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最短時(shí)間原理

17世紀(jì)60年代，人類引逗光線的本領(lǐng)日漸高超，有關(guān)反射、折射的歸納性法則也已初現(xiàn)端倪。首位嘗試解答這一“為什么”的天才終于在萬(wàn)事俱備之際乘著東風(fēng)翩然而至，他便是來(lái)自法國(guó)的職業(yè)法律顧問(wèn)兼“業(yè)余”數(shù)學(xué)家皮埃爾 德 費(fèi)馬(Pierre de Fermat)。弗吉尼亞 伍爾夫(Virginia Woolf)曾說(shuō)過(guò)：“所謂天才就如同流星一樣，他們劃過(guò)夜空，撕破黑暗，道出真相，然后消失。”費(fèi)馬的一生便是對(duì)這句話最為生動(dòng)的詮釋。這位命運(yùn)的寵兒衣食無(wú)憂且與世無(wú)爭(zhēng)，從律師到法官，他表面上循規(guī)蹈矩，過(guò)著與其貴族身份相符的平順生活；而私底下，他卻悄悄為自己營(yíng)造了一整座美輪美奐的思維殿堂，像個(gè)孩童一般流連其間、盡情玩耍。

費(fèi)馬慣于獨(dú)自潛行，他終生遠(yuǎn)離學(xué)術(shù)圈，卻也偶爾捉狹地浮出水面冒個(gè)泡，寫(xiě)上一封短信給當(dāng)時(shí)的某位教授，將他最近游玩時(shí)無(wú)意間瞥見(jiàn)的美妙景象透露稍許，微微地撩撥一下學(xué)界的神經(jīng)：一個(gè)原本無(wú)意流傳后世的“費(fèi)馬大猜想”——xn yn=zn，當(dāng)整數(shù)n>2時(shí)，方程無(wú)解——令千萬(wàn)邏輯狂人撓破頭皮求證了足足358年；另一個(gè)關(guān)于多級(jí)指數(shù)的猜想——(2的2n次方) 1一定是素?cái)?shù)——又讓眾多數(shù)論名家信以為然、琢磨良久，最終卻發(fā)現(xiàn)那是錯(cuò)的……關(guān)于費(fèi)馬的傳奇足有一大籮筐，可惜此處留白太小，寫(xiě)不下?，F(xiàn)在，讓我們先著重來(lái)領(lǐng)略一下費(fèi)馬殿堂的明珠“最短時(shí)間原理”的風(fēng)采吧，一個(gè)把數(shù)學(xué)當(dāng)娛樂(lè)的頑童一不小心道破了宇宙的天機(jī)。

大約1662年前后，費(fèi)馬在他某張信稿邊頁(yè)以其一貫的潦草筆鋒輕描淡寫(xiě)地留下了一行小字：“在從一點(diǎn)行進(jìn)到另一點(diǎn)所有可能的路徑中，光所選擇的一定是耗時(shí)最短的路徑。”這便是赫赫有名的“費(fèi)馬最短時(shí)間原理”。也許你會(huì)想：這不顯而易見(jiàn)嘛，只要足夠機(jī)靈，放著捷徑誰(shuí)還愿意繞遠(yuǎn)道呢？但在費(fèi)馬之前，還鮮有人嘗試把自己融入一束光來(lái)思量其處境。況且一條論斷之所以能被冠以“原理”頭銜，僅靠揣度是不夠的，它必須嚴(yán)格建立在事實(shí)與邏輯的雙重基礎(chǔ)之上。下面，請(qǐng)你試著玩幾個(gè)簡(jiǎn)單的幾何游戲，來(lái)證明這一原理吧(參見(jiàn)附錄一)。

耗時(shí)最短，實(shí)則意味著跑得最快。速度與角度，兩個(gè)原本風(fēng)馬牛不相及的物理量通過(guò)費(fèi)馬原理竟微妙地聯(lián)系到了一塊兒，這不得不說(shuō)是對(duì)大自然的一次深刻洞見(jiàn)。不僅如此，費(fèi)馬對(duì)光行為那頗具人性化的詮釋總透著一股子說(shuō)不清道不明的刁鉆氣息，自問(wèn)世之日起數(shù)百年來(lái)，它就像費(fèi)馬本人一樣，激起的贊美與嘲諷兩相滔滔，至今仍不絕于耳。按照斯涅耳定律，光從光源出發(fā)之后，若碰到不同介質(zhì)，由于事先已約定好折射率，它只需依照老規(guī)矩及時(shí)調(diào)整方向，便可在各介質(zhì)間彎來(lái)折去、暢行無(wú)阻了。整個(gè)過(guò)程自先而后，與慣常所期待的因果律恰相吻合。然而，最短時(shí)間原理的橫空出世卻打破了這片祥和：如果說(shuō)每趟旅程都必須考慮時(shí)間損耗，那么在出發(fā)之前，光是如何確定自己將駐步何方，途中又會(huì)遭遇怎樣的流轉(zhuǎn)與機(jī)變的呢？從A到B，它可以直奔主題，也可以醉鬼似地打著旋晃蕩過(guò)去，精力充沛的話，甚至可以撲騰到海角天涯再折返回來(lái)……退一步說(shuō)，即使能夠預(yù)知最終落點(diǎn)，它究竟該采用何種方式來(lái)尋出路線呢？

本章我們暫且不去探究光是如何自三千弱水中毫不猶疑地取出了屬于自己的那一小瓢，僅只考慮它能于事件發(fā)生之前便知曉結(jié)果這一點(diǎn)，就足令眾人頭疼不已。試想，假如你是一束光，正準(zhǔn)備從A點(diǎn)去往B點(diǎn)，依據(jù)時(shí)空王國(guó)新近頒布的“最短時(shí)間章程”，你不僅得知道目的地B的位置，更需詳細(xì)了解沿途將經(jīng)過(guò)幾層界面，各界面的具體位置，各介質(zhì)分別是什么……每段路況皆無(wú)疏漏，如此才有可能定制方案。倘若你尚未摸清狀況便貿(mào)然前行，悶頭一陣疾馳之后，猛然撞見(jiàn)一界面，這才臨時(shí)決定進(jìn)退轉(zhuǎn)圜，勢(shì)必得反復(fù)修正原初的軌跡。而既然還有調(diào)整的余地，則意味著它并不是上上之選，比起動(dòng)身之前一口氣描畫(huà)的路線，勢(shì)必耗時(shí)更多。因此，“費(fèi)馬章程”若想順利施行，光就必須在跨上起跑線的瞬間便對(duì)所有的選擇都了然于心，并早早做好計(jì)劃——沿著結(jié)果去譜寫(xiě)過(guò)程，這簡(jiǎn)直就是一場(chǎng)逆時(shí)而上的盛大游行！“先”和“后”、“因”與“果”顛倒錯(cuò)亂，原本規(guī)規(guī)整整的邏輯拼圖霎時(shí)被震得七零八落，彌散不知所蹤。

與我們形影相隨的光背后竟藏匿著如此紛繁的秘密。隨著實(shí)驗(yàn)器材的改良，學(xué)者們進(jìn)而又發(fā)現(xiàn)，費(fèi)馬對(duì)光行為的解讀仍不夠，光程除了取極小值之外，有時(shí)也會(huì)取定值(例如當(dāng)光源位于橢圓反射鏡的焦點(diǎn)之一時(shí))，必要時(shí)甚至還會(huì)取極大值(這需要耍點(diǎn)兒花招，對(duì)光進(jìn)行“誘騙”。例如仍把光源置于橢圓鏡的任意焦點(diǎn)上，再緊貼橢圓內(nèi)壁鑲嵌一塊拋物鏡，則光線必定落于拋物面底端)。因此，費(fèi)馬原理最為的表述應(yīng)該是：“過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)A、B的光總選擇光程一階變分為零的路徑。”多年以后，隨著人類對(duì)世界的了解不斷深入，最短時(shí)間原理漸漸化身成羽翼更為豐滿的“最小作用量原理”，傲然翱翔在諸如廣義相對(duì)論、量子場(chǎng)論等現(xiàn)代物理各前沿陣地上空。然而，有關(guān)行程的詭譎思辨不過(guò)是光奉獻(xiàn)給世人的一碟開(kāi)胃小菜而已，觥籌交錯(cuò)間，一場(chǎng)從古典力學(xué)到量子力學(xué)的思維盛宴正緩緩拉開(kāi)序幕……