第二版)張景中著北京《一線串通的初等數學》從小學生知道的三角形內角和的知識以及三角形面積公式出發，舉一反三，推陳出新，直觀而嚴謹地給出正弦的新定義。在此基礎上，輕松得到正弦定理、和角公式、勾股定理等一系列三角公式和幾何定理，揭示出幾何、代數和三角的基本知識之間的密切聯系，以三角為主線，構建了初等數學的新體系。《一線串通的初等數學》思想新穎，方法簡明犀利，說理嚴謹，特別著力于從平凡處發掘創新的思路，引導讀者發現問題深入思考。《一線串通的初等數學》分為5個部分：正弦和正弦定理;正弦和角公式;余弦和余弦定理;四邊形；圓和正多邊形。 大體上覆蓋了初中應掌握的幾何、代數和三角的基本知識。《一線串通的初等數學》每節都安排了例題和習題。
總序
代序
第二版前
準備出發
數學是一個大花園。
游覽花園可以有不同的路線。
課堂上學習的教材是一種路線。本書提供了另一條新的路線。
沿著不同的路線游覽，從不同的角度發現數學的力量和數學的美，會帶來不同的感受。這不同的感受，會引發你更多的思考。
新路線的特點，是把幾何、三角、代數滲透到一起。相互滲透的結果，是道理更清楚了，推理更簡捷了，方法更犀利了。這樣，你可以用同樣的時間和精力把數學學得更好。當然，在考試中或競賽中也能取得更好的成績。
想學好數學就要多思考。數學鍛煉思考，思考提高數學素質。但是思考什么？怎樣思考？這正是本書要回答的問題。下面會用大量的事例，讓你在做數學中學習思考，這是作者多年學習和思考的經驗之談。再過幾十年，書里講的定理公式你會忘記，但你從中學到的思考問題的方法卻會伴你終生。
多想出智慧。思考能夠使知識增殖，能讓知識生出知識。即使是看來很簡單的知識，經過一番探索思考，它也會變得更豐富、更活潑，它會和其他的知識聯系起來，變得更有用、更有力。
探索思考就要有目標、有問題。為了能夠發現或提出好的問題，不但要掌握基礎知識和基本技能，還要有應用意識，有創新意識，有實驗意識，有推理意識。
有應用意識，就是樂于用學過的數學知識解決實際問題或設想的問題，善于從實際或設想的情景中提出數學問題。
有創新意識，就要敢于對所學的數學知識問個為什么，為什么這樣計算這樣作圖，為什么這樣定義這樣推理，題目的條件和結論能不能變一變，計算推理作圖的方法能不能再改進，為什么先學這些后學那些，等等。
有實驗意識，就是要動手計算作圖測量，有條件時用計算機和計算器，沒條件就在紙上寫寫畫畫，在做數學過程中學習數學，驗證學過的知識，猜測未知的現象，在數學實驗中發現情況，提出問題。用計算機做數學實驗是啟發思考節省勞動的好辦法。如果你有計算機，應當裝一個能作圖又能計算的數學教育軟件，它能節省你大量的時間和精力。、好用、最有趣的數學教育軟件是由中國人開發的《超級畫板》，到網站ssp。gzhu。edu。cn下載一個免費版本，就夠用了。學會用超級畫板畫各種幾何圖形只要10分鐘。如果你想精通免費的超級畫板，可以買一本《超級畫板自由行》(張景中著，科學出版社出版，在網上很容易買到)邊看邊做，包你在樂趣無窮中大大提高數學成績。
有推理意識，就是要力圖用推理和演算來說明問題和預測現象，要有合情推理，更要有演繹推理，嘗試通過推理在作圖之前預見圖形的性質，不做具體計算預見某些計算的結果。力圖用抽象數學模型概括多種可能的實際問題，站高一層，看遠一步。
但所有這一切，不會憑空從天上掉下來，也不會從空空的頭腦里生出來，你只能從已掌握的知識出發，哪怕從平凡具體的問題出發。知識學到手才能應用，創新只能溫故知新、推陳出新，實驗就要會算、會畫、會用計算機，推理演算必須熟悉邏輯用語和基本的規矩模式、運算公式和法則。
在小學數學中，學過有關三角形的一些知識，其中兩條是你到老也不能忘掉的寶貝。
及時條，三角形的內角和等于180°。
第二條，三角形的面積等于底和高乘積的一半。
從這兩條出發，你能思考探索出哪些新的知識呢？
讓我們立刻嘗試，讓我們出發吧。
及時站
正弦和正弦定理
1。 溫故知新舉一反三
把知識編號或命名，會帶來很大方便。世界上及時部幾何教科書，古希臘歐幾里得寫的經典名著《幾何原本》，就是把幾何知識一條一條編了號的，每一條叫做一個"命題"。
我們從小學里學習過的兩條開始。
命題1。1 (三角形內角和定理)三角形內角和等于180°。
命題1。2 (三角形面積公式)三角形面積等于底和高的乘積的一半。
從這兩條出發，通過分析思考，你能得到哪些新的知識呢？
思考的基本要領，是溫故知新，舉一反三。
兩直線相交形成4個角。三角形頂點處只畫出1個角。如果進一步考慮另外3個角，就叫做舉一反三。
關于三角形內角和定理的思考
如圖1-1，把△ABC的BC邊延長至D，則∠ACD=180°－∠ACB，但根據三角形內角和定理，又有180°－∠ACB=∠A+∠B，故∠ACD=∠A+∠B。
圖1-1
今后把三角形一邊的延長線和相鄰邊所成的角，例如圖1-1中的∠ACD，叫做三角形的外角，而三角形另外兩個內角叫做這個外角的內對角。 這樣，我們從命題1。1得到的新知識∠ACD=∠A+∠B便可以陳述為
命題1。3三角形的外角等于兩內對角之和。
順便知道，三角形的外角大于內對角。
剛才增加一個角考慮，得到一點新知識。 減少一個角呢？
3個內角和為180°，兩個內角的和自然小于180°。
把三角形的3條邊都延長，成了圖1-2的樣子。
圖1-2中， 被直線AB所截的兩條直線，在AB右側相交，則∠4+∠5180°；如果在AB的左側相交，則∠3+∠6180°。
圖1-2
總之，若兩直線相交，必有∠4+∠5≠180°，∠3+∠6≠180°。
于是得知，過直線外一點至多只能作直線的一條垂線。
反之，如果∠4+∠5=180° (則∠3+∠6=180°)，兩條直線就不會相交了(圖1-3)。
圖1-3
這樣反向思維，是發現問題的常用方法，更是數學推理的重要路數。
圖1-2中所標識出來的8個角中，∠4和∠5，∠3和∠6都叫做
……
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