日本免费精品视频,男人的天堂在线免费视频,成人久久久精品乱码一区二区三区,高清成人爽a毛片免费网站

第1章量子狀態(tài)描述

1.1Schrodinger繪景、Heisenberg繪景與相互作用繪景

1.1.1三個(gè)繪景

描述微觀系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)演化過程，有三種不同但物理上等價(jià)的觀點(diǎn)，分別稱為Schrodinger繪景、Heisenberg繪景、相互作用繪景。

一方面，在微觀系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)演化時(shí)，能夠直接觀測(cè)的只有兩類量：各種可觀察力學(xué)量的數(shù)值；相應(yīng)該數(shù)值的概率。它們就是全部的可觀測(cè)的內(nèi)容。這里，對(duì)"觀測(cè)概率"的理解是，對(duì)微觀系統(tǒng)的測(cè)量總是對(duì)大量相同樣本作某組力學(xué)量的重復(fù)測(cè)量，最終以相同測(cè)量結(jié)果出現(xiàn)的頻度近似代替概率。舍此兩類實(shí)驗(yàn)觀測(cè)的要素都是主觀人造的事物。

另一方面，人們?yōu)榱藢?duì)微觀系統(tǒng)進(jìn)行理論描述，構(gòu)造出力學(xué)量算符和動(dòng)力學(xué)態(tài)矢。它們是兩個(gè)理論要素。實(shí)驗(yàn)表現(xiàn)是自然界的、客觀的，不隨人們思想意志改變的；但理論是人為擬定的、主觀的，按各種層次考量都是可以改變的。按Wigner定理，一個(gè)可能含時(shí)的幺正(反幺正)變換U，當(dāng)它以下面方式作用態(tài)矢和算符，使兩者產(chǎn)生如下配套變換：

1.1

變換U前后，系統(tǒng)所有可觀測(cè)物理性質(zhì)(包括全部測(cè)量概率、全體力學(xué)量算符的本征值)不會(huì)改變。比如，全部概率幅保持不變，因?yàn)?/p>

再比如，(在幺正變換下)基本對(duì)易子保持不變，因?yàn)?/p>

于是，就實(shí)驗(yàn)觀測(cè)而言，變換前后系統(tǒng)在物理上是等價(jià)的。要求式(1.1)體現(xiàn)物理等價(jià)原則是下面三個(gè)繪景相互轉(zhuǎn)換的依據(jù)，是構(gòu)成它們之間轉(zhuǎn)換關(guān)系的準(zhǔn)則。注意，盡管變換前后物理等價(jià)，但系統(tǒng)算符和態(tài)矢的表達(dá)形式會(huì)有很大改變。特別是，如果變換U=U(t)與時(shí)間相關(guān)，則系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的形式會(huì)發(fā)生很大的變化(詳細(xì)見下)。

現(xiàn)在的問題是，在微觀系統(tǒng)演化中，算符和態(tài)矢這兩個(gè)人造事物如何分擔(dān)描寫系統(tǒng)演化的任務(wù)。常見三種觀點(diǎn)：①Schrodinger繪景：令態(tài)矢承擔(dān)系統(tǒng)的全部演化，力學(xué)量算符不承擔(dān)；②Heisenberg繪景：令力學(xué)量算符承擔(dān)系統(tǒng)的全部演化，態(tài)矢不承擔(dān)；③相互作用繪景：兩者各有分擔(dān)，各隨時(shí)間變化。將三個(gè)繪景中任意算符和態(tài)矢用頂標(biāo)標(biāo)記，即

Ω(S)，|ψ(S)〉，Ω(H)，|ψ(H)〉，Ω(I)，|ψ(I)〉(1.2a)

繪景問題有三點(diǎn)要素:及時(shí)，盡管三個(gè)繪景的觀點(diǎn)很不同，但它們應(yīng)當(dāng)在物理上等價(jià)——三個(gè)繪景算出的兩類觀測(cè)要素?cái)?shù)值必須對(duì)應(yīng)相同。于是規(guī)定：由三個(gè)繪景計(jì)算出的任意概率幅都相等，即

1.2b)

式(1.2)是支配三個(gè)繪景相互關(guān)系的基本準(zhǔn)則。它規(guī)定了各個(gè)繪景的兩個(gè)理論要素——態(tài)矢和算符如何配套變換；第二，約定三個(gè)繪景的定義，即約定各自態(tài)矢定義；第三，既然描述同一微觀系統(tǒng)，初態(tài)和Hamilton量相同，于是約定t=t0時(shí)刻三種圖像相互重合，

ψ(H)〉=|ψ(S)(t0)〉=|ψ(I)(t0)〉，Ω(S)=Ω(H)(t0)=Ω(I)(t0)(1.2c)

可以抹去初態(tài)繪景標(biāo)記。下面由此總體規(guī)定出發(fā)分別闡述三個(gè)繪景。Schrodinger繪景。此繪景對(duì)態(tài)矢演化已有定義

ψ(S)(t)〉=U(S)(t，t0)|ψ(t0)〉(1.3)

ψ(t0)〉是Schrodinger繪景初始時(shí)刻態(tài)矢，簡(jiǎn)稱初態(tài)。U(S)(t，t0)是系統(tǒng)的時(shí)間演化算符。按U(S)(t，t0)的逐步演化的物理含意，可以寫為

1.4)

T是時(shí)序算符，定義為：當(dāng)若干個(gè)含時(shí)算符連乘時(shí)，T的作用是按這些算符所含時(shí)間大小依序自"左→右"對(duì)其進(jìn)行排列。即具有較早(較小)時(shí)刻的算符排在較晚(較大)時(shí)刻算符的右邊(前邊)，則

T A(ti) B(tj) = B(tj) A(ti) ，tj≥ti

這種排序是一種硬性規(guī)定，所以依序重排時(shí)不顧各算符乘子彼此是否對(duì)易注意，此處T的定義是，各個(gè)算符重新排序時(shí)不出符號(hào)。將來還有另一種定義：?jiǎn)未谓粨Q時(shí)規(guī)定要出負(fù)號(hào)。。因此，在T作用下不妨任意調(diào)換各算符乘子的順序。T的作用不可誤解為保持原等式成立的恒等運(yùn)算(不同于微分積分運(yùn)算)。

習(xí)題1.1對(duì)式(1.4)的第1式直接求導(dǎo)得到第2個(gè)方程。Schrodinger繪景中，態(tài)矢按全Hamilton量H=H0+V≡H(S)的含時(shí)Schrodinger方程演化，

1.5)

注意，在此繪景中算符維持原狀，于是位置和動(dòng)量算符均不顯含時(shí)間。一般說來，算符即便與時(shí)間有關(guān)，也只是由于自身的原因，與系統(tǒng)演化無關(guān)(由于V可能依賴時(shí)間，H可能含時(shí))，但時(shí)間導(dǎo)數(shù)算符除外。時(shí)間導(dǎo)數(shù)算符的平均值是原算符平均值的時(shí)間導(dǎo)數(shù)。于是，即使該算符本身不顯含時(shí)間，只要它與Hamilton量H(t)不對(duì)易，其時(shí)間導(dǎo)數(shù)算符不但不為零，還可能顯含時(shí)間。這顯示導(dǎo)數(shù)算符將表現(xiàn)出和H有關(guān)的動(dòng)力學(xué)演化。注意，計(jì)算時(shí)間導(dǎo)數(shù)算符矩陣元所用的配套態(tài)矢為|ψ(S)(t)〉(而不是|ψ(t0)〉)，它們還應(yīng)當(dāng)是Schrodinger繪景算符。所以不要一看見含時(shí)算符就認(rèn)為其是Heisenberg繪景算符。Schrodinger繪景主要特征是態(tài)矢承擔(dān)由H(t)產(chǎn)生的全部演化，(除時(shí)間導(dǎo)數(shù)算符外)算符不承擔(dān)此種演化。此繪景由Schrodinger于1926年提出，故有此名。Heisenberg繪景。此繪景規(guī)定態(tài)矢不隨時(shí)間演化。這等于要求它們是Schrodinger繪景態(tài)矢經(jīng)受逆演化，返回到初態(tài)。由此按及時(shí)條準(zhǔn)則立即得知，Hei senberg繪景的任意態(tài)矢和算符定義為

(1.6)

由于態(tài)矢變換已規(guī)定，選配算符如此變換，以保障任意概率幅不變，

ψ(H)(t)|Ω(H)(t)|φ(H)(t)〉=〈ψ(S)(t)|Ω(S)(t)|φ(S)(t)〉

因此，Heisenberg繪景的特征是，系統(tǒng)全部演化由算符承擔(dān)，態(tài)矢始終保持為初態(tài)。態(tài)矢和算符隨時(shí)間變化的方程為

1.7)

其中，于是有，偏導(dǎo)數(shù)只對(duì)算符Ω(S)中顯含的時(shí)間參數(shù)進(jìn)行。一般說來，Ω(H)(t)是一個(gè)復(fù)雜的含時(shí)算符集團(tuán)。

習(xí)題1.2直接對(duì)式(1.6)Ω(H)(t)求導(dǎo)得出Heisenberg繪景中算符演化方程(1.7)。特例是Ω(S)=H(t)，Ω(H)=H(H)(t)，dH(H)dt=H(H)t≠0。注意，只有系統(tǒng)為不顯含時(shí)間的情況，時(shí)間導(dǎo)數(shù)算符的對(duì)易子中才有H(H)(t)=H。但這時(shí)導(dǎo)數(shù)算符的整個(gè)計(jì)算結(jié)果仍然是Heisenberg繪景算符，和Schrodinger繪景算符并不相等。因?yàn)橛脕砗退涮鬃骶仃囋?jì)算的態(tài)矢是|ψ(t0)〉(而不是Schrodinger繪景所用的|ψ(S)(t)〉)。此繪景于1925~1926年由Heisenberg，Born等提出。相互作用繪景。除上面兩種極端繪景之外，還另有一種發(fā)源于微擾論計(jì)算的中介繪景——相互作用繪景。建立此圖像的目的與微擾論計(jì)算密切相關(guān)，和H是否可以劃分為H=H0+V密切相關(guān)。一般說來，有相互作用的H很難嚴(yán)格求解，這時(shí)近似求解可按微擾論思想將H劃分為兩部分，即H=H0+V，其中H0的本征值和本征函數(shù)為已知，稱為參照系統(tǒng)，V是感興趣的相互作用。當(dāng)然，這里H0也可以含有別種相互作用，甚至和復(fù)合粒子的束縛態(tài)相聯(lián)系，不一定非得是真正自由的。為敘述方便，稱根源于V的演化為動(dòng)力學(xué)演化，而稱根源于H0的演化為運(yùn)動(dòng)學(xué)演化。現(xiàn)在定義:t時(shí)刻相互作用繪景態(tài)矢|ψ(I)(t)〉為t時(shí)刻Schrodinger繪景態(tài)矢|ψ(S)(t)〉再按H0(而不是按H！)逆演化返回初始時(shí)刻t0，即

1.8a)

這里是由H0(t)生成的演化。于是，在相互作用繪景中，態(tài)矢和相應(yīng)的時(shí)間演化算符規(guī)定為

1.8b)

與此對(duì)應(yīng)，Schrodinger繪景的算符向相互作用繪景的轉(zhuǎn)換為

1.9)

顯然，只有式(1.8)和式(1.9)配套，兩個(gè)繪景相應(yīng)矩陣元才相等，即

ψ(I)(t)|Ω(I)(t)|φ(I)(t)〉=〈ψ(S)(t)|Ω(S)(t)|φ(S)(t)〉

對(duì)態(tài)矢定義求導(dǎo)即知，此時(shí)態(tài)矢和算符隨時(shí)間變化的方程為

1.10)

其中

習(xí)題1.3導(dǎo)出相互作用繪景中的算符演化方程和態(tài)矢演化方程。其實(shí)，從Schrodinger繪景的Schrodinger方程，兩邊施以變換U(S)0(t，t0)－1(如H0不含時(shí)，變換即為eiH0(t－t0)/h)，即得式(1.10)中的態(tài)矢方程。同時(shí)，從態(tài)矢方程兩邊抽除初態(tài)，又直接得到時(shí)間演化算符方程

(1.11)

式(1.10)的特點(diǎn)是，態(tài)矢隨時(shí)間變化決定于V(I)(t)，正比于其中的相互作用V(t)(含意是正比于其中參數(shù))，而不像通常Schrodinger方程正比于系統(tǒng)的Hamilton量H(t)。注意：一方面，由于V、H0一般不對(duì)易，不論V、H0是否顯含時(shí)間，V(I)(t)都將顯含時(shí)間，所以一般說來，相互作用繪景的態(tài)矢方程對(duì)應(yīng)一個(gè)含時(shí)系統(tǒng)；另一方面，算符隨時(shí)間變化(除去自身顯含時(shí)間部分外)則由H0決定，與相互作用V(t)無關(guān)，和無相互作用V(t)下的Heisenberg算符那樣演化。總之，按照并不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼f法，相互作用繪景中態(tài)矢承擔(dān)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)演化，而算符則承擔(dān)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)演化。指出，繪景概念應(yīng)當(dāng)和以前的表象概念相互區(qū)別。表象是指確定了一組完備力學(xué)量算符組之后，選取它們共同本征函數(shù)族作為基矢，用以展開并描述任意態(tài)矢。所以常說，選取表象就是選取基矢。而繪景并不涉及基矢的選取，只涉及在系統(tǒng)的算符和態(tài)矢之間如何分配動(dòng)力學(xué)演化和運(yùn)動(dòng)學(xué)演化問題。至此已經(jīng)建立起了三個(gè)繪景。下面就Heisenberg繪景和相互作用繪景作進(jìn)一步的敘述。1.1.2Heisenberg繪景的進(jìn)一步敘述由式(1.6)和式(1.7)可知，雖然通常Ω(S)不顯含t(不計(jì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)算符和非孤立系Hamilton量算符)，除非Ω(S)與U(S)(t，t0)對(duì)易(在H顯含t情況下，要求Ω(S)與所有時(shí)刻的H(t)對(duì)易)，否則Ω(H)總與t有關(guān)，體現(xiàn)系統(tǒng)的演化。在Heisenberg繪景中用量子Poisson括號(hào)表示的算符演化方程，與正則框架中用Poisson括號(hào)表示的經(jīng)典運(yùn)動(dòng)方程形式相同。這正是以前常用Heisenberg繪景進(jìn)行量子化的緣故：經(jīng)典力學(xué)系統(tǒng)經(jīng)量子化后就立即轉(zhuǎn)到此繪景。然而，由于Heisenberg繪景的運(yùn)動(dòng)方程是算符方程，未知數(shù)是算符、是矩陣，待求的未知數(shù)個(gè)數(shù)比Schrodinger繪景態(tài)矢方程多得多，比較難于求解。所以一般說來，Heisenberg繪景有利于理論形式的探討及與經(jīng)典類比，不適合進(jìn)行具體的數(shù)值計(jì)算。下面在Heisenberg繪景中舉一些算例作為說明。設(shè)H不含時(shí)，找一組與H對(duì)易的可觀察量的集ξ。由于H與它們?nèi)紝?duì)易，H是它們的函數(shù)Dirac P A M. 量子力學(xué)原理.陳咸亨譯，喀興林校.北京：科學(xué)出版社，1965，：78，定理2。。在使這組力學(xué)量算符對(duì)角化的表象(取它們共同本征態(tài)矢作基矢)中寫出矩陣形式方程，這便是Heisenberg于1925年最初表達(dá)量子力學(xué)使用的形式。在此表象中算符Ω(H)的矩陣元為

其中，E′=E(ξ′)，E″=E(ξ″)。由于通常取〈ξ′|為t0時(shí)刻的，所以它正是Heisenberg繪景下的基矢。但對(duì)定態(tài)問題，通常也用它作基矢來計(jì)算Schrodinger繪景下的矩陣元。

1)一維量子諧振子

于是

即

求解得

利用初條件，得

如果定義新算符，將p(H)，q(H)表達(dá)式代入得

η(H)(t)=η(0)eiωt

其中，

(2)自由粒子H=12mp(H)2

當(dāng)然也可以用公式，計(jì)算對(duì)易子辦法得到。

習(xí)題1.4計(jì)算Heisenberg繪景中的相對(duì)論自由粒子

1.1.3相互作用繪景的進(jìn)一步敘述

如果用并不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆绞嚼斫庥蒘chrodinger繪景向相互作用繪景的轉(zhuǎn)換，則態(tài)矢所作變換U(S)0(t，t0)－1仿佛是：將Schrodinger繪景中態(tài)矢的全部動(dòng)力學(xué)演化劃分為運(yùn)動(dòng)學(xué)演化和動(dòng)力學(xué)演化，將其中運(yùn)動(dòng)學(xué)演化以逆變換的形式予以(初步的并非的)"抵消"。于是態(tài)矢的