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自從1826年，俄國人羅巴切夫斯基的非歐幾何(羅氏幾何)正式發(fā)表之后，人們隨之研究羅氏平面上的幾何作圖。在羅氏平面上除直線、圓之外，又多了兩種曲線，即極限圓和等距曲線。相應(yīng)地，不但要有作圖工具一直尺和圓規(guī)，還要有畫后兩種曲線的工具。發(fā)現(xiàn)羅氏幾何的人還有匈牙利數(shù)學(xué)家波約爾(Bolyai.J.1802--1860)在他的論文中就給出了羅氏平面上作平行線的方法。后來，不少書中在講羅氏幾何時(shí)，作平行線的方法都采用了波約爾的作圖方法。

在羅氏平面上也有尺規(guī)(或其他工具)作圖不能問題，例如：

1)三等分任意角；

2)三等分任意線段；

3)由一個(gè)三角形的頂點(diǎn)向?qū)呑鲀蓷l貫線，使得分成的三個(gè)三角形的面積相等。

到了20世紀(jì)70一80年代，在國外一些雜志上仍有研究羅氏平面上幾何作圖的文章，內(nèi)容沒有新的進(jìn)展。在當(dāng)時(shí)的蘇聯(lián)，不但有很多，并且有專門書籍出版。如，涅斯塔諾維奇的《羅氏平面上的幾何作圖》。另外，還有莫爾都哈依一布爾妥夫斯基(一次俄文《幾何原本》的譯者)也對這個(gè)問題鉆研很深，文章不少，他們對作圖的證明大多采用雙曲線函數(shù)，這給一些讀者帶來了一定的困難。要用純幾何的方法更加困難。因?yàn)椋_氏幾何所導(dǎo)出的三角學(xué)就是雙曲線函數(shù)及其關(guān)系式——雙曲三角學(xué)。所以，用起來較方便。

七、版本流傳

1.《原本》在國外的流傳

歐幾里得個(gè)人的手稿早已失傳，在很長一段時(shí)間內(nèi)是以各種文字的抄本到處流傳，而且不同文字的抄本內(nèi)容不盡相同，甚至是根據(jù)一些版本重新整理修訂的。到了公元4世紀(jì)，希臘人賽翁(Theon)就是根據(jù)幾個(gè)不同版本整理了一個(gè)較為滿意的抄本。后來的學(xué)者大都根據(jù)這個(gè)抄本研究和翻譯《原本》。

1808年，在梵蒂岡圖書館發(fā)現(xiàn)了兩部歐幾里得的著作，其中之一是《原本》的希臘文抄本。拿破侖把這兩個(gè)抄本送往巴黎，經(jīng)研究認(rèn)為《原本》的這個(gè)抄本早于賽翁的抄本。從此，很多學(xué)者把注意力轉(zhuǎn)向研究梵蒂岡抄本。