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篇1

[收稿日期] 2016-04-29

[基金項目] 延邊大學哲學社會科學項目，項目編號：QN2016003。

[作者簡介] 姜海燕，女，朝鮮族，延邊大學漢語言文化學院講師，博士，主要研究方向為韓漢語言對比。（延吉 133002）

約翰遜（Johnson）指出，意象圖式是在我們感知互動和運動過程中一種反復出現的、動態性的式樣，可為我們的經驗提供連貫性和結構性。[1]（174）比如，把物“取出、放入”或進出于一個四面包圍的空間等感性經驗會在我們的頭腦中進行再描寫，形成抽象的“容器圖式”。容器圖式的基本構成要素是：里、外、邊界。

韓國語對容器圖式的激活主要靠“里外”關系方位詞來實現。韓國語中表“里外”關系的方位詞主要有“?/?（里）、?（外）”等，我們稱之為容器標記。①根據三部較權威的韓國語辭典《國語大辭典》（1992）、《延世韓國語詞典》（1998）以及《標準國語大辭典》（1999）對“?”和“?”的解釋，“?”和“?”都指空間或實體的內部，如：

（1）?? ???? ?（?）? ? ? ???. ②

（賓館信封中裝有一束花。）

（2） ??? ?? ?（?）? ?? ?? ??…

（關在憋悶的洞穴中的熊……）

例（1）～（2）中的“?”都可以替換成“?”。李智榮指出，當表達具體的、具有明確邊界的實體內部時，“?”和“?”可以通用。[2]（539-598）這種說法顯然有些籠統，如（2）中的“洞穴”并無明確界限也可以通用。有些實體即便是有明確界限也未必能后接“?”。如：

（3）a.?? ?（*?）?? ???? ?? ??.

（樸老師進教室里來了。）

b. ??? ?（*?）? ???? ?? ??? ???.

（地鐵里除了老人席，沒有空的座位。）

綜上所述，我們有必要從多個角度更加細致地區分“?”和“?”。

一、“?”和“?”對實體維度的要求與分工

先看一維實體與“?”和“?”的組配情況。參照物為一維實體時，韓國語用“?”不用“?”。如：

（4）a.… ?? ?（*?）?? ?????? ???? ???.

（……在行車線內反復來回行駛。）

b. ????（*?）? ??? ????…

（停留在圈子里……）

當“N?”中的N為一維線狀事物時，是指二維實體或三維實體的邊界，例中的“??（行車線）”是一輛車通過所需面積為基準的界線，“?? ?（行車線內）”指行車線內側，“??? ?（圈子內）”也是如此。

當參照物為二維實體時，如：

（5）a. ?? ?（*?）?? ??? ??? ??.

（在院子里舉行著宴會。）

b. ??? ?（*?）? ??? ? ??.

（不能進操場里。）

（6）a. ?? *?（*?） ? ????.

（癱坐在地上。）

b. ? *?（*?）?? ??? ????.

（田野里正在忙于秋收。）

例（5）中的“??（院子）”、“???（操場）”、有較明確的邊界，（6）中的“??（地）、?（原野）”是二維實體，但邊界模糊。“?”不能用在二維實體名詞后，“?”可以用在邊界較清楚的二維實體名詞后，指二維實體的內部。

“?”可用于“指向二維事物的內部”，“?”用于“指向三維事物的內部”。因為面范疇（二維）被包含在體范疇（三維）中，所以“?”和“?”可以通用于三維實體名詞之后。[3]（114-115）但問題并非如此簡單，當“?”和“?”指三維實體內部時，也有一定的分工。如，指處所內部通常用“?”不用“?”。看下例：

（7）a. ? ?（*?） ? ??? ???.

（家里進了個賊。）

b. ?? ?（*?）? ??? ??.

（教室里沒有學生。）

類似的例子很多，“?? ?/*?（商店里）”、“?? ?/*?（公司里）”、“?? ?/*?（村子里）”、“?? ?/*?（邑城里）”、“?? ?/*?（賓館里）”、“?? ?/*?（公園里）”、“??? ?/*?（圖書館里）”、“?? ?/*?（醫院里）”、“?? ?/*?（劇場里）”、“?? ?/*?（市場里）”等一般都不能用“?”。不過也有例外，如：

（8）a. ?? ? ??? ? ???…

（在關著燈的漆黑的房間里……）

b. ?? ??? ??? ? ???…

（一束陽光照射到陰暗的房間里……）

（9）a.?? ? ??.

（監獄里的生活。）

b. ? ? ??.

（棺材里的尸體。）

上文談到，“?”不能用于處所詞后面。而（8）中處所詞后面則可以帶“?”。仔細觀察會發現，例句中的“?（房間）”都受“????（漆黑）、 ???（陰暗）”等形容詞修飾，可看做“房間由陰暗、漆黑所籠罩”，即（8）的“?（房間）”具有“滿”的屬性。“?”不能指處所內部是由處所的[+空]屬性所致。也就是說，“?”傾向于用在具有[+滿]特征的實體名詞后。例（9）的“??（監獄）”、 “?（棺材）”雖具有[+空]的屬性，但其功能上具有[+隱蔽]屬性，此時通常可以用“?”。

“?”具有[+滿]的特征，一些具有[+滿]屬性的處所詞傾向于使用“?”來指其內部。[4]（133-154）如：

（10）a. ???? ? ??? ?? ?? ? ???…

（獵人在林子里捕到了狍子，他把狍子……）

b. ??? ?? ?? ????? ????…

（晚霞映射在平靜的湖水里……）

處所名詞后可以帶“?”，但大部分是“?（樹林）”、“??（海）”、 “??（湖）”、“??（山洞）”、“??（隧道）”、 “?（沼澤）”等處所名詞。 “?（樹林）”、 “??（湖）”等處所是由樹、水所填滿，因此通常采用“?”。

二、實體的非離散性與“?”和“?”的選擇關系

離散性是針對連續性而言的，它是有界的、具有可數的特性，而非離散性具有無界、不可分離的特性，因此非離散性的事物難以計量，即便是計量也要臨時借用其他事物。“?（水）”、“?（火）”、“??（風）”、“??（霧）”、“?（雨）”等都是典型的非離散實體，具有“無界”、“不可數”的特征。非離散實體名詞后韓國語用“?”，而很少用“?”。如：

（11）a. ??? ?? ? ?（*?）? ????…

（把柴火扔進火里……）

b.?? ?? ?（*?）?? ?? ?（*?）??…

（只有在風中、陽光里……）

“?（樹林）”、“?（土地）”、“??（大海）”、“??（灰塵）”、“??（沙漠）”等實體的邊界模糊，且不可量化。這些實體介于離散和非離散實體之間，韓國語的“?”突出邊界，因此這類實體名詞后一般不能帶“?”。如：

（12）a. ??? ?? ?（*?）??…??? ?? ?（*?）???…

（不管在不眠的大海里還是在悲慘的沙漠里……）

b. ?? ???? ?（*?）??…

（在灰蒙蒙的沙塵里……）

c. …?? ??? ? ?（*?）? ????.

（……在皇宮附近的沼澤地里活著。）

三、時間概念的表達與“?”和“?”的分工

人們從立體空間中分離出一類特殊的一維線性空間，然后通過“隱喻”，把線性空間結構投射到時間和抽象的空間中。萊考夫（Lakoff）認為，隱喻是從一個具體的概念域向一個抽象的概念域的系統映射。 概念隱喻的使用是潛意識的，概念隱喻是人類共有的。隱喻作為一種認知手段，其本質是概念性的。具體空間概念在隱喻機制作用下可映射到抽象的認知域。從源域（空間域）到目標域（時間等）映射的過程中保持不變的是源域中的高度概括的認知結構――意象圖式，這就是萊考夫（Lakoff）強調的恒定原則。[5]（131-133）如當容器標記表達時間、狀態等概念時都有“容器”概念映射的痕跡。

韓國語“?”等空間屬性標記也經常用來表達時間。

（一）時點、時段與“?”和“?”的選擇

時間可以分為時點和時段。時段的有界性與容器圖式的有界性具有一定的相似性，并且時段的持續性與容器圖式的“里”要素相對應。如果一個實體是點狀，也就無所謂有里有外，這給容器標記和時段詞共現提供了理據。

（13）a.??? ?? ??? ??? ????.

（兩個小時內迅速解決了問題。）

b.*?? ?? ??? ??? ????.

（*兩點內迅速解決了問題。）

時段詞“兩個小時”是有長度的，超出2個小時為“外”，反之為“里”，而且是有邊界的。而時點詞“兩點”是沒有長度，談不上有“里”有“外”，更談不上有邊界。即，容器概念不能喻指時點概念是因為意象圖式中的內部結構互不匹配所導致的。

韓國語“?”出現在時段詞后頭，表示時間范圍。由“?”組合構成的時間結構在句中做時間參照，表達這段時間里發生什么事或出現什么情況。“?”不能用于時間概念的表達，如：

（14）a.??? ?（*?）? ????.

（一小時內回來。）

b.?? ?（*?）? ??? ???? ???.

（今日內應結束工程。）

我們將時間識解為一維的線性事物，“?”在空間認知域中不能出現在線性實體名詞后面，“?”主要指三維實體的內部。“?”在空間域中可以用在線性實體名詞后面，可以指一維、二維、三維實體的內部。這種差異，在從空間域隱喻投射到抽象域的過程當中會被保留，“?”和“?”在時間概念中的選擇限制也是這種恒定原則的反映。

（二）“?”與動作的有界化

容器標記對實體或抽象概念（包括時間）的容器化是有界化的一種表現。有界實體要求與有界動作匹配，無界實體須與無界動作匹配，有界和無界的對立或匹配反映了一般認知機制。[6]（367-380）物理世界的時間是無界的，我們可以通過一系列手段可以將它有界化，如加上容器標記。有界化的時間結構要求句中同現的動詞代表的動作或事件為有界。如：

（15）a. ?? ? ???? ?? ?? ? ???.

（我一周內看完了這部連續劇。）

b. * ? ???? ?? ?? ?? ??.

（*我一周內看著這部連續劇。）

（16）a. ??? ????? 10? ?? ??? ?? ????.

（老板要求員工十分鐘內吃完飯。）

b.* ???? 10? ?? ???? ??.

（*員工十分鐘內還在吃飯。）

（15）a、（16）a中的動詞“??（看）”、“????（吃）”通過完成體標記“?”使動作有了終止點，成為“有界動作”，與句中容器化成分“?? ?（一周內）”、“10? ?（十分鐘內）”是匹配的；而（15）b、（16）b中的進行體標記“～? ??”表示動詞代表的動作是起始點和終止點模糊的“無界動作”，與句中容器化成分“?? ?（一周內）”、“10? ?（十分鐘內）”不匹配，導致句子不能成立。

四、狀態的表達與容器標記的分工

“狀態”是模糊的、它有“無界”、“非離散”等特征。“?”可以修飾形容詞性成分，表示處在某種狀態之中。韓國語形容詞經過體詞化以后，與容器標記的組配比較自由。如：

（18）a.?? ?? ???? ?? ?? ???? ?? ???…

（從痛苦中艱難地站立起來的那些日子……）

b.? ??? ??? ?????…

（像那綠蔭中一只自由的小鳥……）

韓國語將這些體詞化的形容詞歸為狀態名詞。[7]（455-456）我們選取了幾個表狀態的體詞化了的形容詞做了統計，結果顯示韓國語只能用“?”，不能用“?”。

上文談到，如果空間實體具有“無界”、“不可數”、“非離散”的特性，韓國語用“?”，而很少用“?”。而“狀態”也有“無界”、“非離散”的特征。因此，表達狀態概念時韓國語仍傾向于用“?”。這反映了空間圖式投射到虛擬概念的過程中圖式的凸顯要素保持不變。

五 結 語

韓國語“?”在空間認知域中不能出現在表示線性實體名詞后面，“?”主要指三維實體的內部。“?”在空間域中可以用在線性實體名詞后頭，可以指一維、二維、三維實體的內部。這種差異，在從空間域隱喻投射到抽象域的過程當中會被保留，“?”和“?”在時間概念中的選擇限制也是這種恒定原則的反映。對狀態進行容器化時，韓國語選用“?”。韓國語“?”在空間域（源域）中通常與邊界模糊的實體組合，而“狀態”的邊界也是模糊不清的，即虛擬概念容器化時，韓國語對標記的選用不是任意的。

參考文獻：

[1] 王寅：《認知語言學》，上海：上海外語教育出版社，2010年。

[2] [韓] 花甲紀念論文刊行委員會：《李庸周博士花甲紀念論文集》，李智榮：《‘?/?/?/?’的語言學分析》，首爾：漢森出版社，1989年。

[3][韓] 樸景賢：《現代國語的空間概念語研究》，首爾：漢森出版社，1987年。

[4][韓] 劉賢京：《‘?’和‘?’的語義研究-M配關系為中心》，《韓文》，2007年第276期。

篇2

函數是高中數學的核心概念，本章把函數作為描述客觀世界變化規律的重要數學模型來學習，強調結合實際問題，使學生感受運用函數概念建立模型的過程與方法，從而發展學生對變量數學的認識.

1.了解集合的含義，體會元素與集合的“屬于”關系，掌握某些數集的專用符號.

2.理解集合的表示法，能選擇自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題，感受集合語言的意義和作用.

3、理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集，培養學生分析、比較、歸納的邏輯思維能力.

4、能在具體情境中，了解全集與空集的含義.

5、理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的交集與并集,培養學生從具體到抽象的思維能力.

6.理解在給定集合中，一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集.

7.能使用Venn圖表達集合的關系及運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用.

8.學會用集合與對應的語言來刻畫函數，理解函數符號y=f(x)的含義;了解函數構成的三要素，了解映射的概念;體會函數是一種刻畫變量之間關系的重要數學模型，體會對應關系在刻畫函數概念中的作用;會求一些簡單函數的定義域和值域，并熟練使用區間表示法.

9.了解函數的一些基本表示法(列表法、圖象法、分析法)，并能在實際情境中，恰當地進行選擇;會用描點法畫一些簡單函數的圖象.

10.通過具體實例，了解簡單的分段函數，并能簡單應用.

11.結合熟悉的具體函數，理解函數的單調性、最大(小)值及其幾何意義，了解奇偶性和周期性的含義，通過具體函數的圖象，初步了解中心對稱圖形和軸對稱圖形.

12.學會運用函數的圖象理解和研究函數的性質，體會數形結合的數學方法.

13.通過實習作業，使學生初步了解對數學發展有過重大影響的重大歷史事件和重要人物,了解生活中的函數實例.

二.編寫意圖與教學建議

1.教材不涉及集合論理論，只將集合作為一種語言來學習，要求學生能夠使用最基本的集合語言表示有關的數學對象，從而體會集合語言的簡潔性和準確性，發展運用數學語言進行交流的能力.教材力求緊密結合學生的生活經驗和已有數學知識，通過列舉豐富的實例，使學生了解集合的含義，理解并掌握集合間的基本關系及集合的基本運算.

教材突出了函數概念的背景教學，強調從實例出發，讓學生對函數概念有充分的感性基礎，再用集合與對應語言抽象出函數概念，這樣比較符合學生的認識規律，同時有利于培養學生的抽象概括的能力，增強學生應用數學的意識，教學中要高度重視數學概念的背景教學.

2.教材盡量創設使學生運用集合語言進行表達和交流的情境和機會，并注意運用Venn圖表達集合的關系及運算，幫助學生借助直觀圖示認識抽象概念.教學中，要充分體現這種直觀的數學思想，發揮圖形在子集以及集合運算教學中的直觀作用。

3.教材在例題、習題教學中注重運用集合的觀點研究、處理數學問題，這一觀點，一直貫穿到以后的數學學習中.

4.在例題和習題的編排中，滲透了集合中的分類思想，讓學生體會到分類思想在生活中和數學中的廣泛運用，這是學生在初中階段所缺少的.在教學中，一定要循序漸進，從繁到難，逐步滲透這方面的訓練.

5.教材對函數的三要素著重從函數的實質上要求理解，而對定義域、值域的繁難計算，特別是人為的過于技巧化的訓練不做提倡，教師要準確把握這方面的要求，防止撥高教學.

6.函數的表示是本章的主要內容之一，教材重視采用不同的表示法(列表法、圖象法、分析法)，目的是豐富學生對函數的認識，幫助理解抽象的函數概念.在教學中，既要充分發揮圖象的直觀作用，又要適當地引導學生從代數的角度研究圖象，使學生深刻體會數形結合這一重要數學方法.

7.教材將映射作為函數的一種推廣，進行了邏輯順序上的調整，體現了特殊到一般的思維規律，有利于學生對函數概念學習的連續性.

8.教材加強了函數與信息技術整合的要求，通過電腦繪制簡單函數動態圖象,使學生初步感受到信息技術在函數學習中的重要作用.

9.為了體現教材的選擇性,在練習題安排上加大了彈性,教師應根據學生實際,合理地取舍.

三.教學內容及課時安排建議

本章教學時間約13課時。

1.1集合4課時

1.2函數及其表示4課時

1.3函數的性質3課時

實習作業1課時

復習1課時

§1.1.1集合的含義與表示

一.教學目標：

l.知識與技能

(1)通過實例，了解集合的含義，體會元素與集合的屬于關系;

(2)知道常用數集及其專用記號;

(3)了解集合中元素的確定性.互異性.無序性;

(4)會用集合語言表示有關數學對象;

(5)培養學生抽象概括的能力.

2.過程與方法

(1)讓學生經歷從集合實例中抽象概括出集合共同特征的過程，感知集合的含義.

(2)讓學生歸納整理本節所學知識.

3.情感.態度與價值觀

使學生感受到學習集合的必要性，增強學習的積極性.

二.教學重點.難點

重點：集合的含義與表示方法.

難點：表示法的恰當選擇.

三.學法與教學用具

1.學法：學生通過閱讀教材，自主學習.思考.交流.討論和概括，從而更好地完成本節課的教學目標.

2.教學用具：投影儀.

四.教學思路

(一)創設情景，揭示課題

1.教師首先提出問題：在初中，我們已經接觸過一些集合，你能舉出一些集合的例子嗎?

引導學生回憶.舉例和互相交流.與此同時，教師對學生的活動給予評價.

2.接著教師指出：那么，集合的含義是什么呢?這就是我們這一堂課所要學習的內容.

(二)研探新知

1.教師利用多媒體設備向學生投影出下面9個實例：

(1)1—20以內的所有質數;

(2)我國古代的四大發明;

(3)所有的安理會常任理事國;

(4)所有的正方形;

(5)湖南省在2004年9月之前建成的所有立交橋;

(6)到一個角的兩邊距離相等的所有的點;

(7)方程的所有實數根;

(8)不等式的所有解;

(9)洞口一中2007年9月入學的高一學生的全體.

2.教師組織學生分組討論：這9個實例的共同特征是什么?

3.每個小組選出——位同學發表本組的討論結果，在此基礎上，師生共同概括出9個實例的特征，并給出集合的含義.

一般地，指定的某些對象的全體稱為集合(簡稱為集).集合中的每個對象叫作這個集合的元素.

4.教師指出：集合常用大寫字母A，B，C，D，…表示，元素常用小寫字母…表示.

(三)質疑答辯，排難解惑，發展思維

1.教師引導學生閱讀教材中的相關內容，思考：集合中元素有什么特點?并注意個別輔導，解答學生疑難.使學生明確集合元素的三大特性，即:確定性.互異性和無序性.只要構成兩個集合的元素是一樣的,我們就稱這兩個集合相等.

2.教師組織引導學生思考以下問題：

判斷以下元素的全體是否組成集合，并說明理由：

(1)大于3小于11的偶數;

(2)我國的小河流.

讓學生充分發表自己的建解.

3.讓學生自己舉出一些能夠構成集合的例子以及不能構成集合的例子，并說明理由.教師對學生的學習活動給予及時的評價.

4.教師提出問題，讓學生思考

(1)如果用A表示高—(3)班全體學生組成的集合，用表示高一(3)班的一位同學，是高一(4)班的一位同學，那么與集合A分別有什么關系?由此引導學生得出元素與集合的關系有兩種：屬于和不屬于.

如果是集合A的元素，就說屬于集合A，記作.

如果不是集合A的元素，就說不屬于集合A，記作.

(2)如果用A表示“所有的安理會常任理事國”組成的集合，則中國.日本與集合A的關系分別是什么?請用數學符號分別表示.

(3)讓學生完成教材第6頁練習第1題.

5.教師引導學生回憶數集擴充過程，然后閱讀教材中的相交內容，寫出常用數集的記號.并讓學生完成習題1.1A組第1題.

6.教師引導學生閱讀教材中的相關內容，并思考.討論下列問題：

(1)要表示一個集合共有幾種方式?

(2)試比較自然語言.列舉法和描述法在表示集合時，各自有什么特點?適用的對象是什么?

(3)如何根據問題選擇適當的集合表示法?

使學生弄清楚三種表示方式的優缺點和體會它們存在的必要性和適用對象。

(四)鞏固深化，反饋矯正

教師投影學習：

(1)用自然語言描述集合{1，3，5，7，9};

(2)用例舉法表示集合

(3)試選擇適當的方法表示下列集合：教材第6頁練習第2題.

(五)歸納整理，整體認識

在師生互動中，讓學生了解或體會下例問題：

1.本節課我們學習過哪些知識內容?

2.你認為學習集合有什么意義?

3.選擇集合的表示法時應注意些什么?

(六)承上啟下，留下懸念

篇3

（3）能用圖示法表示集合之間的關系；

（4）掌握兩個較簡單集合的交集、并集的求法；

（5）通過對交集、并集概念的講解，培養學生觀察、比較、分析、概括、等能力，使學生認識由具

體到抽象的思維過程；

（6）通過對集合符號語言的學習，培養學生符號表達能力，培養嚴謹的學習作風，養成良好的學習

習慣．

教學重點：交集和并集的概念

教學難點：交集和并集的概念、符號之間的區別與聯系

教學過程設計

一、導入新課

【提問】

試敘述子集、補集的概念？它們各涉及幾個集合？

補集涉及三個集合，補集是由一個集合及其一個子集而產生的第三個集合．由兩個集合產生第三個集

合不僅有補集，在實際中還有許多其他情形，我們今天就來學習另外兩種．

-

回憶．

傾聽．集中注意力．激發求知欲．

-

鞏固舊知．為導入新課作準備．

滲透集合運算的意識．

--

二、新課

【引入】我們看下面圖（用投影儀打出，軟片做成左右兩向遮啟式，便于同學在“動態”中進行觀察）．

【設問】

1．第一次看到了什么？

2．第二次看到了什么

3．第三次又看到了什么？

4．陰影部分的周界線是一條封閉曲線，它的內部（陰影部分）當然表示一個新的集合，試問這個新

集合中的元素與集A、集B元素有何關系？

【介紹】這又是一種由兩個集合產生第三個集合的情況，在今后學習中會經常出現，為方便起見，稱集A

與集B的公共部分為集A與集B的交集．

【設問】請大家從元素與集合的關系試敘述文集的概念．

【助學】“且”的含義是“同時”，“又”．

“所有”的含義是A與B的公共元素一個不能少．

【介紹】集合A與集合B的交集記作．讀做“A交B”·

【助學】符號“”形如帽子戴在頭

上，產生“交”的感覺，所以開口向下．切記該符號不要與表示子集的符號“”、“”混淆．

【設問】集A與集B的交集除上面看到的用圖示法表示交集外，還可以用我們學習過的哪種方法表示？如，全國公務員共同天地

何表示？

【設問】與A有何關系？如何表示？與B有何關系？如何表示？

【隨練】寫出，的交集．

【設問】大家是如何寫出的？

我們再看下面的圖．

【設問】

1．第一次看到了什么？

2．第二次除看到集B和外，還看到了什么集合？

3．第三次看到了什么？如何用有關集合的符號表示？

4．第四次看到了什么？這與剛才看到的集合類似，請用有關集合的符號表示．

5．第五次同學看出上面看到的集A、集B、集、集、集，它們都可以用我們已經學習過的集合有關

符號來表示．除此之外，大家還可以發現什么集合？

6．第六次看到了什么？

7．陰影部分的周界是一條封閉曲線，它的內部（陰影部分）表示一個新的集合，試問它的元素與集A

集B的元素有何關系？

【注】若同學直接觀察到，第二、三、四次和第五次部分觀察活動可不進行．

【介紹】這又是由兩個集合產生第三個集合的情形，在今后學習中也經常出現，它給我們由集A集B并在一

起的感覺，稱為集A集B的并．

【設問】請大家從元素與集合關系仿照交集概念的敘述方法試敘述并集的概念？

【助學】并集與交集的概念僅一字之差，即將“且”改為“或”．或的含義是集A中的所有元素要取，集B

中的所有元素也要取．

【介紹】集A與集B的并集記作（讀作A并B）．

【助學】符號“”形如“碰杯”時的杯子，產生并的感覺，所以開口向上．切記，不要與“”混淆，

更不能與“”等符號混淆．

-

觀察．產生興趣．

答：圖示法表示的集A．

答：圖示法表示集B．集A集B的公共部分·

答：公共部分出現陰影．

傾聽．觀察

思考．答：該集合中所有元素屬于集合A且屬于集合B．

傾聽．理解．

思考．答：由所有屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A與B的交集．

傾聽．記憶．

傾聽．興趣記憶．

思考：“列舉法還是描述法？”答：描述法．

思考．議論．

口答結合板書．

，全國公務員共同天地

想象交集的圖示，或回憶交集的概念．

篇4

我們知道，由“2是偶數”與“2是質數”都是真命題，可以得到“2是偶數且是質數”是真命題；另一方面，由集合的“交”運算可以知道：由2∈｛偶數｝，2∈｛質數｝，可以得到2∈｛偶數｝∩｛質數｝。如果把“真”對應于“∈”，“且”對應于“交”，那么，“2是偶數是真命題”可以對應于“2∈｛偶數｝”，“2是質數是真命題”可以對應于“2∈｛質數｝”，“2是偶數且是質數是真命題”就可以對應于“2∈｛偶數｝∩｛質數｝”。

從上述例子得到啟發，我們可以在邏輯聯結詞“且”與集合的“交”運算之間建立聯系。

我們知道，對于邏輯聯結詞“且”有：

如果p，q都是真命題，則p∧q是真命題；如果p，q中至少有一個是假命題，則p∧q是假命題。

對于集合的“交”有：

若a∈P，a∈Q，則a∈P∩Q；若aP或aQ，則aP∩Q。把命題p，q分別對應于集合P，Q，“真”“假”“∧”分別對應于“∈”“”“∩”，那么上述關于“且”與“交”的規定就具有形式的一致性。更具體地說，就是“p是真命題”對應于“a∈P”，“q是真命題”對應于“a∈Q”，“p∧q是真命題”對應于“a∈P∩Q”，“p∧q是假命題”對應于“aP∩Q”。

二、“或”與“并”的關系

再看一個具體例子。

我們知道，由“π是無理數”與“π是實數”都是真命題，可以得到“π是無理數或是實數”是真命題。同樣由集合的“并”運算可以知道：由π∈｛無理數｝，π∈｛實數｝，可以得到π∈｛無理數｝∪｛實數｝。如果把“真”對應于“∈”，“或”對應于“并”，那么，“π是無理數是真命題”可以對應于“π∈｛無理數｝”，“π是實數是真命題”可以對應于“π∈｛實數｝”，“π是無理數或是實數是真命題”就可以對應于“π∈｛無理數｝∪｛實數｝”。

于是，我們可以在邏輯聯結詞“或”與集合的“并”運算之間建立聯系。

我們知道，對于邏輯聯結詞“或”有：

如果p，q都是假命題，則p∨q是假命題；如果p，q中至少有一個是真命題，則p∨q是真命題。

對于集合的“并”有：

若aP，aQ，則aP∪Q。 若a∈P，aQ，則a∈P∪Q，或者若aP，a∈Q，則a∈P∪Q。把命題p，q分別對應于集合P，Q，“真”“假”“∨”分別對應于“∈”“”“∪”，那么上述關于“或”與“并”的規定就具有形式的一致性。也就是說“p是真命題”對應于“a∈P”，“p是假命題”對應于“aP”，“q是真命題”對應于“a∈Q”，“q是假命題”對應于“aQ”，“p∨q是假命題”對應于“aP∪Q”，“p∨q是真命題”對應于“a∈P∪Q”。由此我們知道邏輯聯結詞中“或”的含義與并集中的“或”的含義是一致的，但要注意它們都不同于生活用語中“或”的含義，生活用語中“或”表示“不兼有”，而我們在數學中所研究的“或”則表示“可兼有但不必須兼有”。

三、“非”與“補”的關系

同樣我們先看一個具體例子。

若以整數集為全集，則偶數集和奇數集互為補集。由“2是偶數”是真命題，可以得到“2是奇數”是假命題；由“3是偶數”是假命題，可以得到“3是奇數”是真命題。用集合的方式則可表達為：由2∈｛偶數｝，可以得到2｛奇數｝；由3｛偶數｝，可以得到3∈｛奇數｝。如果把“非”“真”“假”分別對應于“補”“∈”“”，那么，命題p和它的否定p可以對應于集合P和它的補集

瘙 綂 UP，“p是真命題”對應于“a∈P”，“p是假命題”對應于“a

瘙 綂 UP”，“p是假命題”對應于“aP”，“p是真命題”對應于“a∈

瘙 綂 UP”。

一般地，對于邏輯聯結詞“非”有：

若p是真命題，則p是假命題；若p是假命題，則p是真命題。

對于集合的“補”有：

設U為全集， PU，若a∈P，則a

瘙 綂 UP；若aP，則a∈

瘙 綂 UP。

對“非”的理解，可聯想集合中“補集”的概念。“非”有否定的意思，一個命題p經過使用邏輯聯結詞“非”而構成一個復合命題“非p”，當p真時，則“非p”假；當p假時，則“非p”真。若將命題p對應集合P，則命題非p就對應著集合P在全集U中的補集

瘙 綂 UP。

通過上面的敘述我們發現 “非”與“補”的規定也具有形式的一致性。

四、范例剖析

例1 判斷下列復合命題的真假,寫出其否命題并判斷真假：

2屬于集合[WTHZ]Q，也屬于集合R。[WTBX]

篇5

3.從集合及其元素的概念出發，初步了解屬于關系的意義。

二、內容分析

1．集合是中學數學的一個重要的基本概念。在小學數學中，就滲透了集合的初步概念，到了初中，更進一步應用集合的語言表述一些問題。例如，在代數中用到的有數集、解集等；在幾何中用到的有點集。至于邏輯，可以說，從開始學習數學就離不開對邏輯知識的掌握和運用，基本的邏輯知識在日常生活、學習、工作中，也是認識問題、研究問題不可缺少的工具。這些可以幫助學生認識學習本章的意義，也是本章學習的基礎。

把集合的初步知識與簡易邏輯知識安排在高中數學的最開始，是因為在高中數學中，這些知識與其他內容有著密切聯系，它們是學習、掌握和使用數學語言的基礎。例如，下一章講函數的概念與性質，就離不開集合與邏輯。

2.1.1節首先從初中代數與幾何涉及的集合實例入手，引出集合與集合的元素的概念，并且結合實例對集合的概念作了說明。然后，介紹了集合的常用表示方法，包括列舉法、描述法，還給出了畫圖表示集合的例子。

3．這節課主要學習全章的引言和集合的基本概念。學習引言是引發學生的學習興趣，使學生認識學習本章的意義。本節課的教學重點是集合的基本概念。

4．在初中幾何中，點、直線、平面等概念都是原始的、不定義的概念，類似地，集合則是集合論中的原始的、不定義的概念。在開始接觸集合的概念時，主要還是通過實例，對概念有一個初步認識。教科書給出的“一般地，某些指定的對象集在一起就成為一個集合，也簡稱集。”這句話，只是對集合概念的描述性說明。

三、教學過程

提出問題：

教科書引言所給的問題。

組織討論：

為什么“回答有20名同學參賽”不一定對，怎么解決這個問題。

歸納總結：

1．可能有的同學兩次運動會都參加了，因此，不能簡單地用加法解決這個問題.

2．怎么解決這個問題呢？以前我們解一個問題，通常是先用代數式表示問題中的數量關系，再進一步求解，也就是先用數學語言描述它，把它數學化。這個問題與我們過去學過的問題不同，是屬于與集合有關的問題，因此需要先用集合的語言描述它，完全解決問題，還需要更多的集合與邏輯的知識，這就是本章將要學習的內容了。

新課講解：

1．集合的概念：（具體舉例后，進行描述性定義）

(1)某種指定的對象集在一起就成為一個集合，簡稱集。

(2)元素：集合中的每個對象叫做這個集合的元素。

(3)集合中的元素與集合的關系：

a是集合A的元素，稱a屬于集合A，記作a∈A；

a不是集合A的元素，稱a不屬于集合A，記作。

例如，設B＝{1，2，3，4，5}，那么5∈B，

注：集合、元素概念是數學中的原始概念，可以結合實例理解它們所描述的整體與個體的關系，同時，應著重從以下三個元素的屬性，來把握集合及其元素的確切含義。

①確定性：集合中的元素是確定的，即給定一個集合，任何一個對象是不是這個集合的元素也就確定了。

例如，像“我國的小河流”、“年輕人”、“接近零的數”等都不能組成一個集合。

②互異性：集合中的元素是互異的，即集合中的元素是沒有重復的。

此外，集合還有無序性，即集合中的元素無順序。

例如，集合{1，2}，與集合{2，1｝表示同一集合。

2．常用的數集及其記法：

全體非負整數的集合通常簡稱非負整數集（或自然數集），記作N，非負整數集內排除0的集，表示成或；

全體整數的集合通常簡稱整數集，記作Z；

全體有理數的集合通常簡稱有理數集，記作Q；

全體實數的集合通常簡稱實數集，記作R。

注：①自然數集與非負整數集是相同的，就是說，自然數集包括數0，這與小學和初中學習的可能有所不同；

②非負整數集內排除0的集，也就是正整數集，表示成或。其它數集內排除0的集，也是這樣表示，例如，整數集內排除0的集，表示成或。負整數集、正有理數集、正實數集等，沒有專門的記法。

課堂練習：

教科書1．1節第一個練習第1題。

歸納總結：

1．集合及其元素是數學中的原始概念，只能作描述性定義。學習時應結合實例弄清其含義。

篇6

集合是高中數學學習的起始章節，學好集合這一章具有承上啟下的重要意義。一方面是初中數學學習的繼續，又是高中數學學習的開始；另外一方面對于高中數學其他章節的學習具有借鑒作用，同時還能提振高中數學學習的信心。但是由于集合這一章的邏輯性比較強，部分學生體現出高中數學學習的入門難，下面結合自己的體會談談集合這一章學習的一些注意點，以期拋磚引玉。

一、一個概念

掌握一個概念――集合。集合，在數學上是一個基礎概念，是不能用其他概念加以定義的概念。一定范圍內某些確定的、不同的對象的全體構成一個集合（set）。集合中的每一個對象叫做該集合的元素（element）或簡稱元。集合中元素具有以下性質：

確定性：每一個對象都能確定是不是某一集合的元素，沒有確定性就不能成為集合，例如“個子高的同學”“很小的數”都不能構成集合。

互異性：集合中任意兩個元素都是不同的對象。不能寫成{1，1，2}應寫成{1，2}；

無序性：{a，b，c}與{c，b，a}是同一個集合。

二、兩個關系

（1）元素與集合的關系：如果對象a是集合A的元素，就記作a∈A，讀作a屬于A；如果對象a不是集合A的元素，就記作aA，讀作a不屬于A。如：2∈Z，2.5Z

（2）集合與集合的關系：如果集合A中的任何一個元素都是集合B的元素，我們就說集合A包含于集合B，或集合B包含集合A.記作AB（或BA），這時我們也說集合A是集合B的子集。

對于兩個集合A與B，如果AB，并且A≠B，我們就說集合A是集合B的真子集，記作：AB或BA，讀作A真包含于B或B真包含A。

簡言之，注意：“∈”與“”：元素與集合之間是屬于關系，用∈、；集合與集合之間是包含關系，用、。如1∈N，-1N，NR，ΦR，{1}{1，2，3}。

三、三種運算

（1）交集：由所有屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A與B的交集。記作：A∩B（讀作“A交B”）；符號語言為：A∩B={xx∈A，且x∈B}。

（2）并集：由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A與B的并集.記作：A∪B（讀作“A并B”）；符號語言為：A∪B={xx∈A，或x∈B}。

（3）補集：設AS，由S中不屬于A的所有元素組成的集合稱為S中A的補集，記作 瘙 SA，比如若S={2，3，4}，A={4，3}，則 瘙 SA=

四、四種表示

（1）列舉法：將集合的元素一一列舉出來，并置于花括號“{}”內。

（2）描述法：將集合的所有元素都具有的性質（滿足的條件）表示出來，寫成{x|p（x）}的形式。如：{x|x為中國直轄市}，{x|x為young中的字母}。

（3）Venn圖法：用封閉的曲線內部表示集合。

（4）區間法：設a、b是兩個實數，且a

五、五個注意點

（1）注意掌握一個等價關系：A∪B=ABAA∩B=B；

例如已知集合A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+ax+a=0}，若A∩B=B，求實數a滿足的條件。

【解析】 由A∩B=B知BA，即B是A的子集。由于集合A可用列舉法表示為{0，-4}，所以B可能等于A，即B={0，-4}；B也可能是A的真子集，即B=，或B={0}，或B={-4}，從而求出實數a滿足的條件。

（2）注意空集的特殊性：

例如已知集合A={x|-2

【解析】 因為空集是任何集合的子集，故此題要分B≠和B=兩種情況討論。答案：m

（3）注意集合中元素的實質：“代表元素”的實質是認識和區別集合的標準。根據集合元素的確定性，集合中元素都有確定的含義。所以弄清楚集合中的代表含義什么，才能正確表示一個集合。代表元素不同，即使同一個表達式，所表示的集合也不同。

（4）注意數形結合思想的使用：

例如求集合{x|x+5>0}與集合{x|x-a

【解析】 集合{x|x+5>0}即為不等式x+5>0的解集，是大于-5的所有實數；集合{x|x-a

可見，若要兩個集合有公共部分，必須a>-5。

篇7

教學內容：集合的包含和相等關系

1） 年級：高一年級

2） 所用教材出版單位：北京師范大學出版社

3） 教學內容所屬章節：必修11 第一章 集合 第二節 （第一課時）

4） 學時數：45分鐘

二、 教學構思

（一） 教材的地位和作用

本節內容在全書及章節的地位：《集合的基本關系（第一課時）》是高中數學新教材北師大版1第1章第二節.第二節是集合間的基本關系．本節主要討論集合的包含和相等關系，給出子集的概念．用Venn圖和數軸幫助學生理解集合間的基本關系．在給出集合間的“包含”與“相等”關系的基礎上，給出了子集、真子集的概念及有關性質．

本節的處理主要突顯集合間的內在聯系，使學生能夠對集合間的基本關系有一個整體的、明晰的認識，便于將所學知識體系化．本節教材從學生身邊的實例以及已學知識入手，抽象概括出集合間的包含與相等概念，并給出子集、真子集的概念，用Venn圖以及數軸來直觀表示集合間的這些關系，體現了數形結合的思想．

數學思想方法分析：教學中力圖向學生展示嘗試觀察、歸納、類比、聯想等數學思想方法.

（二） 教學目標的確定

基礎知識目標：了解集合之間的包含、相等關系的含義；理解子集、真子集的概念；能利用Venn圖表達集合間的關系.

能力訓練目標：培養抽象概括能力，培養學生觀察、探究、創新能力.

教學重點:集合間的包含與相等關系，子集與真子集的概念.

教學難點：是屬于關系（元素與集合）與包含關系（集合與集合）的區別.

二、 教法

我的教法設計是啟發式教育，通過問題激發學生求知欲，使學生主動參與數學實踐活動，發現、分析和解決問題，掌握數學基本知識和基本能力.

三、 教學程序

一） 引入課題

在上一節中，學習了集合的概念并用字母標記了一些特殊的數集，在這些特殊的數集中，我們會發現這樣一個現象：自然數集N中的所有元素都在整數集Z中，整數集Z中所有的元素又都在有理數集Q中.那么這些集合之間有怎樣的關系呢？（宣布課題）

二） 新課教學

1. 集合與集合之間的“包含”關系；

實例分析：

1） A={1，2，3}，B={1，2，3，4}；因此有： 若a∈A,則a∈B.

2） 所有的有理數都是實數，因此有：若a∈Q,則a∈R；

3） 高一（1）班50位同學組成集合B，女同學組成集合A, 集合A是集合B一部分，有：若a∈A,則a∈B.

集合A是集合B的部分元素構成的集合，我們說集合B包含集合A；通俗點說集合A更小，集合B更大.

（由實際較簡單的例子，可由學生自己總結定義得出包含關系）.

如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們說這兩個集合有包含關系，稱集合A是集合B的子集.（文字語言）若x∈A,x∈B則AB(或BA)（符號語言）

記作：AB(或BA) 讀作：A包含于B（或B包含A）

當集合A不包含于集合B時，記作AB

（教師引入Venn圖：為直觀表示集合，我們的集合也有其另外的表示方式）

2. Venn圖：封閉曲線的內部表示集合，用Venn圖表示兩個集合間的“包含”關系（圖形語言）

數集的表示我們也常借助于數軸.如集合{x│x≥9}與集合{x│x≤3}的關系可以表示為

判斷題：

1） A是B的子集含義是A中任何一個元素都是B中的元素.

2） 空集是任何集合的子集嗎？

3） 任何一個集合是它本身的子集嗎？（引入相等關系）

3. 集合與集合之間的 “相等”關系；

例如：A={x|(x-3)(x+2)=0}.B={-2,3}

AB且BA，則 A、B中的元素是一樣的，因此 A=B

即A=BAB

BA

結論：任何一個集合是它本身的子集

強調：1） 集合A與集合B中的元素完全相同時，則A=B.

2） 證A=B，需證AB且BA都成立.

例：A={x2,x,xy},B={1,x,y}且A=B，求實數x，y的值.

4. 真子集的概念

若集合AB,并且A≠B,我們就說集合A是集合B的真子集.

記作：AB（或BA）讀作：A真包含于B（或B真包含A）

如實例中：高一（1）班50位同學組成集合B，女同學組成集合A，A為B的真子集.

判斷：① 空集沒有子集.② 任何集合至少有兩個子集.③ 空集是任何集合的真子集.④ 若空集真包含于集合A，則集合A不等于空集.

（讓學生熟練掌握概念和內涵，并引出一些相關規定.）

5. 規定：

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

（空集不是空集的真子集， 只能說空集是任何非空集合的真子集）

6. 結論：AB，且BC，則AC(集合運算具有傳遞性)

（在這一節課中，概念較為簡單，由例子直接可以引入，學生理解也較好，主要采用講練結合.所花時間較少）

三） 例題講解

例1 化簡集合A={x|x-72},B={x|x≥5}，并表示A、B的關系；

例2 寫出集合{0，1，2}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集.

結論：集合A中元素的個數記為n，則它的子集的個數為：2n

真子集的個數：2n-1，非空真子集個數：2n-2（在后繼學習中會對此結論加以證明）

四） 課堂練習：P9練習題（學生口答或板演）

五） 歸納小結，強化思想

學生總結兩個集合之間的基本關系，兩個集合之間的基本關系只有“包含”與“相等”兩種，可類比兩個實數間的大小關系.教師強調：注意區別“屬于”與“包含”兩種關系及其表示方法；注意區別“包含于”、“包含”、“真包含”、“不包含”等概念的不同涵義與不同表示法；要注意區分“屬于”與“包含”，即“I∧”與 “ ”的差異．要學生注意，數0、集合{0}與空集 的區別．有時候，集合間的關系不容易直接從表達式中看出，可引導學生恰當地使用Venn圖或數軸等直觀形式來確定集合間的關系．

六) 作業布置

1. 書面作業：習題1.2 5個小題

2. 提高作業：① 已知集合A={x｜a＜x＜5}，B={x｜x≥2}，且滿足AB，求實數a的取值范圍.② 設集合A={四邊形}，B={平行四邊形},C={矩形},

D={正方形}，E={菱形}，F={梯形}，試用Venn圖表示它們之間的關系.

（作業形式體現作業的鞏固性和發展性原則）

五、 教學評價

本節內容較易懂，為學生創設了的探究知識的情景，從而充分調動學生學習數學知識的積極性，使學生有自主發現知識、創造性地解決問題的時間、空間.

六、 板書設計：

§2 集合的基本關系

1． 概念 2. 給出實例 3. 例題1 4. 練習

(學生板書)

篇8

必做題在一般情況下，是將所學的基礎知識加深印象，鞏固思維，是基本的訓練數學思想的方式，其定義為必做題，就是要讓全體學生都能夠將基礎知識透徹掌握。然而選做題是稍有難度的試題，一些學習能力較強，數學思維較廣泛的學生是最適合嘗試的，可以在一定程度上將數學的思維能力提升，并且能夠將學生的主觀能動性充分地調動起來。

二、設計隱性分層的探究活動

學生的學習是一個探究的過程，教師在設計探究活動的階段要考慮到學生的差異性。要根據不同層次的學生，設計不同層次的知識點，然后再進行探究。例如：“集合的表示與含義”的教學，要由淺入深、分層教學，先將集合的含義透徹掌握，再把集合與元素間的對應關系了解清楚，才能夠記清專用記號與常用的數集。

篇9

問題二、函數的本質是什么？

讓學生回顧初中學習過的函數概念，把握住函數的內涵。教師根據學生所舉例子的具體情況，引導學生列舉分別用解析式、圖象、表格表示對應關系的函數。讓舉例的同學分別解釋他們所舉例子的含義，為什么用這個例子來說明函數。函數是初中已有過的內容，引導學生用初中的定義解釋所列舉的例子，可以了解學生對函數概念的掌握情況，挖掘學生背后的思維過程，暴露學生對函數本質的理解狀況。

然后教師點撥學生：“我們在初中就學習過函數的概念，并且學習過一些特殊的函數，那么現在我們上了高中，為什么又要來學習函數的概念呢？初中對于函數的定義，主要是從變量之間的依賴關系來表述，那么我們學習了集合的相關知識，為了更加深刻地揭示變量之間的這種依賴關系，能不能利用集合對函數進行重新定義呢？這節課我們將從集合的角度賦予函數概念以新的思想。”以此來引導學生把初中學習過的函數概念與高一剛學習的過的集合知識聯系起來，用集合的觀點解釋過去的概念，獲得對函數概念的新認識。

下面把時間留給學生，讓學生自學書上的三個實例：

1。物理公式：s=vt；

2。“艾賓浩斯遺忘曲線”；

3。 1988至2008年中國歷屆奧運會金牌數。

并讓學生思考以下四個小問題：

（1）三個實例中分別含有哪幾個變量？

（2）這些變量的取值范圍怎樣用集合表示出來？

（3）變量所在的集合之間有著怎樣的對應關系？

（4）實例中變量之間的對應關系有何異同？

在此設置自學環節并提出四個小問能夠讓學生靜下心來從具體實例中抽象出函數的概念。教師要注意突出“兩個變量x，y”，對于變量x的“每一個”確定的值，另一個變量y有“唯一”確定的值與x對應，“y是x的函數”。特別要求學生指出對應關系是什么？x取哪些數？即取值范圍，感受數集A的存在，y值的構成情況，為引入兩個數集做準備。

接著我自編了實例四：將6位同學按1到6進行編號，把他們的編號放在一個集合里，將他們的數學成績放在另一個集合里，將編號和他們的成績對應得到第一個對應關系。接著將他們的數學成績放在一個集合里，把他們的排名放在另一個集合里，將他們的成績與排名對應得到第二個對應關系。然后關注最后兩名沒有考及格的同學，把他們的學號與最近兩次考試的成績對應得到第三個對應關系。之后讓他們給自己下次考試成績定個目標，同學5說出下次爭取考到60分，而同學6沒定目標，這樣得到第四個對應關系。請嘗試應用剛剛概括出的函數的概念判斷一下這四個對應關系中哪些是函數？

在是與不是的函數判斷中，學生對函數的概念有著進一步深入的認識。緊接著讓學生自己思考以下三個小問題：

（1）函數的概念中有哪些關鍵詞？

（2）如何理解函數的概念與符號？

（3）函數有哪幾個要素？

教師引導學生要善于解剖概念，促使學生抓住概念中的關鍵詞，透徹理解概念的內涵。

同時，指出：

（1）A、B必須是非空的數集；且對于集合A中的任意一個數x，在集合B中只有唯一確定的數f（x）和它對應，這種對應為數與數之間的一一對應或多一對應；

（2）函數的定義域就是集合A，但函數的值域未必就是集合B，實際上，它是集合B的子集（這里可以借助自編實例四讓學生理解，這也是自編實例四的目的之一）；

（3）f（x）的符號含義：y=f（x）為“y是x的函數”的數學表示，僅僅是一個函數符號，表示x經f作用后的結果，f（x）并非表示f與x相乘 ；

（4）函數必須具備三個要素：定義域，值域，對應法則f，三者缺一不可。并指出對于一個函數，當定義域確定、對應法則確定后，值域也隨之確定，因此，兩個函數相等的條件是定義域以及對應關系相同。

接著讓學生自己總結如何判斷一種對應關系是否是函數？

（1）定義域和對應法則是否給出；

篇10

【文章編號】 1004―0463（2015）

12―0099―01

小學一年級學生初識數學，教師一定要從幫助學生建立數概念入手，循序漸進，培養學生學習數學、探究數學知識的濃厚興趣。數的概念是學生學習數學的基礎，人教版數學一年級上冊教材的編排就突出了數的概念的構建與理解，從基數、數的順序、大小比較、序數和數的組成等方面，引導學生逐步建立數的概念，體會數的含義。教師一定要深刻領會教材，在教學中正確運用。筆者根據多年教學實踐經驗，就如何充分利用教材的編排特點，引導小學生盡快建立全面而正確的數的概念，為以后的學習和成長奠定基礎，談一些粗淺的認識。

一、讓學生充分體會數的基數含義

自然數的基數含義是指一切等價非空有限集合的共同特征的標記，即自然數表示一切等價有限集合中元素的個數。但很難讓一年級小學生直接理解這樣抽象的含義，教師要充分利用教材，將10以內數的認識分兩段學習，即5以內數的認識、6-10的認識。通過從具體到抽象，再從抽象回到具體的方式，幫助學生體會抽象的基數含義。

具體講，在“5以內數的含義的認識”中，教材先從相同數量的不同事物中抽象出數，如3只小鳥、3盆花、3只蝴蝶都是一類等價的非空有限集合，它們的元素個數都是3。教師就從這些現實原型中抽象出數字3，用符號“3”來表示，由此讓學生體會數是從具體事物中抽象出來的（這里數和數字是合二為一的），只與它們的數量有關，與其物理屬性無關。然后再從抽象回到具體，在數字下面出示相應數量的實物，幫助學生體會數作為符號的抽象性，即“3”不僅可以表示主題圖中數量是3的實物，還可以表示其他數量是3的實物。這樣從實物到數再從數到實物，讓學生充分體會數的基數含義。

二、認識計數單位“十”，初步體會位值制

1. 借助計數單位“十”，認識11-20各數。要知道事物的個數，就要數數，數數需要計數單位。10以內的數是以“一”為單位，1個1個地數出來的，計數的結果是多少個一;而11-20的數不僅要以“一”為單位計數，還要以“十”為單位計數，這樣11-19計數的結果就是1個十和幾個一，20就是2個十。所以認識11-20的數，要從認識計數單位“十”開始，由此了解這些數是由幾個十和幾個一組成的。

篇11

自然數概念的內涵是豐富的，弗賴登塔爾提出――數的概念的形成可以粗略地分成以下幾種：計數的數、數量的數、度量的數以及計算的數；而對于數學自身的發展而言，“計數的數”（序數）意義更大，他認為無論從歷史的、發生的還是從系統的角度看，數的序列都是數學發展的基石。在此基礎上，我們可以進一步細化、深入地認識每一個自然數的實質與意義。

首先看自然數的現實意義。每一個自然數的現實意義都極為豐富，其最基本的意義有兩個――基數與序數。例如自然數5，既可以表示某個集合的元素個數，（即自然數的數量數含義），也可以表示物體的位置和順序（即自然數的序數含義）。

在小學的低、中階段自然數的這兩方面（基數與序數）的教學價值非常大，但在教學實踐中往往忽視了“序數”教學的價值，僅僅停留在“第幾”的層面上，缺少對數學本身意義的挖掘，就如學生對“計數的數”的理解是“探索規律”教學的基石。

進一步拓展，我們可以知道自然數還有以下含義：1. 度量數。從某種意義上說，數量數是度量數的特例，度量數是數量數的擴充。數量數刻畫的是離散量（集合的元素）的個數多少，度量數刻畫的是連續量的大小問題，由于連續量是可以無限分割的量，因此為了更準確地測量出某個量到底有多大，就需要產生更小的測量單位，如果以最小的測量單位（或者同時用多個測量單位表示）作測量結果的單位，用自然數表示就足夠了，但表達和交流時會非常麻煩，為了更恰當地表示測量結果，就必須產生新的數――分數（但現實生活中表示量的大小通常用有限小數來表示，便于直觀感知量的大小，便于溝通交流，這是由現行的十進制計數系統導致的），這是從自然數擴充到有理數的重要現實動力。另外，為了使自然數的減法滿足封閉性，就必須將自然數集擴充到整數集，為使自然數的除法滿足封閉性，就必須將自然數集擴充到有理數集，滿足運算的封閉性也是數域擴充的重要數學動力。2. 比率數。自然數還可以表示兩個量（數）之間的比率關系。3. 計算的對象或結果。任何一個自然數都可以是計算的對象或計算的結果。4.數軸上的“點”。每一個自然數（每一個實數）都與數軸上的點建立一一對應關系。5. 用做編碼的符號。任何一個自然數都可以用來編碼。6.特別地還要強調“0”有以下幾點意義――“0”是一個概念，它表示“一個也沒有”；在位值制記數法中，“0”表示“空位（計數單位的個數是0個）”，起到占位作用；“0”是一個數，可以同其他數參與運算；“0”是標度的起點或分界。

二、自然數的數學意義

自然數除了上述現實意義外，還有其數學意義，數學意義就是從其作為一個“數”本身的角度看“數”的內涵，任何一個數都是 “計數單位與其個數乘積的累加就得到的”。“計數單位”及其“個數”是構成數的核心要素，真正認識一個數必然要認識這個數所涉及的計數單位，在小學階段“分數”與“小數”都分兩次學習，第一次學習僅是“初步認識”，第二次學習才是“意義”層次的學習。

由于自然數是用“十進位值制記數法”記錄的，所以計數單位是“1、10、100……”不同計數單位與其個數的累加就構成了全部的自然數（某個計數單位的個數為“0”時，也要寫出“0”，即0的“占位”作用），例如，2034=2×1000+0×100+3×10+4×1，或者寫成2034=2000+30+4，即自然數的拓展式。小數也是“十進位值制”的，增加小數的計數單位“01、001、0001……”后，其累加的過程與自然數的過程基本相同，只不過有“有限次累加”與“無限次累加”兩類，有限次累加就得到“有限小數”，無限次累加又分為兩種情形，其一是，不同計數單位的“個數”是有規律地出現的，如果計數單位的個數的情況復雜，沒有規律，則無限次累加的結果是“無限不循環小數”，即無理數。

同樣，分數也可以看成是“分數單位的累加”，這不僅延續了自然數的認識，又為進一步理解分數的性質以及分數的加減運算打下了堅實的數學基礎。從這個角度來認識分數就使學生能夠真正理解為什么同分母分數加減只需要“分子相加減而分母不變”，而異分母分數加減法則必須“先通分，然后再分子相加減，分母不變”，從而進一步理解“加減法計算的本質就是相同計數單位‘個數’相加減”，“通分的本質就是尋找兩個分數的相同計數（分數）單位”，這也是分數的通分、約分和擴分（尋找等值分數）的理論依據。

最后簡要回答“0”為什么是自然數？“0”是自然數的意義是什么？實際上很難回答“0為什么又是自然數”，簡單可以說是“規定”的，是修正后的皮亞諾自然數公理中規定的，皮亞諾自然數公理規定“1”是第一個數，修正后規定“0”是第一個數。而規定“0”是自然數則意義重大。例如，用“0”來描述“空集”所含元素的個數，那么所有的自然數（包括0）就能完整刻畫“有限集合元素的個數”問題；0作為自然數集合的第一個數，每個數的后面都緊跟著一個確定的數，可以把所有的自然數一個緊跟一個地排成一列數，既不重復也不遺漏等。

三、自然數蘊含的數學思想：十進制與位值制

為了表示出一個“自然數”，在歷史上曾經出現過五進制、十進制、二十進制、六十進制，但最多的是以10為數基的十進制。

古埃及記數法中有“十進制”卻沒有“位值制”的思想，如果需要記錄更大的數就必須產生表示更大單位的“新符號”，但有位值制思想后，則用有限個“符號”就能表示出無限的數，例如在“十進制”前提下只需要10個符號就能表示出所有的自然數。

但十進位記數法，離十進位值制計數法還有關鍵的一步要走，即“位置值制（簡稱‘位值制’）”。所謂“位值制”，是指相同的記數符號由于所處的位置的不同而可以表示大小不同的數目。由于有了位值制，就可以用有限的幾個數字表示出無限多個自然數，這是記數歷史上的一個奇跡。

用十進位值制記數法來表示數意義巨大，一是便于比較兩個自然數的大小，自然數大小比較時首先看自然數的位數，位數越多則這個數越大。二是更便于數的計算，例如所有的加減法做的不外乎都是“20以內的加減法”，只不過“計數單位”不同，乘除法做的則都是“表內乘除法”。

四、無限集合的個數問題

學習自然數除了前面所論述的現實意義、數學意義以及所蘊含的十進制、位值制思想外，還有一個重要問題即自然數集合的元素個數問題，這個問題推動了近代集合論的發展。

篇12

一、萊文森會話含義理論

萊文森（1987）指出，在格萊斯的兩條數量準則以及方式準則的基礎上，提出三條原則：數量原則（Q-principle）、信息原則（I-principle）、方式原則（M-principle），每條原則都由“說話人準則”和“聽話人準則”這兩個部分構成。

1.數量原則。

（1）假若說話者斷言A（W），并且（A表示一個任意句子框架，W表示較弱的信息，S表示較強的信息，K表示知道，～表示否定符號）構成霍恩等級，則能夠認為推斷K～（A（S）），即說話人知道更強的陳述是假的；

（2）假若說話者斷言A（W），而且A（W）沒有推導出被嵌入的句子Q，但比之更強的陳述A（S）卻可以推導此句，除此之外，{S，W}構成對立集合（對立集合中前者的表達式是強式，后者的表達式是弱式），那么就可以預測～K（Q），也就是說話一方不知道Q成立與否。

2.信息原則。說話人準則又稱為最小化準則，話語要說得盡可能少，僅僅說出談話目的需要的最少話語；聽話人推理又叫充實規則，依靠探尋十分詳盡的解釋，通過這種方式拓展講話者的說話內容。

萊文森認為人類記憶儲存里，有若干個“常規關系”，這些客觀世界中的現實關系，如果根植在人類意識中，則會變成一種常規關系。因此，在話語中就不點自明，說話人可以說得盡量少，聽話人力求將話語信息擴充到最大極限化。萊文森認為信息量含義和數量含義不同之處在于增強信息的方法。比起原語句，信息量含義要顯得具體、確切；數量含義要依靠對一個更強的陳述的否定來充實信息。

3.方式原則。在這條原則中，說話人準則不可以毫無根據的用冗長、晦澀、有標記的表達式；聽話人如果用這樣的表達式M，則與使用無標記表達式U時有不同意義――進一步來說，他是盡可能地避免U的定型聯想和信息量含義。一旦說話者選取這樣的表達式M，則話語產生的意思就會不同。

二、萊文森會話含義理論在《重返17歲》中的運用

1.數量原則與會話含義。

Mike： Passing？

Alex： Good.

Mile： Dribbling？

Alex： Good.

這段對話是邁克詳細地問兒子在籃球方面的表現。當邁克具體地說傳球，運球都表現的怎么樣時，亞歷克斯回答說“Good”，然而，作為父親的邁克期望得到的回答并不僅僅是“Good”，于是暗示兒子，“Good”是不能幫助拿到獎學金的。這時，亞歷克斯便隨口說出“Great”，以此滿足父親的期待。其中，構成霍恩等級關系，good沒有達到great的程度，great提供的信息較強，good提供的信息較弱。亞歷克斯第一次說“Good”的含意是“尚未達到Great的程度”。用了弱式表達，言外之意是自己的籃球水平還不是非常好。然而，這沒有給出父親想要的足夠信息，面對父親的再一次詢問，亞歷克斯就按照父親的期待說自己的籃球水平達到了“Great”的程度。這里可以明顯看出亞歷克斯違法數量原則，說了假話，遵循了禮貌原則。暗示了自己因為不想讓父親再問關于籃球的事情，就選擇了父親期待得到的答案，敷衍父親。

2.信息原則與會話含義。Scarlet： …and have water…streaming in from both sides. And then put a big deck right here…and then a flagstone patio there with sod in between. That would be pretty. And then to have twinkling lights above the whole thing… so that every night is a starry one.

邁克在表現出對花園感興趣后，斯佳麗帶邁克來到自己的修建的花園，繼而解釋了花園之前照料的不是很好，又說了自己打算在花園里放置一個水池，然后還要放一個臺子，鋪草坪……。斯佳麗回答的話語量明顯超過了邁克詢問所需要的最小信息量。在違反了這一原則的同時，我們可以推斷斯佳麗和邁克特別投緣，想把自己對于花園的真實想法都告訴邁克，向他介紹自己將如何布置喜愛的花園，邁克也可以從斯佳麗過量的回答中更深刻了解她現在的心理狀態。

3.方式原則與會話含義。Mike： Stan dumped you？ Stan dumped you？ What？ What happened？ How did this…？ What did he do？ What did he do？

重返17歲的邁克重返學校，變成了他的兒子、女兒的同班同學。邁克發現女兒一個人在操場上悲傷流淚之時，知道女兒失戀了，他用20個單詞構成的7個問句詢問麥琪，表現出對女兒的關心，當麥琪說完具體情況后，邁克語重心長地安慰麥琪，隱含在文字底下的是Mike復雜的心情，邁克知道了一個父親需要承擔的責任，復雜的心情通過晦澀不自然的語言表現出來，深刻感人、給人一種意味深長的感覺。

篇13

上課伊始，教師逐次拿出紅色、綠色等不同顏色的紙，讓孩子們辨認顏色，并跟讀表示相應顏色的英語單詞。老師在紙上并排畫出幾根小棒，邊畫邊讓孩子們數數。接著，老師將顏色紙按照3人一組分給孩子們，并交代下一個活動要求：記錄公路上與自己小組的顏色紙色彩相同的過往汽車輛數。可以按照老師剛才畫豎線的方法在紙上記錄。

孩子們在老師的帶領下，來到學校操場圍墻邊。墻外公路上，不時有汽車從孩子們的面前駛過。孩子們選定合適的觀察位置，貼著圍墻的鐵柵欄，專注地觀察屬于自己小組顏色的車輛，并迅速地記錄。

幾分鐘后，孩子們帶著自己的成果回到教室，席地而坐。在他們的面前是一個電子白板。

老師開始用電腦動畫演示與剛才類式情境：畫面上兩個孩子正在自家樓上窗口往下點數馬路上行駛的各色汽車。電子白板上顯示出了一幅方格統計圖（如圖1）：縱軸上標自然數，橫軸上的坐標用紅色、黃色等不同的汽車圖形代替。

一輛紅色的汽車伴著音樂從統計圖上方開出。老師問孩子們：“這輛紅色的車該放到哪個格子里？”幾位孩子舉起了手。一位孩子到屏幕前指示該車應放到標有“紅色”汽車的格子里。緊接著，統計圖上方一輛接一輛出現了不同顏色的汽車。在孩子們的指點下，它們被分類放進了統計圖里。老師讓孩子們根據統計圖點數各類汽車輛數，并回答“綠色車多少輛”、“紅色車多少輛”、“最多的是什么顏色的車”、“最少的是什么顏色的車”等問題。

接下來，老師要求同學們匯報各組統計的汽車數。教師根據學生的匯報，按照顏色分類寫出車輛數。隨后，老師從教具柜里拿出一疊印滿小汽車的圖紙發給大家，讓孩子們為這些小汽車涂色，所涂顏色和輛數要與自己小組統計車輛的顏色、輛數相同，并把涂好了色的汽車圖剪下來，貼到白紙上（如圖2）。

孩子們起身回到自己課桌邊的坐位上。從桌上的工具盒里拿出剪刀、膠水等常用的學習用品，開始專心地涂色、剪紙、貼圖。老師則來到一位不會英文的新移民小孩旁坐下，耐心地進行個別輔導。

下課了，孩子們起身，各自把剪貼作品放進了屬于自己的作業盒子里。今天的數學課就此結束。

這節數學課看起來很隨意，也很好玩。孩子們整節課圍繞“點數汽車的輛數”的問題情境，有序地進行一個又一個活動：辨認紙張顏色、實地記錄各種顏色汽車數量、觀看教學片學習不同顏色汽車數量的統計方法、點數車輛數并比較多少、匯總各組記錄的數據、填充和剪貼與自己實地記錄的汽車數相同的汽車圖。孩子們在這樣的活動“串”中，興致勃勃、輕松自如。

在任課教師看來，數學課中語言、數學、自主學習、好奇心以及各種知識之間的聯系都是重要的。這節看似隨意的數學課，實際體現了教師的教學理念、設計思想和教學特點。

一、關注學生學，創設貫穿始終的問題情境

從教學設計的角度來看，這是一節“以學生的活動為中心”的數學課。這類課的基本結構一般是確定教學目標、創設教學情境、設計與提供信息資源、設計自主學習策略、設計協作學習環境、評價學習效果[1]。本節課，教師以學生初步學會點數10以內數，初步了解10以內數的含義為知識目標，創設了“點數汽車的輛數”這樣一個貫穿教學始終的數學問題情境。并提供了配色彩紙、觀察地點、教學短片、汽車圖畫、填圖卡紙以及剪紙的工具等學習資源與信息素材，為學生的學習提供了有力支持。活動過程中，教師設計了包括分類（按照顏色分類）、統計（收集、整理數據）、數數（分類點數、一一對應）等策略，引導學生自主學習。并通過小組合作和教師個別輔導，構建協作學習的環境。通過“按數找物”的填圖、貼圖活動，讓孩子們反思自己對數及數學符號表達的含義的初步了解。貫穿始終的問題情境，使孩子們數學學習的過程，也成為數學問題解決的過程，成為數學活動經驗的積累過程。

二、關注數學本質的滲透，創設學習活動“串”

從學習的過程來看，孩子們活動的基本線索是分類、收集整理數據和數據的簡單分析與表達。這個活動本質上是在為學生建立自然數的概念奠基。

（一）通過分類活動初步感知集合

我們知道，自然數起源于數（shǔ），即一個一個地數東西。由此而產生的用來表示物體個數的數就叫自然數[2]。用有限集合的基數來解釋自然數，即“自然數是一類有限的等價集合的標記”，稱為基數[3]。基數表示集合中元素的個數，是計數的數。比如，M={a}是一個集合，所有能和M構成一一對應的集合如“一只小鳥”的集合，“一棵樹”的集合，“一個人”的集合，“一個班學生”的集合等，它們都能彼此一一對應，是等價集合。從這樣一類有限的等價集合中將其共同屬性，即集合中的元素“都是1個”抽象出來，用數“1”表示，“1”就是這類等價集合的標記。“1”既可以表示數量上是1的事物，也可以表示一個整體。

建立數概念是非常困難的，人類形成“1”的概念，經歷了十萬年[4]。學生經歷數的抽象過程，理解數的實際含義，是學習數學的重要開端。皮亞杰認為，數概念的發展不會早于類（分類結構）的發展。分類就是把具有同一屬性的事物構成一個集合。這就是說，小學生先有分類形成的集合觀念，然后才能形成自然數的概念。在本節課中，教師首先讓學生辨析顏色紙，并在課外實地觀察中，以顏色為標準對過往汽車輛數進行分類統計，使學生在對汽車進行分類的過程中感知集合：即“相同顏色的汽車”構成一個集合。同時，學生對同類汽車一輛一輛進行記錄，也可以進一步獲得對集合中元素的個數的感知。

（二）通過統計活動初步感知數的含義

小學生掌握計數（數數）的過程，是把被數物體集合的元素與自然數列中的元素建立一一對應的過程，也是掌握初步數概念的過程。有研究表明，兒童計數的發展，需要經歷“口頭數數——按物點數——說出總數”的過程。兒童從口頭數數發展到按物點數，通常會經歷一個“手口不一”的過程。而說出總數的發展晚于按物點數。計數時，只有會說出總數，才標志著兒童開始對數的實際意義的理解。本節課設計的利用卡通片去再現實地統計汽車輛數的情境，讓小學生把多媒體畫面中出現的不同顏色汽車歸類填入統計圖，并進行數數練習和數量多少的比較，使學生直觀感知數的形成（即一個數添上1，即得到一個后繼數），訓練學生用視覺感知數目的多少，并進一步將口頭點數發展到按物點數，然后說出總數，培養學生的數感和數數技能。

（三）用不同方式表征數，滲透數守恒概念

本節課的最后一個活動，是由各小組成員根據在實地觀察活動中記錄到的汽車顏色和輛數，在一張畫滿小汽車的圖上涂色，并剪貼在自己的作業紙上。通過“由形到數，由數到形”的轉化，呈現了數的不同表征方式（實物、圖形和數字符號等），并滲透了數守恒的概念。我們知道，學生在判斷物體數量時，往往會受物體大小或排列形式的干擾。這種情況說明學生還沒有數的守恒的觀念。要排除各種干擾因素，關注到物體的數目，這要求學生能將數從它的具體對象的各種外部特征中抽象出來，這需要具有一定的抽象概括能力。皮亞杰認為，兒童能否具有數守恒的能力，是衡量是否具有數概念的標志。教師在教學設計中，讓學生在觀察、操作活動中，感悟汽車排列方式和形狀大小的變化，體會數守恒的概念，有意識地滲透了抽象能力的培養。

有研究認為：小學生初步形成10以內數的概念，有幾個標志：①理解10以內數的實際意義，包括10以內的基數和序數的意義，在判斷物體的個數時，能不受物體大小、形狀和排列形式的干擾，正確確定物體的數量（即數的守恒）。②認識10以內數的相鄰關系，理解自然數的順序是固定不變的。③掌握10以內數的組成，初步認識數的結構，初步具有按群計數的能力，為學習加減法打下基礎[5]。本節課通過一個個主題清晰的數學活動“串”，把數學教學的基本要求，滲透在了學生的學習活動之中。

三、遵循教育原則，體現“現實數學”思想

“現實數學”是荷蘭數學教育家弗賴登塔爾的重要數學教育原則。他認為，“數學現實”是客觀現實與人們的數學認識的統一體，是人們用數學概念、數學方法對客觀事物的認識的總體。其中既含有客觀世界的現實情況，也包括個人用自己的數學水平觀察這些事物所獲得的認識。強調客觀現實材料和數學知識兩者密不可分[6]。對于本節課而言，小學生從給定的“點數汽車的輛數”的具體情境中，通過分類、統計、對應（數與形，數與物）等方法去感知和建立數概念，使學生對于“數的認識”與各種“現實”材料“你中有我，我中有你”，融為一體，較好地體現了“現實數學”的思想。同時，孩子們在這些涉及數學、美術、音樂、語言等多領域學習以及戶外活動、統計、填圖剪紙等有趣的活動中，學習數的有關知識。

筆者認為，教師精心設計有趣的數學活動，讓孩子們在“玩”中學數學，教學的著眼點是學生如何學，而不是教師如何教。教師走進兒童學習的真實世界，結合學生的實際，尊重孩子的天性，遵從數學的學科特點和兒童數學學習的心理發展規律而進行教學，讓學生在不斷經歷、體驗各種數學活動的過程中，積累數學活動經驗，建構數學知識，形成數學學習的積極態度，這也許是這節課給我們的一點啟示。

參考文獻：

[1]李士锜，張曉霞，金成梁.小學數學教學案例分析[M].北京：高等教育出版社，2010：6.

[2]金成梁.小學數學疑難問題研究[M].南京：江蘇教育出版社，2010：1.

[3]張奠宙等.小學數學研究[M].北京：高等教育出版.2008：1.

[4]黃燕，何昕.從“小用”到“大用”——談我們需要什么樣的數學[J].人民教育，2011，（16）：14-16.