快拼好地圖的做法,小約翰說(shuō):“因?yàn)榈貓D的背面是人,我只要拼好這個(gè)人,就拼好了這幅地圖。如果這個(gè)人是對(duì)的,那么這個(gè)世界也就對(duì)了……”
小約翰運(yùn)用這種獨(dú)特的、新穎的方式拼好了這幅他可能從未接觸過(guò)的地圖,這就是一種創(chuàng)造性思維。為創(chuàng)造性而教,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力,已經(jīng)成為目前世界各國(guó)教學(xué)改革的一種趨勢(shì)。真正的素質(zhì)教育正是把思維能力的發(fā)展作為教育中心,它與把知識(shí)的系統(tǒng)積累作為教育中心的教學(xué)模式下的應(yīng)試教育有著本質(zhì)的區(qū)別。
當(dāng)前,在世界范圍內(nèi)掀起的教育改革熱潮,其目的不僅是為了培養(yǎng)信息社會(huì)所需要的高素質(zhì)創(chuàng)造型人才,更深層次的原因在于傳統(tǒng)的以知識(shí)積累為中心的教育模式已經(jīng)走到了盡頭,無(wú)法再適應(yīng)當(dāng)前知識(shí)體系的高增長(zhǎng)速度。我們正處在一個(gè)信息化飛速發(fā)展的時(shí)代,隨著以多媒體、網(wǎng)絡(luò)化和智能化為特征的現(xiàn)代信息技術(shù)飛速發(fā)展,它們正在以驚人的速度變革著我們的學(xué)習(xí)方式、工作方式、交往方式、生活方式,使人類社會(huì)由工業(yè)社會(huì)邁向了信息化社會(huì)。面對(duì)鋪天蓋地迎面而來(lái)的信息,為了適應(yīng)社會(huì)發(fā)展的需要,要求人們必須具備獲取、存儲(chǔ)和交流信息的能力。信息化的社會(huì)要求人的素質(zhì)要與之相適應(yīng),信息素養(yǎng)成為衡量一個(gè)人素質(zhì)高低的標(biāo)準(zhǔn)。
教育要面向現(xiàn)代化、面向世界、面向未來(lái),要培養(yǎng)具有創(chuàng)造性思維、創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新能力的人才,離開(kāi)了教育信息化是難以實(shí)現(xiàn)的。
一、培養(yǎng)信息加工能力,訓(xùn)練創(chuàng)造性思維
在傳統(tǒng)的教學(xué)中,學(xué)習(xí)資料主要是通過(guò)書本、圖片和錄像等這些有限的手段向?qū)W生傳輸信息,并且一整堂教學(xué)設(shè)計(jì)都是由教師課前設(shè)計(jì)好的,這樣的信息來(lái)源顯然是非常有限的,而且缺乏可選擇性,學(xué)生只能照單全收。當(dāng)今社會(huì),信息充斥著社會(huì)的每一個(gè)角落,學(xué)生也每時(shí)每刻都受著不同信息的影響,特別是高年級(jí)的學(xué)生,他們的思維就像一條深不見(jiàn)底的河,他們有著自己的經(jīng)驗(yàn)、想法,主見(jiàn)。課堂上如果讓學(xué)生不加選擇地完全接受只來(lái)自于老師的信息,這對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)是不利的;并且學(xué)生僅是接受信息,而不對(duì)信息進(jìn)行重新組合,形成體系,那也不可能完全掌握這些知識(shí)。因此課堂中教師應(yīng)善于提出問(wèn)題,引導(dǎo)思維,把學(xué)生要學(xué)的知識(shí)以一種問(wèn)題的信息這種方式呈現(xiàn)出來(lái),使新知識(shí)這種信息與學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的知識(shí)信息建立起人為的或?qū)嵸|(zhì)性的聯(lián)系,使學(xué)生能通過(guò)運(yùn)用各種策略活躍思維、獲得新知。在此過(guò)程中,教師要為學(xué)生提供思維的材料,使之有“物”可思,并且更深層次地需要培養(yǎng)學(xué)生篩選、重組信息的能力,達(dá)到訓(xùn)練學(xué)生思維的目的。奧斯本提出了一種名叫“大腦風(fēng)暴法”的訓(xùn)練,能很好地達(dá)到這種目的。
“大腦風(fēng)暴法”訓(xùn)練,它的核心就是將產(chǎn)生想法和對(duì)想法的評(píng)價(jià)分開(kāi)來(lái),以使思考者沒(méi)有任何心理壓力,保證思維狀態(tài)的流暢。在課堂教學(xué)中,教師先提出問(wèn)題,接著鼓勵(lì)學(xué)生盡可能多地尋找解決問(wèn)題的辦法和答案。學(xué)生集思廣益,想出的辦法和答案自然就豐富了課堂信息。教師對(duì)這些辦法和答案正確與否暫不必考慮,也不作任何評(píng)價(jià),但鼓勵(lì)學(xué)生在別人傳達(dá)的信息中尋找啟迪。教師一直待到學(xué)生再也提不出新想法為止,然后引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這些想法進(jìn)行評(píng)價(jià)、修改、合并,去偽存真,優(yōu)中選優(yōu),從而產(chǎn)生一個(gè)富有創(chuàng)造性的答案。
二、培養(yǎng)適應(yīng)現(xiàn)代信息社會(huì)的能力,發(fā)展創(chuàng)造性思維
網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的發(fā)展為現(xiàn)代社會(huì)建立起一種全新的信息觀念和通道。教育應(yīng)具有超前意識(shí),運(yùn)用網(wǎng)絡(luò)教學(xué),借助于計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)信息交流,要求學(xué)生有計(jì)算機(jī)操作能力和網(wǎng)絡(luò)基本知識(shí),能夠熟練處理各種信息。如果仍然以完全傳統(tǒng)的教學(xué)方法和手段去教育學(xué)生,這將與社會(huì)發(fā)展極不相適應(yīng),學(xué)生離開(kāi)校門后就不可能適應(yīng)社會(huì)。并且,信息技術(shù)不受時(shí)間和地域限制,學(xué)生可根據(jù)自己的學(xué)習(xí)需要,選取相關(guān)內(nèi)容加以學(xué)習(xí),學(xué)生還可以通過(guò)上網(wǎng)快速地獲取豐富的信息資料,有目的地處理信息。這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生的探索精神、創(chuàng)新意識(shí),有利于學(xué)生開(kāi)展主動(dòng)的探索型學(xué)習(xí)活動(dòng)。“授人以魚不如授人以漁”,教育提倡“把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)還給學(xué)生”,讓學(xué)生在課堂中輕松、主動(dòng)地學(xué)習(xí),充分發(fā)揮學(xué)生的主體積極性,學(xué)會(huì)創(chuàng)造、構(gòu)建和掌握所學(xué)的知識(shí)。計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)能以其信息的大容量、超強(qiáng)的處理能力、豐富多彩的對(duì)象以及生動(dòng)形象的人機(jī)交互等特點(diǎn)服務(wù)于信息化教育。因此,信息技術(shù)作為強(qiáng)有力的學(xué)習(xí)工具,不僅拓展了學(xué)生的學(xué)習(xí)方式,還發(fā)展了他們的創(chuàng)造性思維。
三、培養(yǎng)信息素養(yǎng)的認(rèn)知技能,完善創(chuàng)造性思維
篇3
對(duì)于直覺(jué)作以下說(shuō)明:
(1)直覺(jué)與直觀、直感的區(qū)別
直觀與直感都是以真實(shí)的事物為對(duì)象,通過(guò)各種感覺(jué)器官直接獲得的感覺(jué)或感知。例如等腰三角形的兩個(gè)底角相等,兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形等概念、性質(zhì)的界定并沒(méi)有一個(gè)嚴(yán)格的證明,只是一種直觀形象的感知。而直覺(jué)的研究對(duì)象則是抽象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)及其關(guān)系。龐加萊說(shuō):"直覺(jué)不必建立在感覺(jué)明白之上.感覺(jué)不久便會(huì)變的無(wú)能為力。例如,我們?nèi)詿o(wú)法想象千角形,但我們能夠通過(guò)直覺(jué)一般地思考多角形,多角形把千角形作為一個(gè)特例包括進(jìn)來(lái)。"由此可見(jiàn)直覺(jué)是一種深層次的心理活動(dòng),沒(méi)有具體的直觀形象和可操作的邏輯順序作思考的背景。正如迪瓦多內(nèi)所說(shuō):"這些富有創(chuàng)造性的科學(xué)家與眾不同的地方,在于他們對(duì)研究的對(duì)象有一個(gè)活全生的構(gòu)想和深刻的了解,這些構(gòu)想和了解結(jié)合起來(lái),就是所謂''''直覺(jué)''''……,因?yàn)樗m用的對(duì)象,一般說(shuō)來(lái),在我們的感官世界中是看不見(jiàn)的。"
(2)直覺(jué)與邏輯的關(guān)系
從思維方式上來(lái)看,思維可以分為邏輯思維和直覺(jué)思維。長(zhǎng)期以來(lái)人們刻意的把兩者分離開(kāi)來(lái),其實(shí)這是一種誤解,邏輯思維與直覺(jué)思維從來(lái)就不是割離的。有一種觀點(diǎn)認(rèn)為邏輯重于演繹,而直觀重于分析,從側(cè)重角度來(lái)看,此話不無(wú)道理,但側(cè)重并不等于完全,數(shù)學(xué)邏輯中是否會(huì)有直覺(jué)成分?數(shù)學(xué)直覺(jué)是否具有邏輯性?比如在日常生活中有許多說(shuō)不清道不明的東西,人們對(duì)各種事件作出判斷與猜想離不開(kāi)直覺(jué),甚至可以說(shuō)直覺(jué)無(wú)時(shí)無(wú)刻不在起作用。數(shù)學(xué)也是對(duì)客觀世界的反映,它是人們對(duì)生活現(xiàn)象與世界運(yùn)行的秩序直覺(jué)的體現(xiàn),再以數(shù)學(xué)的形式將思考的理性過(guò)程格式化。數(shù)學(xué)最初的概念都是基于直覺(jué),數(shù)學(xué)在一定程度上就是在問(wèn)題解決中得到發(fā)展的,問(wèn)題解決也離不開(kāi)直覺(jué),下面我們就以數(shù)學(xué)問(wèn)題的證明為例,來(lái)考察直覺(jué)在證明過(guò)程中所起的作用。
一個(gè)數(shù)學(xué)證明可以分解為許多基本運(yùn)算或許多"演繹推理元素",一個(gè)成功的數(shù)學(xué)證明是這些基本運(yùn)算或"演繹推理元素"的一個(gè)成功的組合,仿佛是一條從出發(fā)點(diǎn)到目的地的通道,一個(gè)個(gè)基本運(yùn)算和"演繹推理元素"就是這條通道的一個(gè)個(gè)路段,當(dāng)一個(gè)成功的證明擺在我們面前開(kāi)始,邏輯可以幫助我們確信沿著這條路必定能順利的到達(dá)目的地,但是邏輯卻不能告訴我們,為什么這些路徑的選取與這樣的組合可以構(gòu)成一條通道。事實(shí)上,出發(fā)不久就會(huì)遇上叉路口,也就是遇上了正確選擇構(gòu)成通道的路段的問(wèn)題。龐加萊認(rèn)為,即使能復(fù)寫出一個(gè)成功的數(shù)學(xué)證明,但不知道是什么東西造成了證明的一致性,……,這些元素安置的順序比元素本身更加重要。笛卡爾認(rèn)為在數(shù)學(xué)推理中的每一步,直覺(jué)力都是不可缺少的。就好似我們平時(shí)打籃球,要靠球感一樣,在快速運(yùn)動(dòng)中來(lái)不及去作邏輯判斷,動(dòng)作只是下意識(shí)的,而下意識(shí)的動(dòng)作正是在平時(shí)訓(xùn)練產(chǎn)生的一種直覺(jué)。
在教育過(guò)程中,老師由于把證明過(guò)程過(guò)分的嚴(yán)格化、程序化。學(xué)生只是見(jiàn)到一具僵硬的邏輯外殼,直覺(jué)的光環(huán)被掩蓋住了,而把成功往往歸功于邏輯的功勞,對(duì)自己的直覺(jué)反而不覺(jué)得。學(xué)生的內(nèi)在潛能沒(méi)有被激發(fā)出來(lái),學(xué)習(xí)的興趣沒(méi)有被調(diào)動(dòng)起來(lái),得不到思維的真正樂(lè)趣。《中國(guó)青年報(bào)》曾報(bào)道,"約30%的初中生學(xué)習(xí)了平面幾何推理之后,喪失了對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣",這種現(xiàn)象應(yīng)該引起數(shù)學(xué)教育者的重視與反思。
二、直覺(jué)思維的主要特點(diǎn)
直覺(jué)思維具有自由性、靈活性、自發(fā)性、偶然性、不可靠性等特點(diǎn),從培養(yǎng)直覺(jué)思維的必要性來(lái)看,筆者以為直覺(jué)思維有以下三個(gè)主要特點(diǎn):
(1)簡(jiǎn)約性
直覺(jué)思維是對(duì)思維對(duì)象從整體上考察,調(diào)動(dòng)自己的全部知識(shí)經(jīng)驗(yàn),通過(guò)豐富的想象作出的敏銳而迅速的假設(shè),猜想或判斷,它省去了一步一步分析推理的中間環(huán)節(jié),而采取了"跳躍式"的形式。它是一瞬間的思維火花,是長(zhǎng)期積累上的一種升華,是思維者的靈感和頓悟,是思維過(guò)程的高度簡(jiǎn)化,但是它卻清晰的觸及到事物的"本質(zhì)"。
(2)創(chuàng)造性
現(xiàn)代社會(huì)需要?jiǎng)?chuàng)造性的人才,我國(guó)的教材由于長(zhǎng)期以來(lái)借鑒國(guó)外的經(jīng)驗(yàn),過(guò)多的注重培養(yǎng)邏輯思維,培養(yǎng)的人才大多數(shù)習(xí)慣于按部就班、墨守成規(guī),缺乏創(chuàng)造能力和開(kāi)拓精神。直覺(jué)思維是基于研究對(duì)象整體上的把握,不專意于細(xì)節(jié)的推敲,是思維的大手筆。正是由于思維的無(wú)意識(shí)性,它的想象才是豐富的,發(fā)散的,使人的認(rèn)知結(jié)構(gòu)向外無(wú)限擴(kuò)展,因而具有反常規(guī)律的獨(dú)創(chuàng)性。
伊恩.斯圖加特說(shuō):"直覺(jué)是真正的數(shù)學(xué)家賴以生存的東西",許多重大的發(fā)現(xiàn)都是基于直覺(jué)。歐幾里得幾何學(xué)的五個(gè)公設(shè)都是基于直覺(jué),從而建立起歐幾里得幾何學(xué)這棟輝煌的大廈;哈密頓在散步的路上進(jìn)發(fā)了構(gòu)造四元素的火花;阿基米德在浴室里找到了辨別王冠真假的方法;凱庫(kù)勒發(fā)現(xiàn)苯分了環(huán)狀結(jié)構(gòu)更是一個(gè)直覺(jué)思維的成功典范。
(3)自信力
學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣的原因有兩種,一種是教師的人格魅力,其二是來(lái)自數(shù)學(xué)本身的魅力。不可否認(rèn)情感的重要作用,但筆者的觀點(diǎn)是,興趣更多來(lái)自數(shù)學(xué)本身。成功可以培養(yǎng)一個(gè)人的自信,直覺(jué)發(fā)現(xiàn)伴隨著很強(qiáng)的"自信心"。相比其它的物資獎(jiǎng)勵(lì)和情感激勵(lì),這種自信更穩(wěn)定、更持久。當(dāng)一個(gè)問(wèn)題不用通過(guò)邏輯證明的形式而是通過(guò)自己的直覺(jué)獲得,那么成功帶給他的震撼是巨大的,內(nèi)心將會(huì)產(chǎn)生一種強(qiáng)大的學(xué)習(xí)鉆研動(dòng)力,從而更加相信自己的能力。
高斯在小學(xué)時(shí)就能解決問(wèn)題"12……99100=?",這是基于他對(duì)數(shù)的敏感性的超常把握,這對(duì)他一生的成功產(chǎn)生了不可磨滅的影響。而現(xiàn)在的中學(xué)生極少具有直覺(jué)意識(shí),對(duì)有限的直覺(jué)也半信半疑,不能從整體上駕馭問(wèn)題,也就無(wú)法形成自信。
中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(試驗(yàn)修訂本)將培養(yǎng)學(xué)生的三大能力之一"邏輯思維能力"改為"思維能力",雖然只是去掉兩個(gè)字,
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三、直覺(jué)思維的培養(yǎng)
一個(gè)人的數(shù)學(xué)思維,判斷能力的高低主要取決于直覺(jué)思維能力的高低。徐利治教授指出:"數(shù)學(xué)直覺(jué)是可以后天培養(yǎng)的,實(shí)際上每個(gè)人的數(shù)學(xué)直覺(jué)也是不斷提高的。"數(shù)學(xué)直覺(jué)是可以通過(guò)訓(xùn)練提高的。
(!)扎實(shí)的基礎(chǔ)是產(chǎn)生直覺(jué)的源泉
直覺(jué)不是靠"機(jī)遇",直覺(jué)的獲得雖然具有偶然性,但決不是無(wú)緣無(wú)故的憑空臆想,而是以扎實(shí)的知識(shí)為基礎(chǔ)。若沒(méi)有深厚的功底,是不會(huì)進(jìn)發(fā)出思維的火花的。阿提雅說(shuō):"一旦你真正感到弄懂一樣?xùn)|西,而且你通過(guò)大量例子以及通過(guò)與其它東兩的聯(lián)系取得了處理那個(gè)問(wèn)題的足夠多的經(jīng)驗(yàn).對(duì)此你就會(huì)產(chǎn)生一種關(guān)于正在發(fā)展的過(guò)程是怎么回事以及什么結(jié)論應(yīng)該是正確的直覺(jué)。"阿達(dá)瑪曾風(fēng)趣的說(shuō):"難道一只猴了也能應(yīng)機(jī)遇而打印成整部美國(guó)憲法嗎?"
(2)滲透數(shù)學(xué)的哲學(xué)觀點(diǎn)及審美觀念
直覺(jué)的產(chǎn)生是基于對(duì)研究對(duì)象整體的把握,而哲學(xué)觀點(diǎn)有利于高屋建鄰的把握事物的本質(zhì)。這些哲學(xué)觀點(diǎn)包括數(shù)學(xué)中普遍存在的對(duì)立統(tǒng)一、運(yùn)動(dòng)變化、相互轉(zhuǎn)化、對(duì)稱性等。例如(ab)2=a22ab-b2,即使沒(méi)有學(xué)過(guò)完全平方公式,也可以運(yùn)用對(duì)稱的觀點(diǎn)判斷結(jié)論的真?zhèn)巍?/p>
美感和美的意識(shí)是數(shù)學(xué)直覺(jué)的本質(zhì),提高審美能力有利于培養(yǎng)數(shù)學(xué)事物間所有存在著的和諧關(guān)系及秩序的直覺(jué)意識(shí),審美能力越強(qiáng),則數(shù)學(xué)直覺(jué)能力也越強(qiáng)。狄拉克于1931年從數(shù)學(xué)對(duì)稱的角度考慮,大膽的提出了反物質(zhì)的假說(shuō),他認(rèn)為真空中的反電子就是正電子。他還對(duì)麥克斯韋方程組提出質(zhì)疑,他曾經(jīng)說(shuō),如果一個(gè)物理方程在數(shù)學(xué)上看上去不美,那么這個(gè)方程的正確性是可疑的。
(3)重視解題教學(xué)
教學(xué)中選擇適當(dāng)?shù)念}目類型,有利于培養(yǎng),考察學(xué)生的直覺(jué)思維。
例如選擇題,由于只要求從四個(gè)選擇支中挑選出來(lái),省略解題過(guò)程,容許合理的猜想,有利于直覺(jué)思維的發(fā)展。實(shí)施開(kāi)放性問(wèn)題教學(xué),也是培養(yǎng)直覺(jué)思維的有效方法。開(kāi)放性問(wèn)題的條件或結(jié)論不夠明確,可以從多個(gè)角度由果尋因,由因索果,提出猜想,由于答案的發(fā)散性,有利于直覺(jué)思維能力的培養(yǎng)。
(4)設(shè)置直覺(jué)思維的意境和動(dòng)機(jī)誘導(dǎo)
這就要求教師轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念,把主動(dòng)權(quán)還給學(xué)生。對(duì)于學(xué)生的大膽設(shè)想給予充分肯定,對(duì)其合理成分及時(shí)給予鼓勵(lì),愛(ài)護(hù)、扶植學(xué)生的自發(fā)性直覺(jué)思維,以免挫傷學(xué)生直覺(jué)思維的積極性和學(xué)生直覺(jué)思維的悟性。教師應(yīng)及時(shí)因勢(shì)利導(dǎo),解除學(xué)生心中的疑惑,使學(xué)生對(duì)自己的直覺(jué)產(chǎn)生成功的喜悅感。
篇4
如果說(shuō)國(guó)外的相應(yīng)研究更加注意對(duì)于實(shí)際數(shù)學(xué)思維過(guò)程的深入考察,那么,國(guó)內(nèi)關(guān)于數(shù)學(xué)思維的研究則是一種規(guī)范性的研究.總體上,數(shù)學(xué)思維研究可歸納為3個(gè)方向:為思維而數(shù)學(xué)思維、為數(shù)學(xué)而數(shù)學(xué)思維和為教育而數(shù)學(xué)思維.?dāng)?shù)學(xué)思維研究的開(kāi)端和第1個(gè)方向是“為思維而數(shù)學(xué)思維”,也即從一般思維出發(fā)研究數(shù)學(xué)思維.20世紀(jì)前,國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)思維研究“所建構(gòu)的‘數(shù)學(xué)思維論’的基本理論框架往往就是從一般的思維論研究中直接借用過(guò)來(lái)的”.甚至于近幾年剛出版的某些“數(shù)學(xué)思維論”的著作,所建構(gòu)的“數(shù)學(xué)思維論”的基本理論框架也是從一般的思維論研究中直接借用過(guò)來(lái)的.只是在數(shù)學(xué)思維的形式與方法上作了一定的延伸和拓展.例如,將數(shù)學(xué)建模等新的數(shù)學(xué)思維的形式與方法融入進(jìn)來(lái),從思維研究的最新成果“左腦思維”和“右腦思維”等角度來(lái)審視數(shù)學(xué)思維.?dāng)?shù)學(xué)思維研究的第2個(gè)方向是“為數(shù)學(xué)而數(shù)學(xué)思維”,也即從數(shù)學(xué)特殊性出發(fā),來(lái)研究特有的數(shù)學(xué)思維.王仲春認(rèn)為:“數(shù)學(xué)思維是指人類關(guān)于數(shù)學(xué)對(duì)象的理性認(rèn)識(shí)過(guò)程,包括應(yīng)用數(shù)學(xué)工具解決各種實(shí)際問(wèn)題的思考過(guò)程.”王梓坤院士在《今日數(shù)學(xué)及其應(yīng)用》一文中指出,當(dāng)代數(shù)學(xué)思維是一種定量思維,通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的提出、分析、解決、應(yīng)用和推廣等一系列工作,以獲得對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)和規(guī)律性的認(rèn)識(shí)過(guò)程.這一方向的數(shù)學(xué)思維研究,不再單單是從一般思維出發(fā)研究數(shù)學(xué)思維,開(kāi)始從數(shù)學(xué)特殊性出發(fā)來(lái)研究數(shù)學(xué)思維.當(dāng)下,數(shù)學(xué)思維研究的第3個(gè)方向是“為教育而數(shù)學(xué)思維”,也即指向數(shù)學(xué)教育(甚至于數(shù)學(xué)教學(xué))的數(shù)學(xué)思維研究,服務(wù)數(shù)學(xué)教育(教學(xué)).這一研究方向的代表學(xué)者,在國(guó)內(nèi)可追溯到孔子.《論語(yǔ)•述而》中有:“子曰,學(xué)而不思則惘,思而不學(xué)則殆.”這里,孔子指出了學(xué)與思之間的關(guān)系,特別是前半句更是強(qiáng)調(diào)了“思”對(duì)于“學(xué)”的重要性,強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)知識(shí)之后,需要再進(jìn)行思維層面的理解和感悟.當(dāng)代比較具有代表性的是任樟輝在1997年的著作《數(shù)學(xué)思維論》中提出“從數(shù)學(xué)思維的角度看,學(xué)生是思維的主體,教師是學(xué)生思維的主導(dǎo),而思維的材料就是教材或數(shù)學(xué)知識(shí)”;其在2001年的著作《數(shù)學(xué)思維理論》中又指出“數(shù)學(xué)思維是針對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)而言的,它是通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的提出、分析、解決、應(yīng)用和推廣等一系列工作,以獲得對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象(空間形式、數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)模式)的本質(zhì)和規(guī)律性的認(rèn)知過(guò)程”.另外,也在1997年,郭思樂(lè)和喻緯出版的《數(shù)學(xué)思維教育論》,更加直接地從數(shù)學(xué)思維教學(xué)目的論、數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)思維論、數(shù)學(xué)思維教育過(guò)程論、數(shù)學(xué)思維觀念論和數(shù)學(xué)思維教學(xué)論等5個(gè)方面進(jìn)行了詳細(xì)的闡述.同時(shí),曹才翰等認(rèn)為“數(shù)學(xué)思維形成的過(guò)程是主體以獲取數(shù)學(xué)知識(shí)或解決數(shù)學(xué)問(wèn)題為目的,運(yùn)用有關(guān)思維方法達(dá)到認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在的信息加工過(guò)程”.隨后,鄭毓信在其著作《數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)方法論》中,也提出數(shù)學(xué)思維研究應(yīng)“為數(shù)學(xué)教育服務(wù)”;單墫則更加具體地提出“考慮中學(xué)數(shù)學(xué)教材、大綱或是課程標(biāo)準(zhǔn)時(shí),不能僅考慮實(shí)用性,不能簡(jiǎn)單地羅列數(shù)學(xué)知識(shí),而更應(yīng)當(dāng)考慮需要培養(yǎng)哪些思維品質(zhì),如何去進(jìn)行思維的訓(xùn)練,充分發(fā)揮數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)的特點(diǎn).”此后至今的10多年,為教育而數(shù)學(xué)思維的相關(guān)研究不斷深入.這在數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中有著明顯的體現(xiàn),其中具體涉及“培養(yǎng)哪些思維品質(zhì)”和“如何去進(jìn)行思維訓(xùn)練”.對(duì)于“培養(yǎng)哪些思維品質(zhì)”,2011年頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中有強(qiáng)調(diào)抽象思維、推理思維、創(chuàng)造性思維、形象思維,2003年頒布的《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中有強(qiáng)調(diào)理性思維、抽象模式、結(jié)構(gòu)研究事物的思維方式、批判性的思維習(xí)慣、邏輯思維、統(tǒng)計(jì)思維與確定性思維、直觀思維.對(duì)于“如何去進(jìn)行思維訓(xùn)練”,2011年頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在學(xué)有余力的學(xué)生、提高思維水平、必要的板書、信息技術(shù)、教學(xué)方式的多樣化、評(píng)價(jià)方式等方面進(jìn)行了一定的闡述,2003年頒布的《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值、科學(xué)價(jià)值和文化價(jià)值、算法的基本思想、數(shù)據(jù)收集與處理、嚴(yán)格的邏輯法則、框圖、復(fù)數(shù)的一些基本知識(shí)、現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)等方面進(jìn)行了一定的闡述.同時(shí),2011年頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》也強(qiáng)調(diào)“教材內(nèi)容的呈現(xiàn)應(yīng)體現(xiàn)過(guò)程性”,這對(duì)于學(xué)生“形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣有著重要的作用”.顯然,“為教育而數(shù)學(xué)思維”的研究是當(dāng)下數(shù)學(xué)思維研究的主流方向,以下對(duì)此作進(jìn)一步介紹.
3為教育而數(shù)學(xué)思維的研究現(xiàn)況
最早“為教育而數(shù)學(xué)思維”,在數(shù)學(xué)思維研究的前2個(gè)階段也有出現(xiàn),但都還只是“在相應(yīng)的一般性理論框架中嵌入若干數(shù)學(xué)的例子”.這些數(shù)學(xué)教育案例盡管在一定程度上起到了一定的作用,但其價(jià)值是不大的.近年來(lái),“為教育而數(shù)學(xué)思維”的研究不斷深入,呈現(xiàn)出以下4個(gè)方面的研究.
3.1從數(shù)學(xué)知識(shí)出發(fā)
周宇劍從數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言教學(xué)的角度探討了促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展的有效途徑,強(qiáng)調(diào)“加強(qiáng)數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言類比和符號(hào)提示功能教學(xué),培養(yǎng)學(xué)生將數(shù)學(xué)敘述語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的能力,引導(dǎo)學(xué)生正確理解數(shù)學(xué)符號(hào)的含義并規(guī)范符號(hào)書寫,促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展”.楊寶珊等對(duì)數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育(HPM)進(jìn)行思維研究,對(duì)數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的有關(guān)現(xiàn)象進(jìn)行思維描述,查明人類思維在該領(lǐng)域中的具體表現(xiàn),找出應(yīng)有的思維資源(包括數(shù)學(xué)思維資源和一般思維資源),并給出了“數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育”思維訓(xùn)練的內(nèi)容和方式.前者是基于學(xué)生角度,后者則是基于教師角度,2個(gè)方面的研究給予了從對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)知識(shí)出發(fā)進(jìn)行數(shù)學(xué)思維研究非常好的示范和參考.
3.2從數(shù)學(xué)能力出發(fā)
蔡金法曾提出“數(shù)學(xué)概括能力是數(shù)學(xué)能力的核心”,林崇德在其提出的數(shù)學(xué)能力結(jié)構(gòu)觀中也以數(shù)學(xué)概括為基礎(chǔ),但也指出“加強(qiáng)數(shù)學(xué)概括能力的培養(yǎng),重點(diǎn)放在培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)上”,同時(shí)他的數(shù)學(xué)能力結(jié)構(gòu)觀除了以數(shù)學(xué)概括為基礎(chǔ)外,還包括3種基本能力(運(yùn)算能力、空間想象力和邏輯思維能力)與5種思維品質(zhì).曹才翰等從數(shù)學(xué)能力角度探討了數(shù)學(xué)思維的重要性,其中曾進(jìn)一步提出“邏輯思維能力是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中要培養(yǎng)的數(shù)學(xué)能力的核心”.同時(shí),蘇建偉對(duì)數(shù)學(xué)元認(rèn)知與數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的相關(guān)性進(jìn)行了研究,提出如何通過(guò)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力來(lái)優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).從中可以看出,數(shù)學(xué)思維在數(shù)學(xué)能力中處于非常重要的地位,可以說(shuō)數(shù)學(xué)思維的能力和品質(zhì)是數(shù)學(xué)能力的核心體現(xiàn).
3.3從學(xué)習(xí)方式出發(fā)
夏小剛、呂傳漢等在跨文化視野下對(duì)中、美學(xué)生數(shù)學(xué)思維差異進(jìn)行了比較研究.研究發(fā)現(xiàn),在問(wèn)題解決中,中、美2國(guó)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維具有明顯的差異性,主要表現(xiàn)為:中國(guó)學(xué)生偏于使用抽象的策略和符號(hào)表征,而美國(guó)學(xué)生則往往比中國(guó)學(xué)生更頻繁地使用視覺(jué)的策略和表征.王霞進(jìn)行了以草稿為載體訓(xùn)練第2學(xué)段學(xué)生數(shù)學(xué)思維的研究,通過(guò)分析和訪談研究學(xué)生的草稿,發(fā)現(xiàn)了導(dǎo)致學(xué)生思維受阻的6個(gè)原因,從而根據(jù)第2學(xué)段學(xué)生的思維現(xiàn)狀以及所存在的問(wèn)題,提出了第1學(xué)段學(xué)生以草稿為載體的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的有效對(duì)策.中外學(xué)生數(shù)學(xué)思維方式的比較研究,能給予思維研究很好的導(dǎo)向;而立足本土的數(shù)學(xué)思維實(shí)證研究,則能給予思維訓(xùn)練以很好的具體啟發(fā).同時(shí),數(shù)學(xué)思維活動(dòng)在學(xué)習(xí)方式角度的表征,還有數(shù)學(xué)認(rèn)知、數(shù)學(xué)反思等.?dāng)?shù)學(xué)認(rèn)知方面,李玉琪在其《元認(rèn)知開(kāi)發(fā)與數(shù)學(xué)問(wèn)題解決》中詳細(xì)論述了元認(rèn)知知識(shí)的統(tǒng)攝作用之?dāng)?shù)學(xué)思維模式的規(guī)范作用.?dāng)?shù)學(xué)反思方面,惠敏悅對(duì)數(shù)學(xué)解題過(guò)程中的反思性學(xué)習(xí)進(jìn)行了研究,敘述了古今中外對(duì)于反思的各種認(rèn)識(shí)和研究,并根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)以及對(duì)于反思的理解嘗試了2種新的教學(xué)模式.鄭毓信以國(guó)際上的相關(guān)研究為背景,對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何突出數(shù)學(xué)思維進(jìn)行具體分析,提出初等數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)思維的3種基本形式:數(shù)學(xué)化、“凝聚”、互補(bǔ)與整合.?dāng)?shù)學(xué)化是指初等數(shù)學(xué)中“日常數(shù)學(xué)”向“學(xué)校數(shù)學(xué)”的數(shù)學(xué)化;“凝聚”是指初等數(shù)學(xué)中算術(shù)以及代數(shù)概念由“過(guò)程”向“對(duì)象”的轉(zhuǎn)化;互補(bǔ)與整合是指同一概念的不同解釋、同一題目的不同解題方法、形式和直覺(jué)之間所存在的重要的互補(bǔ)和整合關(guān)系.
3.4關(guān)注數(shù)學(xué)思維的弱勢(shì)群體
劉曉菁對(duì)高中女生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)進(jìn)行了研究,通過(guò)自然觀察和訪談?wù){(diào)查,具體而客觀地描述了高中女生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)方面的情況及特征,從而提出了如何改進(jìn)女生的數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)以及培養(yǎng)高中女生的數(shù)學(xué)學(xué)科思維的幾點(diǎn)建議和措施.小學(xué)生、女生等數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的弱勢(shì)群體,在近年來(lái)不斷得到重視,相關(guān)研究也還在繼續(xù)進(jìn)行之中.
4進(jìn)一步思考
可以預(yù)見(jiàn),數(shù)學(xué)思維研究將引領(lǐng)數(shù)學(xué)教育,同時(shí)“為教育而數(shù)學(xué)思維”的研究方向?qū)⒃谔嵘龑W(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)力、加強(qiáng)教師的“數(shù)學(xué)思維”意識(shí)、實(shí)證研究有待得到重視、進(jìn)一步關(guān)注數(shù)學(xué)思維的弱勢(shì)群體等方面將得到進(jìn)一步的深入.
4.1數(shù)學(xué)思維研究將引領(lǐng)數(shù)學(xué)教育
當(dāng)下,應(yīng)該本著“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的學(xué)與教”來(lái)明確數(shù)學(xué)教育的核心、途徑和主體.其中核心是數(shù)學(xué)思維,途徑是數(shù)學(xué)思維活動(dòng),主體是學(xué)生.實(shí)現(xiàn)基于數(shù)學(xué)思維的數(shù)學(xué)教育三維目標(biāo),掌握數(shù)學(xué)知識(shí)和技能,體驗(yàn)數(shù)學(xué)思維的過(guò)程、學(xué)習(xí)思維的方法,提升數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)力,實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.周春荔《數(shù)學(xué)思維概論》一書中也提到了“數(shù)學(xué)教學(xué)本質(zhì)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)”.進(jìn)入21世紀(jì),數(shù)學(xué)思維研究將引領(lǐng)數(shù)學(xué)教育.
4.2提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)力
在實(shí)現(xiàn)基于數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的數(shù)學(xué)教學(xué)三維目標(biāo)中,當(dāng)下最為迫切的研究應(yīng)當(dāng)是提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)力.這可以從學(xué)習(xí)和教學(xué)2個(gè)方面來(lái)論證:從學(xué)習(xí)方面來(lái)看,當(dāng)前課堂教學(xué)改革的核心目標(biāo)之一是提升學(xué)生的學(xué)習(xí)力,而數(shù)學(xué)能力的核心體現(xiàn)在數(shù)學(xué)思維的能力和品質(zhì),因此數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)力的要素需圍繞數(shù)學(xué)思維來(lái)構(gòu)建和組織,從而形成成熟的運(yùn)作模型;從教學(xué)方面看,從數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)到數(shù)學(xué)素養(yǎng)的教學(xué),數(shù)學(xué)思維的教學(xué)是必經(jīng)、必由之路.
4.3加強(qiáng)教師的“數(shù)學(xué)思維”意識(shí)
數(shù)學(xué)教師的職責(zé)在于提高“數(shù)學(xué)的社會(huì)實(shí)現(xiàn)能力”,具體包括2個(gè)方面:一方面是面向?qū)W生做數(shù)學(xué)教學(xué)工作,普及數(shù)學(xué)思想、知識(shí)、技術(shù);另一方面則是對(duì)學(xué)生進(jìn)行科學(xué)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練等.前一方面是數(shù)學(xué)教師普遍重視的,但后一方面由于現(xiàn)實(shí)的多方面問(wèn)題卻沒(méi)有太多精力給予應(yīng)有的重視.但從學(xué)生的成長(zhǎng)上來(lái)說(shuō),數(shù)學(xué)思維起著非常重要的作用;從數(shù)學(xué)教師的專業(yè)化上來(lái)說(shuō),數(shù)學(xué)思維研究、數(shù)學(xué)思維在教學(xué)中的應(yīng)用等研究能夠促進(jìn)教師的專業(yè)成長(zhǎng).
4.4國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)思維的實(shí)證研究有待得到重視
國(guó)外數(shù)學(xué)思維的研究多為實(shí)證研究,但在國(guó)內(nèi)卻多為理論研究.然而數(shù)學(xué)思維是按照一般思維規(guī)律認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)內(nèi)容的理性活動(dòng),它的這一本質(zhì)決定著數(shù)學(xué)思維實(shí)證研究的重要性.另外,數(shù)學(xué)思維的實(shí)證研究也能夠更加具體地指向教學(xué)策略.?dāng)?shù)學(xué)思維實(shí)證研究具體可以從2個(gè)維度進(jìn)行:學(xué)生角度和知識(shí)角度.學(xué)生角度,可以通過(guò)調(diào)研等方式具體探究學(xué)生數(shù)學(xué)思維的薄弱點(diǎn)和培養(yǎng)方式;知識(shí)角度,可以通過(guò)對(duì)具體數(shù)學(xué)知識(shí)下的數(shù)學(xué)思維進(jìn)行教學(xué)實(shí)驗(yàn)式的研究.
篇5
論文百事通現(xiàn)代教學(xué)論認(rèn)為,數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)。數(shù)學(xué)教學(xué)培養(yǎng)的是學(xué)生的思維習(xí)慣和思維品質(zhì),是數(shù)學(xué)思維教育素質(zhì)化的重要內(nèi)容。思維培養(yǎng)的成功與否將直接影響數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提高,影響著中學(xué)數(shù)學(xué)教育改革的深化與發(fā)展。
數(shù)學(xué)思維是人腦和數(shù)學(xué)對(duì)象(空間形式與數(shù)量關(guān)系)互相作用并按一定規(guī)律產(chǎn)生和發(fā)展的。數(shù)學(xué)思維的種類有很多,從具體形象思維到抽象邏輯思維,從直覺(jué)思維到辨證思維,從正向思維到逆向思維,從集中思維到發(fā)散思維,從再現(xiàn)性思維到創(chuàng)造性思維,從中體現(xiàn)出了多種多樣的思維品質(zhì)。如思維的深刻性、邏輯性、廣闊性、靈活性、創(chuàng)造性、發(fā)散性等。我認(rèn)為,高中數(shù)學(xué)教學(xué)中主要應(yīng)通過(guò)對(duì)學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)達(dá)到提高思維能力的目的,具體體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面:
一、注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本概念的教學(xué)
高一學(xué)生,從初中數(shù)學(xué)到高中數(shù)學(xué)將經(jīng)歷一個(gè)和很大的跨度,主要表現(xiàn)在知識(shí)內(nèi)容方面的銜接不自然,對(duì)高中數(shù)學(xué)抽象的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)形式極不適應(yīng)。比如第一冊(cè)第一章的集合與簡(jiǎn)易邏輯,表面上看似很簡(jiǎn)單,而實(shí)際運(yùn)用中卻不能準(zhǔn)確把握那些用集合語(yǔ)言所描述的題目含義。再如第二章函數(shù),這是高中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容,教師會(huì)花很大的精力去講授,學(xué)生會(huì)都會(huì)下很大力氣來(lái)做題,結(jié)果卻不如人意。學(xué)生做題時(shí)主要是在解具體題目時(shí)很難與基本概念聯(lián)系起來(lái)。如經(jīng)常遇到的二次函數(shù)問(wèn)題,有時(shí)是求值域,有時(shí)是解方程或不等式,學(xué)生感到茫然。我把它們統(tǒng)一在一起,強(qiáng)調(diào)二次項(xiàng)系數(shù)對(duì)稱軸、判別式等幾個(gè)因素,幫助學(xué)生克服了思維的無(wú)序性。這一章內(nèi)容是思維方法從直觀到抽象、從離散到凝聚的過(guò)渡,是訓(xùn)練學(xué)生思維深刻性和廣闊性的重要階段。
二、加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的滲透
高中數(shù)學(xué)的四大數(shù)學(xué)思想和十幾種數(shù)學(xué)方法是教學(xué)的關(guān)鍵與靈魂。一是解題的方法。為培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí),提高學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力,教學(xué)中應(yīng)結(jié)合具體問(wèn)題,教給學(xué)生解答的基本方法、步驟。二是數(shù)學(xué)思想方法。思想方法把不同章節(jié)、不同類型的數(shù)學(xué)問(wèn)題統(tǒng)一了起來(lái),如數(shù)形結(jié)合思想培養(yǎng)了思維的形象性、創(chuàng)造性,化歸思想提高了學(xué)生的靈活性、辨證性等。如換元法是一種常見(jiàn)的變形手段,它不只限于解某一章或某一類的問(wèn)題。注重對(duì)這些思想方法的滲透,可以提高學(xué)生歸納總結(jié)及聯(lián)想能力,將數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的理解提高到一個(gè)新的階段,這對(duì)思維品質(zhì)的培養(yǎng)十分有益。
三、挖掘數(shù)學(xué)例題習(xí)題的功能
篇6
把教材知識(shí)系統(tǒng)與學(xué)生已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)?zāi)軌蚝芎玫娜诤显谝黄稹=虒W(xué)過(guò)程中思維嚴(yán)謹(jǐn),邏輯性強(qiáng),善于啟發(fā)誘導(dǎo)。在教學(xué)中,教師應(yīng)有意識(shí)地通過(guò)知識(shí)的傳授,去培養(yǎng)學(xué)生深刻的思維能力。比如,講定義、定理時(shí),不僅注意準(zhǔn)確解釋詞句的內(nèi)含外延,而更要注意通過(guò)一些實(shí)例來(lái)指引學(xué)生參加結(jié)論的導(dǎo)出,以培養(yǎng)學(xué)生的概括能力。
數(shù)學(xué)思維是一個(gè)人的優(yōu)秀品質(zhì)。一個(gè)人有好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)是難能可貴的。
1.教師在學(xué)生解題訓(xùn)練中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維
數(shù)學(xué)題是數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的重要組成部分,教師用這些題目去加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的了解、掌握和運(yùn)用,也用它們衡量學(xué)生對(duì)知識(shí)掌握的程度,檢驗(yàn)教學(xué)效果。解題過(guò)程包括弄清問(wèn)題、尋求解題思路、寫出解題過(guò)程、解答回顧等四個(gè)重要環(huán)節(jié),第一個(gè)環(huán)節(jié)是解題的起始,第四個(gè)環(huán)節(jié)是解題的歸宿和升華;這四個(gè)環(huán)節(jié)對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、廣闊性、深刻性等優(yōu)良品質(zhì)有著重要的意義。
2.教師通過(guò)在教學(xué)中挖掘知識(shí)的內(nèi)在思想來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維要有意識(shí)的激發(fā)學(xué)生思維成長(zhǎng)
在教學(xué)中,教師要十分注意激起學(xué)生強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)興趣和對(duì)知識(shí)的渴求,使他們能帶著一種高漲的情緒從事學(xué)習(xí)和思考。例如在高一年級(jí)講述函數(shù)求值域的問(wèn)題時(shí),我們先從學(xué)生初中已學(xué)過(guò)的()入手,逐步引導(dǎo)學(xué)生,值域,值域,值域,值域,讓其自己發(fā)現(xiàn)結(jié)論,經(jīng)過(guò)每一步學(xué)生自己參與自己總結(jié)很自然的他們會(huì)總結(jié)出這種形式函數(shù)的值域問(wèn)題。這就是解題過(guò)程中激發(fā)學(xué)生的興趣,以激發(fā)學(xué)生對(duì)新知識(shí)、新方法的探知思維活動(dòng),這將有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)和求知欲。在學(xué)生不斷地解決知與不知的矛盾過(guò)程中,還要善于引導(dǎo)他們一環(huán)接一環(huán)地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、思考問(wèn)題、解決問(wèn)題。
3.教學(xué)過(guò)程中讓學(xué)生體會(huì)獨(dú)立思考,認(rèn)真思維帶來(lái)的樂(lè)趣
在教學(xué)過(guò)程中,讓學(xué)生主動(dòng)參與到學(xué)習(xí)過(guò)程中來(lái),培養(yǎng)其學(xué)習(xí)的興趣。這對(duì)于學(xué)生主動(dòng)思考,獨(dú)立思考是有很大幫助的。可以極大的鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。如:橢圓的定義,傳統(tǒng)的教學(xué)主要是教師自己拿一段細(xì)繩和兩枚圖訂在黑板上演示橢圓的形成過(guò)程,然后給出橢圓的定義。這樣的教學(xué)方法直接呆板,學(xué)生參與少、思考少,而且這樣直接了解橢圓的定義,會(huì)造成單純的記憶性,缺少探索性。因而記憶的印象不夠深刻,運(yùn)用其解決實(shí)際問(wèn)題更難,實(shí)際上沒(méi)有真正培養(yǎng)到學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。假如換個(gè)角色,由教師為主角演練,換成把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生,讓學(xué)生親自實(shí)踐,大膽探索:先讓學(xué)生拿出課前準(zhǔn)備好的一塊紙板,一段細(xì)繩和兩枚圖訂,自己動(dòng)手畫圖,然后同桌相互評(píng)價(jià);其次在兩枚圖訂之間的距離發(fā)生變化而繩長(zhǎng)不變的條件下對(duì)所畫圖形自主進(jìn)行探索;最后對(duì)概念的歸納進(jìn)行討論,學(xué)生試著說(shuō)出橢圓的定義,教師補(bǔ)充。這樣通過(guò)學(xué)生自己的體驗(yàn),用自己的思維方式,通過(guò)獨(dú)立思考、合作交流、歸納整理,形成新的知識(shí)結(jié)構(gòu),而且學(xué)生之間在討論中相互補(bǔ)充,這樣使他們的直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比等數(shù)學(xué)思維能力在課堂教學(xué)活動(dòng)中得到鍛煉和提高,同時(shí)又能真正體現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的本質(zhì),實(shí)現(xiàn)教學(xué)雙長(zhǎng)。
另外當(dāng)學(xué)生真正獨(dú)立思考,獨(dú)立解決問(wèn)題以后,教師在設(shè)置相應(yīng)的縱向的知識(shí)聯(lián)系就更能激發(fā)學(xué)生想象,如在學(xué)生掌握橢圓的定義之后。我們可以馬上設(shè)置雙曲線的定義問(wèn)題由距離的和很順利的過(guò)渡到距離的差,以激發(fā)同學(xué)對(duì)知識(shí)的渴望,形成良性循環(huán)。先思考,然后參與,再總結(jié)。
4.數(shù)形結(jié)合的思想的重要性
數(shù)形結(jié)合的思想是數(shù)學(xué)中的重要思想,它可極大的鍛煉學(xué)生的感官與理性認(rèn)識(shí)的結(jié)合。因此利用數(shù)形結(jié)合,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力是很有必要的。數(shù)形結(jié)合就是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)與其所反映的圖形有機(jī)的結(jié)合起來(lái),從而促進(jìn)抽象思維與形象思維的有機(jī)結(jié)合,通過(guò)對(duì)直觀圖形的觀察與分析,化抽象為直觀,化直觀為精確,從而使問(wèn)題得以解決。例如在介紹絕對(duì)值不等式恒成立的問(wèn)題時(shí):恒成立,求的取值范圍。就可引導(dǎo)學(xué)生去考慮絕對(duì)值的幾何意義即是距離問(wèn)題。那么該題即考察數(shù)軸上到2與5距離的和的最小值問(wèn)題,畫出數(shù)軸即可解決只需即可。另外在二次函數(shù)相關(guān)問(wèn)題的解決時(shí),如在講述二次函數(shù)在閉區(qū)間上根的分布以及取值問(wèn)題時(shí),引導(dǎo)同學(xué)畫圖像,發(fā)現(xiàn)特點(diǎn),在從理論上去說(shuō)明,就是將解決問(wèn)題的所有方法先呈現(xiàn)給學(xué)生,讓其自己去發(fā)現(xiàn),去總結(jié)如何整合這些資源以利己用。再如,講述函數(shù)性質(zhì)的內(nèi)容時(shí),單調(diào)性與奇偶性的發(fā)現(xiàn)就是充分利用了數(shù)形結(jié)合的思想;解析幾何中的這種應(yīng)用更為普遍。所有這些都能極大的鍛煉學(xué)生的思維能力。
總之,在數(shù)學(xué)教學(xué)中多進(jìn)行有目的的思維訓(xùn)練,不僅要讓學(xué)生多掌握解題方法,更重要的是要培養(yǎng)學(xué)生靈活多變的解題思維,從而既提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力,又達(dá)到發(fā)展智力的目的。
參考文獻(xiàn)
篇7
思維是從問(wèn)題開(kāi)始的。發(fā)散性提問(wèn)可以直接激勵(lì)學(xué)生進(jìn)行積極的思維活動(dòng)。這種提問(wèn)追求的目標(biāo)不是單一的答案,而是盡可能多、盡可能新的獨(dú)創(chuàng)的想法,因而對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維,具有更直接、更現(xiàn)實(shí)的意義。
如:用語(yǔ)言敘述算式38×(125÷5)。可以這樣提問(wèn):“你能用幾種不同的方式敘述這個(gè)算式?”這時(shí),全班同學(xué)紛紛舉手要求發(fā)言。“38乘以125除以5的商,積是多少?”、“38與125除以5的商的積是多少?”、“38乘以5除125的商,積是多少?”、“125除以5的商乘38的積是多少?”……同學(xué)們想出了許多種不同的敘述方式,顯示出思維非常活躍。
二、一題多解
一題多解之所以有助于發(fā)散思維的培養(yǎng),主要是因?yàn)樗髮W(xué)生的思維活動(dòng)要“多向”,不局限于單一角度,不受一種思路的束縛,為了尋求問(wèn)題的解決,它要求尋找多樣化的解決方式,謀求多種可能。在這種情況下,學(xué)生往往會(huì)獨(dú)辟蹊徑,發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的新途徑。
如:“有化肥72噸,先用3輛同樣的汽車一次運(yùn)走18噸。照這樣計(jì)算,剩下的化肥一次運(yùn)完,需要這樣的汽車多少輛?”學(xué)生們先用學(xué)過(guò)的知識(shí),想出了(72-18)÷(18÷3)和72÷(18÷3)-3兩種解法。這時(shí)我引導(dǎo)學(xué)生從倍數(shù)關(guān)系方面想出不同的解法。同學(xué)們?cè)谖业膯l(fā)下,又想出了3×[(72-18)÷18]、3×(72÷18-1)和3×(72÷18)-3等3種解法。這時(shí)全班學(xué)生都?xì)g呼雀躍起來(lái),對(duì)想出不同解法的同學(xué)表示祝賀。一題多解不僅培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維能力,也極大地激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和濃厚的興趣。
三、延遲評(píng)價(jià)
篇8
亞里士多德曾精辟地闡述:“思維從問(wèn)題、驚訝開(kāi)始”,數(shù)學(xué)過(guò)程是一個(gè)不斷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的動(dòng)態(tài)化過(guò)程。好的問(wèn)題能誘發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、啟迪思維、激發(fā)求知欲和創(chuàng)造欲。學(xué)生的創(chuàng)造性思維往往是由遇到要解決的問(wèn)題而引起的,因此,教師在傳授知識(shí)的過(guò)程中,要精心設(shè)計(jì)思維過(guò)程,創(chuàng)設(shè)思維情境,使學(xué)生在數(shù)學(xué)問(wèn)題情境中,新的需要與原有的數(shù)學(xué)水平發(fā)生認(rèn)知沖突,從而激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的積極性。
例如,在復(fù)數(shù)的引入時(shí),可先讓學(xué)生解這樣的一個(gè)命題:
已知:a+=1求a2+的值
學(xué)生很快求出:a2+=(a+)2-2=-1但又感到迷惑不解,因?yàn)閍2>0,>0,為什么兩個(gè)正數(shù)的和小于0呢?這時(shí),教師及時(shí)指出,因?yàn)榉匠蘟+=1沒(méi)有實(shí)數(shù)根,同學(xué)們學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的有關(guān)知識(shí)后就會(huì)明白。這樣,使學(xué)生急于想了解復(fù)數(shù)到底是怎樣的一種數(shù),使學(xué)生有了追根求源之感,求知的熱情被激發(fā)起來(lái)。
又如,在講解“等比數(shù)列求和公式”時(shí),先給學(xué)生講了一個(gè)故事:從前有一個(gè)財(cái)主,為人刻薄吝嗇,常常扣克在他家打工的人的工錢,因此,附近村民都不愿到他那里打工。有一天,這個(gè)財(cái)主家來(lái)了一位年輕人,要求打工一個(gè)月,同時(shí)講了打工的報(bào)酬是:第一天的工錢只要一分錢,第二天是二分錢,第三天是四分錢,......以后每天的工錢數(shù)是前一天的2倍,直到30天期滿。這個(gè)財(cái)主聽(tīng)了,心想這工錢也真便宜,就馬上與這個(gè)年輕人簽訂了合同。可是一個(gè)月后,這個(gè)財(cái)主卻破產(chǎn)了,因?yàn)樗恫涣四敲炊嗟墓ゅX。那么這工錢到底有多少呢?由于問(wèn)題富有趣味性,學(xué)生們頓時(shí)活躍起來(lái),紛紛猜測(cè)結(jié)論。這時(shí),教師及時(shí)點(diǎn)題:這就是我們今天要研究的課題——等比數(shù)列的求和公式。同時(shí),告訴學(xué)生,通過(guò)等比數(shù)列求和公式可算出,這個(gè)財(cái)主應(yīng)付給打工者的工錢應(yīng)為230-1(分)即1073741824分≈1073(萬(wàn)元),學(xué)生聽(tīng)到這個(gè)數(shù)學(xué),都不約而同地“啊”了一聲,非常驚訝。這樣巧設(shè)懸念,使學(xué)生開(kāi)始就對(duì)問(wèn)題產(chǎn)生了濃厚的興趣,啟發(fā)學(xué)生積極思維。
以上兩個(gè)例子說(shuō)明,在課堂數(shù)學(xué)中,創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境,設(shè)置懸念能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,使學(xué)生迫切地想要了解所學(xué)內(nèi)容,也為學(xué)生發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題,解決新問(wèn)題創(chuàng)造了理想的環(huán)境,這是組織數(shù)學(xué)的常用方法。
二、啟迪直覺(jué)思維,培養(yǎng)創(chuàng)造機(jī)智
任何創(chuàng)造過(guò)程,都要經(jīng)歷由直覺(jué)思維得出猜想,假設(shè),再由邏輯思維進(jìn)行推理、實(shí)驗(yàn),證明猜想、假設(shè)是正確的。直覺(jué)思維是指不受固定的邏輯規(guī)則的約束,對(duì)于事物的一種迅速的識(shí)別,敏銳而深入的洞察,直接的本質(zhì)理解和綜合的整體判斷,也就是直接領(lǐng)悟的思維或認(rèn)知。布魯納指出:直覺(jué)思維的特點(diǎn)是缺少清晰的確定步驟。它傾向于首先就一下子以對(duì)整個(gè)問(wèn)題的理解為基礎(chǔ)進(jìn)行思維,獲得答案(這個(gè)答案可能對(duì)或錯(cuò)),而意識(shí)不到他賴以求答案的過(guò)程。許多科學(xué)發(fā)現(xiàn),都是由科學(xué)家們一時(shí)的直覺(jué)得出猜想、假設(shè),然后再由科學(xué)家們自己或幾代人,經(jīng)過(guò)幾年,幾十年甚至上百年不懈的努力研究而得以證明。如有名的“哥德巴赫猜想”“黎曼猜想”等等。因此,要培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造思維,就必須培養(yǎng)好學(xué)生的直覺(jué)思維和邏輯思維的能力,而直覺(jué)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力有著極其重要的意義,在教學(xué)中應(yīng)予以重視。
教師在課堂教學(xué)中,對(duì)學(xué)生的直覺(jué)猜想不要隨便扼殺,而應(yīng)正確引導(dǎo),鼓勵(lì)學(xué)生大膽說(shuō)出由直覺(jué)得出的結(jié)論。
例如,有一位老師上了一堂公開(kāi)課。他剛在黑板上寫上下面的題目:平面上有兩個(gè)點(diǎn)(t+,t-)(t>0)與(1,0),當(dāng)這兩點(diǎn)距離最短時(shí),t=____。有一位同學(xué)小聲說(shuō)道:t=1,老師問(wèn)他為什么?那位學(xué)生只是吞吞吐吐,詞不達(dá)意,說(shuō)不出所以然。那位老師讓他坐下,并批評(píng)了他。實(shí)際上,那位學(xué)生憑的是直覺(jué),首先直覺(jué)到:距離最短t+有最小值t=1。這時(shí)老師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生去仔細(xì)推敲,找出理論依據(jù)。其實(shí)“追蹤還原”出事物本來(lái)面目,便可解釋為:如圖所示,因?yàn)閠+≥2,所以動(dòng)點(diǎn)P(t+,t-)位于直線x=2的右則,(含直線x=2本身),t=1時(shí),對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為(2,0),恰好是Q(1,0)在直線x=2上的射影,P′Q的長(zhǎng)即為直線x=2的右半面上所有點(diǎn)到點(diǎn)Q的距離的最小值。
同時(shí),還可以從深一層意義“還原”下去:設(shè)動(dòng)點(diǎn)為(t+,t-),將方程x=t+,y=t-兩邊平方后相減,可得方程x2-y2=4(x≥2),故點(diǎn)Q與雙曲線的右項(xiàng)點(diǎn)P’(2,0)距離最小,所以│PQ│min=2-1=1,這時(shí),t+=2,t-=0,即t=1。
如果這樣講,不僅保護(hù)和鼓勵(lì)了學(xué)生的直覺(jué)思維的積極性,還可以激活課堂氣氛。
由此可見(jiàn),直覺(jué)思維以已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的,因此,在教學(xué)中要抓好“三基”教學(xué),同時(shí)要保護(hù)學(xué)生在教學(xué)過(guò)程中反映出來(lái)的直覺(jué)思維,鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想發(fā)現(xiàn)結(jié)論,為杜絕可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤,應(yīng)“還原”直覺(jué)思維的過(guò)程,從理論上給予證明,使學(xué)生的邏輯思維能力得以訓(xùn)練,從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造機(jī)智。
三、培養(yǎng)發(fā)散思維,提高創(chuàng)造思維能力
篇9
(2)引導(dǎo)學(xué)生正確使用歸納法,善于分析、總結(jié)和歸納。由歸納法推理所得的結(jié)論雖然未必是可靠的,但它由特殊到一般,由具體到抽象的認(rèn)識(shí)功能對(duì)于科學(xué)的發(fā)現(xiàn)是十分有用的。
(3)引導(dǎo)學(xué)生正確使用類比法,善于在一系列的結(jié)果中找出事物的共同性質(zhì)或相似處之后,推測(cè)在其它方面也可能存在的相同或相似之處。
2.發(fā)散思維的培養(yǎng)
發(fā)散思維有助于克服那種單一、刻板和封閉的思維方式,使學(xué)生學(xué)會(huì)從不同的角度解決問(wèn)題的方法。在課堂教學(xué)中,進(jìn)行發(fā)散思維訓(xùn)練常用的方法主要有以下兩點(diǎn):
(1)采用“變式”的方法。變式教學(xué)應(yīng)用于解題,就是通常所說(shuō)的“一題多解”。一題多解或一題多變,能引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行發(fā)散思考,擴(kuò)展思維的空間。
(2)提供錯(cuò)誤的反例。為了幫助學(xué)生從事物變化的表象中去揭示變化的實(shí)質(zhì),從多方面進(jìn)行思考,教師在從正面講清概念后,可適當(dāng)舉出一些相反的錯(cuò)誤實(shí)例,供學(xué)生進(jìn)行辨析,以加深對(duì)概念的理解,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多向思維活動(dòng)。
3.形象思維的培養(yǎng)
形象思維能力集中體現(xiàn)為聯(lián)想和猜想的能力。它是創(chuàng)造性思維的重要品質(zhì)之一,主要從下面幾點(diǎn)來(lái)進(jìn)行培養(yǎng):
(1)要想增強(qiáng)學(xué)生的聯(lián)想能力,關(guān)鍵在于讓學(xué)生把知識(shí)經(jīng)驗(yàn)以信息的方式井然有序地儲(chǔ)存在大腦里。
(2)在教學(xué)活動(dòng)中,教師應(yīng)當(dāng)努力設(shè)置情景觸發(fā)學(xué)生的聯(lián)想。在學(xué)生的學(xué)習(xí)中,思維活動(dòng)常以聯(lián)想的形式出現(xiàn),學(xué)生的聯(lián)想力越強(qiáng),思路就越廣闊,思維效果就越好。
(3)為了使學(xué)生的學(xué)習(xí)獲得最佳效果,讓聯(lián)想導(dǎo)致創(chuàng)造,教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生經(jīng)常有意識(shí)地對(duì)輸入大腦的信息進(jìn)行加工編碼,使信息納入已有的知識(shí)網(wǎng)絡(luò),或組成新的網(wǎng)絡(luò),在頭腦中構(gòu)成無(wú)數(shù)信息的鏈。
4.直覺(jué)思維的培養(yǎng)
在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程我們應(yīng)當(dāng)主動(dòng)創(chuàng)造條件,自覺(jué)地運(yùn)用靈感激發(fā)規(guī)律,實(shí)施激疑頓悟的啟發(fā)教育,堅(jiān)持以創(chuàng)造為目標(biāo)的定向?qū)W習(xí),特別要注意對(duì)靈感的線形分析,以及聯(lián)想和猜想能力的訓(xùn)練,以期達(dá)到有效地培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)直覺(jué)思維能力之目的。
(1)應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)整體思維意識(shí),提高直覺(jué)判斷能力。扎實(shí)的基礎(chǔ)是產(chǎn)生直覺(jué)的源泉,阿提雅說(shuō)過(guò):“一旦你真正感到弄懂一樣?xùn)|西,而且你通過(guò)大量例子,以及與其他東西的聯(lián)系取得了處理那個(gè)問(wèn)題的足夠多的經(jīng)驗(yàn),對(duì)此你就會(huì)產(chǎn)生一種正在發(fā)展的過(guò)程是怎么回事,以及什么結(jié)論應(yīng)該是正確的直覺(jué)。”
(2)要注重中介思維能力訓(xùn)練,提高直覺(jué)想象能力。例如,通過(guò)類比,迅速建立數(shù)學(xué)模型,或培養(yǎng)聯(lián)想能力,促進(jìn)思維迅速遷移,都可以啟發(fā)直覺(jué)。我們還應(yīng)當(dāng)注意猜想能力的科學(xué)訓(xùn)練,提高直覺(jué)推理能力。
(3)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)滲透數(shù)形結(jié)合的思想,幫助學(xué)生建立直覺(jué)觀念。
(4)可以通過(guò)提高數(shù)學(xué)審美意識(shí),促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)直覺(jué)思維的形成。美感和美的意識(shí)是數(shù)學(xué)直覺(jué)的本質(zhì),提高審美能力有利于培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)事物間所有存在著的和諧關(guān)系及秩序的直覺(jué)意識(shí)。
5.辯證思維的培養(yǎng)
辯證思維的實(shí)質(zhì)是辯證法對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律在思維中的反映。教學(xué)中教師應(yīng)有意識(shí)地從以下幾個(gè)方面進(jìn)行培養(yǎng):
(1)辯證地認(rèn)識(shí)已知和未知。在數(shù)學(xué)問(wèn)題未知里面有許多重要信息,所以未知實(shí)際上也是已知,數(shù)學(xué)上的綜合法強(qiáng)調(diào)從已知導(dǎo)向未知,分析法則強(qiáng)調(diào)從未知去探求已知。
(2)辯證地認(rèn)識(shí)定性和定量。定性分析著重抽象的邏輯推理;定量分析著重具體的運(yùn)算比較,雖然定量分析比定性分析更加真實(shí)可信,但定性分析對(duì)定量分析常常具有指導(dǎo)作用(3)辯證地認(rèn)識(shí)模型和原型。模型方法是現(xiàn)代科學(xué)的核心方法,所謂模型方法就是通過(guò)對(duì)所建立的模型的研究來(lái)推知原型的某種性質(zhì)和規(guī)律。這種方法需要我們注意觀念上的轉(zhuǎn)變和更新。
6.各種思維的協(xié)同培養(yǎng)
當(dāng)然,任何思維方式都不是孤立的。教師應(yīng)該激勵(lì)學(xué)生大膽假設(shè)小心求證,并在例題的講解中穿插多種思維方法,注意培養(yǎng)學(xué)生的觀察力、記憶力、想象力等,以達(dá)到提高學(xué)生創(chuàng)造性思維能力的目的。我們來(lái)看下面這些例子:
例1:觀察下列算式:
作用的結(jié)果。
再進(jìn)一步觀察,可以發(fā)現(xiàn)3=5-2,4=7-3,4=9-5,…,D=A-B。能發(fā)現(xiàn)這樣的規(guī)律,正是我們的邏輯思維作用的結(jié)果。
何一個(gè)創(chuàng)造性思維的產(chǎn)生都是這些思維互相作用的結(jié)果。
例2:如圖:在RtABC中,∠ACB=90°,CDAB,垂足為D,求AC的長(zhǎng)。請(qǐng)補(bǔ)充題目的條件,每次給出兩條邊。
本題是一個(gè)條件發(fā)散的題目,條件的發(fā)散導(dǎo)致多種解法的產(chǎn)生。事實(shí)上,至少存在如下10種解法:
(1)AD,CD;(2)AB,CB;
(3)AD,AB;(4)AD,DB;
(5)AB,DB;(6)CD,DB;
(7)CB,DB;(8)AB,CD;
(9)CB,CD;(10)AD,CB。
已知(1)(2)時(shí),直接應(yīng)用勾股定理;已知(3)(4)(5)時(shí),直接應(yīng)用射影定理。只用一次定理即可求出AC,可見(jiàn)已知和結(jié)論距離較近。
已知(6)(7)(8)(9)(10)時(shí),需要應(yīng)用兩次定理才能求解,這五種情況比較,已知與結(jié)論的距離遠(yuǎn)些。
通過(guò)對(duì)此題的研究,“窮舉法”在列舉各種已知條件的可能性時(shí)得到應(yīng)用,并體現(xiàn)了發(fā)散思維一題多解的思想,更重要的是,學(xué)生在觀察中了解了自己的思維層次,在總結(jié)、選擇中提高了思維水平,由發(fā)散到集中(非邏輯思維到邏輯思維),學(xué)生的創(chuàng)造性思維就會(huì)逐步形成。
總之,我們要利用各種思維相互促進(jìn)的關(guān)系,把學(xué)生的思維習(xí)慣逐漸由“再現(xiàn)”導(dǎo)向“創(chuàng)造”,用已掌握的知識(shí)去研究新知識(shí),引導(dǎo)他們總結(jié)規(guī)律,展示想象,大膽創(chuàng)新。
總而言之,我們可以看到,創(chuàng)造性思維既有別于傳統(tǒng)教育所注重的邏輯思維,又并非單純意義上的發(fā)散思維,它是由邏輯思維、非邏輯思維、直覺(jué)思維和辯證思維所構(gòu)成的有機(jī)的整體,并且是一個(gè)人創(chuàng)造力的核心。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該盡快地轉(zhuǎn)變思想,從傳統(tǒng)的教育模式向培養(yǎng)創(chuàng)造性人才的教育模式轉(zhuǎn)變,從傳統(tǒng)教育所強(qiáng)調(diào)的邏輯思維向現(xiàn)代社會(huì)所需要的創(chuàng)造性思維轉(zhuǎn)變。這個(gè)過(guò)程將是漫長(zhǎng)的,我們將繼續(xù)探索下去。
論文關(guān)鍵詞:創(chuàng)造性思維培養(yǎng)協(xié)同培養(yǎng)
論文摘要:本文論述了創(chuàng)造性思維研究的現(xiàn)狀,簡(jiǎn)單梳理了創(chuàng)造性思維研究的幾種觀點(diǎn),并鑒于實(shí)踐中對(duì)于創(chuàng)造性思維研究的成果的應(yīng)用,列舉了五種較為流傳的創(chuàng)造性思維教學(xué)模式,隨后論述創(chuàng)造性思維的本質(zhì)及構(gòu)造,討論了創(chuàng)造性思維方法的培養(yǎng)。
著名的未來(lái)學(xué)家伊薩克·阿西莫夫說(shuō)過(guò):“二十一世紀(jì)可能是創(chuàng)造的偉大時(shí)代。那時(shí),機(jī)器將最終取代人去完成所有單調(diào)的任務(wù),計(jì)算機(jī)將保障世界的運(yùn)轉(zhuǎn)。而人類則最終得以自由地做非他莫屬的事情——?jiǎng)?chuàng)造。”從某種意義上說(shuō),人類社會(huì)的發(fā)展進(jìn)步,取決于人類飽含生機(jī)的創(chuàng)造力。
創(chuàng)造性思維正是探求和創(chuàng)造新知識(shí)的思維形式和思維方法。創(chuàng)造性思維由于對(duì)于認(rèn)識(shí)世界和改造世界具有極其重要的意義,因此引起了人們?cè)絹?lái)越多的興趣,成為理論界關(guān)注的課題。
教育在培養(yǎng)創(chuàng)新精神和培養(yǎng)創(chuàng)造性人才方面肩負(fù)著特殊的使命。要有效地培養(yǎng)出大批具有創(chuàng)新能力的人才,教師首先要先轉(zhuǎn)變教育思想、教學(xué)觀念和教學(xué)模式。所謂具有創(chuàng)新能力的人才是指具有創(chuàng)造意識(shí)、創(chuàng)造性思維和創(chuàng)造能力的人才,而其核心是創(chuàng)造性思維。所以,創(chuàng)新人才培養(yǎng)理論的核心就是如何培養(yǎng)創(chuàng)造性思維。
根據(jù)當(dāng)代心理學(xué)和神經(jīng)生理學(xué)最新研究成果而提出的關(guān)于創(chuàng)造性思維的“內(nèi)外雙循環(huán)理論模型”(DC模型)認(rèn)為,創(chuàng)造性思維結(jié)構(gòu)應(yīng)當(dāng)由邏輯思維、發(fā)散思維、形象思維、直覺(jué)思維、辯證思維和橫縱思維等六個(gè)要素組成。而橫縱思維的觀點(diǎn)由于現(xiàn)在仍比較模糊和富于爭(zhēng)議,因此,我們?cè)谶@里不予論述。
參考文獻(xiàn):
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篇10
可以說(shuō),我們平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué),就是在培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維定勢(shì)和求異思維能力(包括適應(yīng)能力和創(chuàng)造能力)。這里科學(xué)思維定勢(shì)的基本內(nèi)容就是各種概念、定理、公式、技能技巧的正確理解和熟練運(yùn)用。其中,“熟練”就是比較“牢固”的思維定勢(shì),這是求異思維的基礎(chǔ),也是解決較為復(fù)雜問(wèn)題的基矗“三基”之所以重要,也正在于此。如果當(dāng)學(xué)生對(duì)新問(wèn)題的規(guī)律還未掌握,思維定勢(shì)還未形成時(shí),就對(duì)其進(jìn)行求異思維的訓(xùn)練,培養(yǎng)學(xué)生的所謂應(yīng)變能力和靈活性,其結(jié)果必然是“欲速則不達(dá)”。學(xué)生不但不能掌握技巧和靈活性,就連基本技能也難以掌握。有的教師教學(xué)方式很活,一題多解、一題多變,思路分析得頭頭是道,而教出的學(xué)生一旦獨(dú)立面對(duì)問(wèn)題卻又束手無(wú)策,也由于這個(gè)原因。另一方面,如果學(xué)生思維定勢(shì)已經(jīng)形成,教師卻不能及時(shí)增加難度,“提升”學(xué)生的應(yīng)變能力和向困難挑戰(zhàn)的精神,則必將使學(xué)生思考問(wèn)題的積極性和求異思維能力的發(fā)展受到抑制。
篇11
類比思維能力的培養(yǎng)對(duì)學(xué)生具有重要作用,類比思維能力也是每一個(gè)人應(yīng)該具備的能力,因?yàn)樗鼘?duì)我們的生活有著極為重要的意義。類比思維能力在日常生活中的應(yīng)用也非常廣泛,幫助人們解決了很多問(wèn)題,例如,人們可以根據(jù)今年冬天的降雪量以及溫度推測(cè)出明年糧食的收成,可以根據(jù)晚上的天氣狀況推測(cè)出第二天的天氣狀況,這些問(wèn)題能夠推測(cè)出來(lái),依靠的都是人類的類比思維能力。類比思維能力在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也具有非常重要的意義,她主要是要求學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中利用已知的條件,推測(cè)出未知的答案,例如,等邊三角形ABC的高是6,已知D是BC的中點(diǎn),DE垂直于AB,DF垂直于AC,求:DE+DF=?這道題就要求學(xué)生利用類比思維解決問(wèn)題,用題目中的已知條件,求出正確答案。這也說(shuō)明,在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力是很重要的,老師在教學(xué)過(guò)程中要注意對(duì)學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)。
篇12
數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)是環(huán)環(huán)相扣的,學(xué)生思維能力的提升也是環(huán)環(huán)相扣的,教師要從學(xué)生的思維起始點(diǎn)出發(fā),抓住思維發(fā)展的過(guò)程,逐步深入直至完成思維訓(xùn)練。如果教師沒(méi)有引導(dǎo)學(xué)生抓住思維起始點(diǎn),那么學(xué)生對(duì)問(wèn)題就會(huì)感覺(jué)無(wú)從下手,其思維發(fā)展也不會(huì)按照特有的軌跡進(jìn)行發(fā)展。例如教師在講按比例分配時(shí),從學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)的平均分配知識(shí)開(kāi)始講解,幫助學(xué)生理解平均分配和按比例分配的關(guān)系,將學(xué)生的思維引入按比例分配中,從而掃清學(xué)生學(xué)習(xí)按比例分配的知識(shí)障礙。最后教師引導(dǎo)學(xué)生解決按比例分配的實(shí)際問(wèn)題,這樣能讓學(xué)生從思維的起始點(diǎn)出發(fā),培養(yǎng)思維的流暢性。對(duì)于不同的知識(shí)點(diǎn),其思維起始點(diǎn)是不同的,教師在進(jìn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí),必須把握住學(xué)生的思維起始點(diǎn),以舊知識(shí)為起點(diǎn),通過(guò)引導(dǎo)、轉(zhuǎn)化,使得學(xué)生的思維逐漸清晰、條理。
1.2引導(dǎo)學(xué)生抓住思維的轉(zhuǎn)折點(diǎn)
學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)的過(guò)程中,有時(shí)會(huì)出現(xiàn)思維障礙的現(xiàn)象,這時(shí)教師要充分發(fā)揮自身的引導(dǎo)作用,幫助學(xué)生引導(dǎo)、梳理思維障礙,促使學(xué)生進(jìn)行思維轉(zhuǎn)折,從而促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展。例如學(xué)生在解決這樣的問(wèn)題時(shí):王師傅和張師傅同時(shí)加工一批零件,原計(jì)劃王師傅加工的另加數(shù)量是張師傅加工數(shù)量的2/5,但在實(shí)際加工中,王師傅多加工了34個(gè),結(jié)果王師傅加工的零件數(shù)是張師傅加工的7/9,問(wèn)這批零件共有多少個(gè)?學(xué)生在解決這道題目時(shí),會(huì)清楚的判斷出2/5、7/9這兩個(gè)數(shù)值都是以張師傅加工的零件數(shù)量為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行衡量的,但這兩個(gè)數(shù)值并不相等,這就會(huì)對(duì)學(xué)生的思維造成障礙。這時(shí)教師就要引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)拓思維,原計(jì)劃王師傅加工的零件數(shù)是張師傅的2/5,那么王師傅和張師傅計(jì)劃加工零件的個(gè)數(shù)是幾比幾?而王師傅實(shí)際加工零件數(shù)是張師傅的7/9,那么王師傅和張師傅的實(shí)際加工零件數(shù)是幾比幾?這樣將張師傅加工的零件數(shù)為衡量標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)系轉(zhuǎn)換為以總零件數(shù)為衡量標(biāo)準(zhǔn),就能幫助學(xué)生快速的解決這個(gè)題目。通過(guò)思維轉(zhuǎn)換能幫助學(xué)生解決四維障礙的問(wèn)題,有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維。
二.采用合理思維培訓(xùn)方法
教師在進(jìn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí),可以采用綜合分析、具體抽象、求同求異等思維方法培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。綜合分析方法是從已知條件入手,逐層分析,然后解決實(shí)際問(wèn)題,小學(xué)生的思維特點(diǎn)是從具體形象思維逐步過(guò)渡到抽象邏輯思維,因此,教師在培養(yǎng)學(xué)生思維時(shí),要注重學(xué)生的思維過(guò)渡。例如教師在向?qū)W生講解圓柱體側(cè)面積的相關(guān)內(nèi)容時(shí),可以引導(dǎo)學(xué)生將圓柱模型的側(cè)面剪開(kāi),觀察圓柱側(cè)面剪開(kāi)后與正方形、長(zhǎng)方形等部分之間的關(guān)系,從而演化出圓柱體側(cè)面積的計(jì)算公式。通過(guò)這一系列的操作、觀察、演化,能極大地培養(yǎng)學(xué)生的具體抽象思維。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,很多知識(shí)都有千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系,這時(shí)教師可以采用求同求異的思維方法,讓學(xué)生對(duì)比教材中的相關(guān)知識(shí),能幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)體系,促進(jìn)學(xué)生的多元化思維發(fā)展,提高學(xué)生克服思維障礙的能力,從而有效地促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展。
篇13
例1、已知a,b,m∈R+,且a<b求證:(高中代數(shù)第二冊(cè)P91)
分析:由知,若用代替m呢?可以得到是關(guān)于的分式,若我們令是一個(gè)函數(shù),且∈R+聯(lián)想到這時(shí),我們可以構(gòu)造函數(shù)而又可以化為而我們又知道在[0,∞]內(nèi)是增函數(shù),從而便可求解。
證明:構(gòu)造函數(shù)在[0,∞]內(nèi)是增函數(shù),
即得。有些數(shù)學(xué)題似乎與函數(shù)毫不相干,但是根據(jù)題目的特點(diǎn),巧妙地構(gòu)造一個(gè)函數(shù),利用函數(shù)的性質(zhì)得到了簡(jiǎn)捷的證明。解題過(guò)程中不斷挖掘?qū)W生的潛在意識(shí)而不讓學(xué)生的思維使注意到某一點(diǎn)上,把自己的解題思路擱淺了。啟發(fā)學(xué)生思維多變,從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維。
例2、設(shè)是正數(shù),證明對(duì)任意的自然數(shù)n,下面不等式成立。
≤
分析:要想證明≤只須證明
≤0即證
≥0也是
≥0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立,我們發(fā)現(xiàn)是不是和熟悉的判別式相同嗎?于是我們可以構(gòu)造這樣的二次函數(shù)來(lái)解題是不是更有創(chuàng)造性。
解:令
只須判別式≤0,=≤0即得
≤
這樣以地于解決問(wèn)題是很簡(jiǎn)捷的證明通過(guò)這樣的知識(shí)轉(zhuǎn)移,使學(xué)生的思維不停留在原來(lái)的知識(shí)表面上,加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解,掌握知識(shí)更為牢固和知識(shí)的運(yùn)用能力。有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。
2、構(gòu)造方程
有些數(shù)學(xué)題,經(jīng)過(guò)觀察可以構(gòu)造一個(gè)方程,從而得到巧妙簡(jiǎn)捷的解答。
例3、若(Z-X)2-4(X-Y)(Y-Z)=0求證:X,Y,Z成等差數(shù)列。
分析:拿到題目感到無(wú)從下手,思路受阻。但我們細(xì)看,題條件酷似一元二次方程根的判別式。這里a=x-y,b=z-x,c=y-z,于是可構(gòu)造方程由已知條件可知方程有兩個(gè)相等根。即。根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系有即z–y=y-x,x+z=2y
x,y,z成等差數(shù)列。遇到較為復(fù)雜的方程組時(shí),要指導(dǎo)學(xué)生會(huì)把難的先簡(jiǎn)單化,可以構(gòu)造出我們很熟悉的方程。
例4、解方程組我們?cè)诮膺@個(gè)方程組的過(guò)程中,如果我們用常規(guī)方法來(lái)解題就困難了,我們避開(kāi)這些困難可把原方程化為:
于是與可認(rèn)為是方程兩根。易求得再進(jìn)行求解(1)或(2)
由(1)得此時(shí)方程無(wú)解。
由(2)得解此方程組得:經(jīng)檢驗(yàn)得原方程組的解為:
通過(guò)上面的例子我們?cè)诮忸}的過(guò)程中要善于觀察,善于發(fā)現(xiàn),在解題過(guò)程中不墨守成規(guī)。大膽去探求解題的最佳途徑,我們?cè)诳陬^提到的創(chuàng)新思維,又怎樣去創(chuàng)新?創(chuàng)新思維是整個(gè)創(chuàng)新活動(dòng)的關(guān)鍵,敏銳的觀察力,創(chuàng)造性的想象,獨(dú)特的知識(shí)結(jié)構(gòu)及活躍的靈感是其的基本特征。這種創(chuàng)新思維能保證學(xué)生順利解決問(wèn)題,高水平地掌握知識(shí)并能把知識(shí)廣泛地運(yùn)用到解決問(wèn)題上來(lái),而構(gòu)造法正從這方面增訓(xùn)練學(xué)生思維,使學(xué)生的思維由單一型轉(zhuǎn)變?yōu)槎嘟嵌龋@得積極靈活從而培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維。
在解題的過(guò)程中,主要是把解題用到的數(shù)學(xué)思想和方法介紹給學(xué)生,而不是要教會(huì)學(xué)生會(huì)解某一道題,也不是為解題而解題,給他們學(xué)會(huì)一種解題的方法才是有效的"授之以魚,不如授之以漁"。在這我們所強(qiáng)調(diào)的發(fā)現(xiàn)知識(shí)的過(guò)程,創(chuàng)造性解決問(wèn)題的方法而不是追求題目的結(jié)果。運(yùn)用構(gòu)造方法解題也是這樣的,通過(guò)講解一些例題,運(yùn)用構(gòu)造法來(lái)解題的技巧,探求過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。
華羅庚:“數(shù)離開(kāi)形少直觀,形離開(kāi)數(shù)難入微。”利用數(shù)形結(jié)合的思想,可溝通代數(shù),幾何的關(guān)系,實(shí)現(xiàn)難題巧解。
3.構(gòu)造復(fù)數(shù)來(lái)解題
由于復(fù)數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)與其他內(nèi)容聯(lián)系密切最為廣泛的一部分,因而對(duì)某些問(wèn)題的特點(diǎn),可以指導(dǎo)學(xué)生從復(fù)數(shù)的定義性質(zhì)出發(fā)來(lái)解決一些數(shù)學(xué)難題。
例5、求證:≥
分析:本題的特點(diǎn)是左邊為幾個(gè)根式的和,因此可聯(lián)系到復(fù)數(shù)的模,構(gòu)造復(fù)數(shù)模型就利用復(fù)數(shù)的性質(zhì)把問(wèn)題解決。
證明:設(shè)z1=a+biz2=a+(1-b)iz3=(1-a)+(1+b)iz4=(1–a)+bi
則左邊=|z1|+|z2|+|z3|+|z4|
≥|z1+z2+z3+z4|
≥|2+2i|=
即≥
例6、實(shí)數(shù)x,y,z,a,b,c,滿足
且xyz≠0求證:
通過(guò)入微觀察,結(jié)合所學(xué)的空間解析幾何知識(shí),可以構(gòu)造向量
聯(lián)想到≤結(jié)合題設(shè)條件
可知,向量的夾角滿足,這兩個(gè)向量共線,又xyz≠0
所以
利用向量等工具巧妙地構(gòu)造出所證明的不等式的幾何模型,利用向量共線條件,可解決許多用普通方法難以處理的問(wèn)題對(duì)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維十分有益。
4.構(gòu)造幾何圖形
對(duì)于一些題目,可借助幾何圖形的特點(diǎn)來(lái)達(dá)到解題目的,我們可以構(gòu)造所需的圖形來(lái)解題。
例7、解不等式||x-5|-|x+3||<6
分析:對(duì)于這類題目的一般解法是分區(qū)間求解,這是比較繁雜的。觀察本題條件可構(gòu)造雙曲線,求解更簡(jiǎn)捷。
解:設(shè)F(-3,0)F(5,0)則|F1F2|=8,F(xiàn)1F2的中點(diǎn)為O`(1,0),又設(shè)點(diǎn)P(x,0),當(dāng)x的值滿足不等式條件時(shí),P點(diǎn)在雙曲線的內(nèi)部
1-3<x<1+3即-2<x<4是不等式的解。
運(yùn)用構(gòu)造法就可以避免了煩雜的分類討論是不是方便得多了,引導(dǎo)學(xué)生掌握相關(guān)知識(shí)運(yùn)用到解決問(wèn)題上來(lái)。
又如解不等式:
分析:若是按常規(guī)的解法,必須得進(jìn)行分類討論而非常麻煩的,觀察不等式特點(diǎn),聯(lián)想到雙曲線的定義,卻''''柳暗花明又一村"可把原不等式變?yōu)?/p>
令則得由雙曲線的定義可知,滿足上面不等式的(x,y)在雙曲線的兩支之間區(qū)域內(nèi),因此原不等式與不等式組:同解
所以不等式的解集為:。利用定義的特點(diǎn),把問(wèn)題的難點(diǎn)轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的問(wèn)題,從而使問(wèn)題得以解決。
在不少的數(shù)學(xué)競(jìng)賽題,運(yùn)用構(gòu)造來(lái)解題構(gòu)造法真是可見(jiàn)一斑。
例8、正數(shù)x,y,z滿足方程組:
試求xy+2yz+3xz的值。
分析:認(rèn)真觀察發(fā)現(xiàn)5,4,3可作為直角三角形三邊長(zhǎng),并就每個(gè)方程考慮余弦定理,進(jìn)而構(gòu)造圖形直角三角形ABC,∠ACB=90°三邊長(zhǎng)分別為3,4,5,∠COB=90°
∠AOB=150°并設(shè)OA=x,OB=,,則x,y,z,滿足方程組,由面積公式得:S1+S2+S3=