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第1章量子狀態描述

1.1Schrodinger繪景、Heisenberg繪景與相互作用繪景

1.1.1三個繪景

描述微觀系統動力學演化過程，有三種不同但物理上等價的觀點，分別稱為Schrodinger繪景、Heisenberg繪景、相互作用繪景。

一方面，在微觀系統動力學演化時，能夠直接觀測的只有兩類量：各種可觀察力學量的數值；相應該數值的概率。它們就是全部的可觀測的內容。這里，對"觀測概率"的理解是，對微觀系統的測量總是對大量相同樣本作某組力學量的重復測量，最終以相同測量結果出現的頻度近似代替概率。舍此兩類實驗觀測的要素都是主觀人造的事物。

另一方面，人們為了對微觀系統進行理論描述，構造出力學量算符和動力學態矢。它們是兩個理論要素。實驗表現是自然界的、客觀的，不隨人們思想意志改變的；但理論是人為擬定的、主觀的，按各種層次考量都是可以改變的。按Wigner定理，一個可能含時的幺正(反幺正)變換U，當它以下面方式作用態矢和算符，使兩者產生如下配套變換：

1.1

變換U前后，系統所有可觀測物理性質(包括全部測量概率、全體力學量算符的本征值)不會改變。比如，全部概率幅保持不變，因為

再比如，(在幺正變換下)基本對易子保持不變，因為

于是，就實驗觀測而言，變換前后系統在物理上是等價的。要求式(1.1)體現物理等價原則是下面三個繪景相互轉換的依據，是構成它們之間轉換關系的準則。注意，盡管變換前后物理等價，但系統算符和態矢的表達形式會有很大改變。特別是，如果變換U=U(t)與時間相關，則系統運動方程的形式會發生很大的變化(詳細見下)。

現在的問題是，在微觀系統演化中，算符和態矢這兩個人造事物如何分擔描寫系統演化的任務。常見三種觀點：①Schrodinger繪景：令態矢承擔系統的全部演化，力學量算符不承擔；②Heisenberg繪景：令力學量算符承擔系統的全部演化，態矢不承擔；③相互作用繪景：兩者各有分擔，各隨時間變化。將三個繪景中任意算符和態矢用頂標標記，即

Ω(S)，|ψ(S)〉，Ω(H)，|ψ(H)〉，Ω(I)，|ψ(I)〉(1.2a)

繪景問題有三點要素:及時，盡管三個繪景的觀點很不同，但它們應當在物理上等價——三個繪景算出的兩類觀測要素數值必須對應相同。于是規定：由三個繪景計算出的任意概率幅都相等，即

1.2b)

式(1.2)是支配三個繪景相互關系的基本準則。它規定了各個繪景的兩個理論要素——態矢和算符如何配套變換；第二，約定三個繪景的定義，即約定各自態矢定義；第三，既然描述同一微觀系統，初態和Hamilton量相同，于是約定t=t0時刻三種圖像相互重合，

ψ(H)〉=|ψ(S)(t0)〉=|ψ(I)(t0)〉，Ω(S)=Ω(H)(t0)=Ω(I)(t0)(1.2c)

可以抹去初態繪景標記。下面由此總體規定出發分別闡述三個繪景。Schrodinger繪景。此繪景對態矢演化已有定義

ψ(S)(t)〉=U(S)(t，t0)|ψ(t0)〉(1.3)

ψ(t0)〉是Schrodinger繪景初始時刻態矢，簡稱初態。U(S)(t，t0)是系統的時間演化算符。按U(S)(t，t0)的逐步演化的物理含意，可以寫為

1.4)

T是時序算符，定義為：當若干個含時算符連乘時，T的作用是按這些算符所含時間大小依序自"左→右"對其進行排列。即具有較早(較小)時刻的算符排在較晚(較大)時刻算符的右邊(前邊)，則

T A(ti) B(tj) = B(tj) A(ti) ，tj≥ti

這種排序是一種硬性規定，所以依序重排時不顧各算符乘子彼此是否對易注意，此處T的定義是，各個算符重新排序時不出符號。將來還有另一種定義：單次交換時規定要出負號。。因此，在T作用下不妨任意調換各算符乘子的順序。T的作用不可誤解為保持原等式成立的恒等運算(不同于微分積分運算)。

習題1.1對式(1.4)的第1式直接求導得到第2個方程。Schrodinger繪景中，態矢按全Hamilton量H=H0+V≡H(S)的含時Schrodinger方程演化，

1.5)

注意，在此繪景中算符維持原狀，于是位置和動量算符均不顯含時間。一般說來，算符即便與時間有關，也只是由于自身的原因，與系統演化無關(由于V可能依賴時間，H可能含時)，但時間導數算符除外。時間導數算符的平均值是原算符平均值的時間導數。于是，即使該算符本身不顯含時間，只要它與Hamilton量H(t)不對易，其時間導數算符不但不為零，還可能顯含時間。這顯示導數算符將表現出和H有關的動力學演化。注意，計算時間導數算符矩陣元所用的配套態矢為|ψ(S)(t)〉(而不是|ψ(t0)〉)，它們還應當是Schrodinger繪景算符。所以不要一看見含時算符就認為其是Heisenberg繪景算符。Schrodinger繪景主要特征是態矢承擔由H(t)產生的全部演化，(除時間導數算符外)算符不承擔此種演化。此繪景由Schrodinger于1926年提出，故有此名。Heisenberg繪景。此繪景規定態矢不隨時間演化。這等于要求它們是Schrodinger繪景態矢經受逆演化，返回到初態。由此按及時條準則立即得知，Hei senberg繪景的任意態矢和算符定義為

(1.6)

由于態矢變換已規定，選配算符如此變換，以保障任意概率幅不變，

ψ(H)(t)|Ω(H)(t)|φ(H)(t)〉=〈ψ(S)(t)|Ω(S)(t)|φ(S)(t)〉

因此，Heisenberg繪景的特征是，系統全部演化由算符承擔，態矢始終保持為初態。態矢和算符隨時間變化的方程為

1.7)

其中，于是有，偏導數只對算符Ω(S)中顯含的時間參數進行。一般說來，Ω(H)(t)是一個復雜的含時算符集團。

習題1.2直接對式(1.6)Ω(H)(t)求導得出Heisenberg繪景中算符演化方程(1.7)。特例是Ω(S)=H(t)，Ω(H)=H(H)(t)，dH(H)dt=H(H)t≠0。注意，只有系統為不顯含時間的情況，時間導數算符的對易子中才有H(H)(t)=H。但這時導數算符的整個計算結果仍然是Heisenberg繪景算符，和Schrodinger繪景算符并不相等。因為用來和它配套作矩陣元計算的態矢是|ψ(t0)〉(而不是Schrodinger繪景所用的|ψ(S)(t)〉)。此繪景于1925~1926年由Heisenberg，Born等提出。相互作用繪景。除上面兩種極端繪景之外，還另有一種發源于微擾論計算的中介繪景——相互作用繪景。建立此圖像的目的與微擾論計算密切相關，和H是否可以劃分為H=H0+V密切相關。一般說來，有相互作用的H很難嚴格求解，這時近似求解可按微擾論思想將H劃分為兩部分，即H=H0+V，其中H0的本征值和本征函數為已知，稱為參照系統，V是感興趣的相互作用。當然，這里H0也可以含有別種相互作用，甚至和復合粒子的束縛態相聯系，不一定非得是真正自由的。為敘述方便，稱根源于V的演化為動力學演化，而稱根源于H0的演化為運動學演化。現在定義:t時刻相互作用繪景態矢|ψ(I)(t)〉為t時刻Schrodinger繪景態矢|ψ(S)(t)〉再按H0(而不是按H！)逆演化返回初始時刻t0，即

1.8a)

這里是由H0(t)生成的演化。于是，在相互作用繪景中，態矢和相應的時間演化算符規定為

1.8b)

與此對應，Schrodinger繪景的算符向相互作用繪景的轉換為

1.9)

顯然，只有式(1.8)和式(1.9)配套，兩個繪景相應矩陣元才相等，即

ψ(I)(t)|Ω(I)(t)|φ(I)(t)〉=〈ψ(S)(t)|Ω(S)(t)|φ(S)(t)〉

對態矢定義求導即知，此時態矢和算符隨時間變化的方程為

1.10)

其中

習題1.3導出相互作用繪景中的算符演化方程和態矢演化方程。其實，從Schrodinger繪景的Schrodinger方程，兩邊施以變換U(S)0(t，t0)－1(如H0不含時，變換即為eiH0(t－t0)/h)，即得式(1.10)中的態矢方程。同時，從態矢方程兩邊抽除初態，又直接得到時間演化算符方程

(1.11)

式(1.10)的特點是，態矢隨時間變化決定于V(I)(t)，正比于其中的相互作用V(t)(含意是正比于其中參數)，而不像通常Schrodinger方程正比于系統的Hamilton量H(t)。注意：一方面，由于V、H0一般不對易，不論V、H0是否顯含時間，V(I)(t)都將顯含時間，所以一般說來，相互作用繪景的態矢方程對應一個含時系統；另一方面，算符隨時間變化(除去自身顯含時間部分外)則由H0決定，與相互作用V(t)無關，和無相互作用V(t)下的Heisenberg算符那樣演化。總之，按照并不嚴謹的說法，相互作用繪景中態矢承擔系統的動力學演化，而算符則承擔系統的運動學演化。指出，繪景概念應當和以前的表象概念相互區別。表象是指確定了一組完備力學量算符組之后，選取它們共同本征函數族作為基矢，用以展開并描述任意態矢。所以常說，選取表象就是選取基矢。而繪景并不涉及基矢的選取，只涉及在系統的算符和態矢之間如何分配動力學演化和運動學演化問題。至此已經建立起了三個繪景。下面就Heisenberg繪景和相互作用繪景作進一步的敘述。1.1.2Heisenberg繪景的進一步敘述由式(1.6)和式(1.7)可知，雖然通常Ω(S)不顯含t(不計時間導數算符和非孤立系Hamilton量算符)，除非Ω(S)與U(S)(t，t0)對易(在H顯含t情況下，要求Ω(S)與所有時刻的H(t)對易)，否則Ω(H)總與t有關，體現系統的演化。在Heisenberg繪景中用量子Poisson括號表示的算符演化方程，與正則框架中用Poisson括號表示的經典運動方程形式相同。這正是以前常用Heisenberg繪景進行量子化的緣故：經典力學系統經量子化后就立即轉到此繪景。然而，由于Heisenberg繪景的運動方程是算符方程，未知數是算符、是矩陣，待求的未知數個數比Schrodinger繪景態矢方程多得多，比較難于求解。所以一般說來，Heisenberg繪景有利于理論形式的探討及與經典類比，不適合進行具體的數值計算。下面在Heisenberg繪景中舉一些算例作為說明。設H不含時，找一組與H對易的可觀察量的集ξ。由于H與它們全都對易，H是它們的函數Dirac P A M. 量子力學原理.陳咸亨譯，喀興林校.北京：科學出版社，1965，：78，定理2。。在使這組力學量算符對角化的表象(取它們共同本征態矢作基矢)中寫出矩陣形式方程，這便是Heisenberg于1925年最初表達量子力學使用的形式。在此表象中算符Ω(H)的矩陣元為

其中，E′=E(ξ′)，E″=E(ξ″)。由于通常取〈ξ′|為t0時刻的，所以它正是Heisenberg繪景下的基矢。但對定態問題，通常也用它作基矢來計算Schrodinger繪景下的矩陣元。

1)一維量子諧振子

于是

即

求解得

利用初條件，得

如果定義新算符，將p(H)，q(H)表達式代入得

η(H)(t)=η(0)eiωt

其中，

(2)自由粒子H=12mp(H)2

當然也可以用公式，計算對易子辦法得到。

習題1.4計算Heisenberg繪景中的相對論自由粒子

1.1.3相互作用繪景的進一步敘述

如果用并不嚴謹的方式理解由Schrodinger繪景向相互作用繪景的轉換，則態矢所作變換U(S)0(t，t0)－1仿佛是：將Schrodinger繪景中態矢的全部動力學演化劃分為運動學演化和動力學演化，將其中運動學演化以逆變換的形式予以(初步的并非的)"抵消"。于是態矢的