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第2章 平面體系的機(jī)動(dòng)分析

學(xué)習(xí)本章的基本要求：

掌握平面幾何不變體系的基本組成規(guī)律，了解自由度的概念，能熟練運(yùn)用這些規(guī)律正確地分析一般平面體系的幾何組成，正確判斷超靜定結(jié)構(gòu)的多余聯(lián)系及數(shù)目。

2.1 概 述

體系受到任意荷載作用后，材料產(chǎn)生應(yīng)變，因而體系發(fā)生變形，但是這種變形一般很小。如果不考慮這種微小的變形，而體系能維持其幾何形狀和位置不變，則這樣的體系稱為幾何不變體系。如圖2-1(a)所示的體系就是一個(gè)幾何不變體系，因?yàn)樵谒竞奢d作用下，只要不發(fā)生破壞，它的形狀和位置是不會(huì)改變的。在任意荷載作用下，不考慮材料的應(yīng)變，體系的形狀和位置可以改變，則稱這樣的體系為幾何可變體系。圖2-1(b)所示的體系，在所示荷載P的作用下，即使P的值非常小，它也不能維持平衡，這是由于體系缺少必要的桿件或桿件布置不合理而導(dǎo)致的。一般工程結(jié)構(gòu)都必須是幾何不變體系，而不能采用幾何可變體系，否則將不能承受任意荷載而維持平衡。因此，在設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)和選取計(jì)算簡圖時(shí)，首先必須判別它是否幾何不變，從而決定能否采用，這一工作就稱為體系的機(jī)動(dòng)分析或幾何組成分析。此外，以后會(huì)看到，機(jī)動(dòng)分析還將有助于結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析。

圖2-1 體系幾何性質(zhì)

對體系進(jìn)行機(jī)動(dòng)分析的目的就是確定該體系是否幾何不變，從而決定它能否作為結(jié)構(gòu)。確定體系是否為幾何不變體系，需要研究幾何不變體系的組成規(guī)律，以保障所設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)能承受荷載而維持平衡。通過體系的幾何組成，可以確定結(jié)構(gòu)是靜定的還是超靜定的，以便在結(jié)構(gòu)計(jì)算中選擇相應(yīng)的計(jì)算方法。

為了分析平面體系的幾何組成，首先介紹幾個(gè)基本概念。

1) 剛片。

一個(gè)在平面內(nèi)可以看作剛體的物體，它的幾何形狀和尺寸都是不變的。因此，在平面體系中，當(dāng)不考慮材料的應(yīng)變時(shí)，就可以把一根梁、一根鏈桿或者體系中已經(jīng)確定為幾何不變的某一部分看作一個(gè)剛片，結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)也可以看作剛片。

2) 自由度。

圖2-2所示為平面內(nèi)一點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)情況。一點(diǎn)在平面內(nèi)可以沿水平方向(x軸方向)移動(dòng)，又可以沿豎直方向(y軸方向)移動(dòng)。當(dāng)給定x、y坐標(biāo)值后，A點(diǎn)的位置確定。換句話說，平面內(nèi)一點(diǎn)有兩種獨(dú)立運(yùn)動(dòng)方式(兩個(gè)坐標(biāo)x、y可以獨(dú)立地改變)，即確定平面內(nèi)一點(diǎn)的位置需要兩個(gè)獨(dú)立的幾何參數(shù)(x、y坐標(biāo)值)，因此我們說一點(diǎn)在平面內(nèi)有兩個(gè)自由度。

圖2-3所示為平面內(nèi)一個(gè)剛片的運(yùn)動(dòng)，其位置需要三個(gè)獨(dú)立的幾何參數(shù)確定，即剛片內(nèi)任意點(diǎn)A的坐標(biāo)x、y及通過A點(diǎn)的任一直線的傾角?。改變這三個(gè)獨(dú)立的幾何參數(shù)，使其變?yōu)樾轮祒'、y'和?'，則剛片就有確定的新位置(見圖2-3)，因此一個(gè)剛片在平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)有三個(gè)自由度。前面已提到，地基也可以看作-個(gè)剛片，但這種剛片是不動(dòng)剛片，它的自由度為零。

圖2-2 平面內(nèi)一點(diǎn)的自由度示意圖

圖2-3 平面內(nèi)一剛片的自由度示意圖

綜上所述，可以說，某個(gè)體系的自由度，就是該體系運(yùn)動(dòng)時(shí)可以獨(dú)立變化的幾何參數(shù)的數(shù)目，或者說，就是用來確定該體系的位置所需獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目。一般來說，如果一個(gè)體系有n個(gè)獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)方式，我們就說這個(gè)體系有n個(gè)自由度。凡是自由度大于零的體系都是幾何可變體系。

3) 約束。

使得體系減少自由度的聯(lián)結(jié)裝置稱約束或聯(lián)系。在剛片間加入某些聯(lián)結(jié)裝置，它們的自由度將減少，減少一個(gè)自由度的裝置就稱為一個(gè)約束，減少n個(gè)自由度的裝置就稱為n個(gè)約束。

2.1.1 不同聯(lián)結(jié)裝置對體系的約束作用

1.鏈桿的作用

圖2-4(a)表示用一根鏈桿BC聯(lián)結(jié)的兩個(gè)剛片Ⅰ和Ⅱ。未聯(lián)結(jié)以前，這兩個(gè)剛片在平面內(nèi)共有六個(gè)自由度。用鏈桿BC聯(lián)結(jié)以后，對剛片Ⅰ而言，其位置需用剛片上A點(diǎn)的坐標(biāo)x、y和AB連線的傾角?來確定，因此它有三個(gè)自由度。但是對剛片Ⅱ而言，由于與剛片Ⅰ已用鏈桿BC聯(lián)結(jié)，它只能沿著B為圓心、BC為半徑的圓弧運(yùn)動(dòng)和繞C點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，再用兩個(gè)獨(dú)立參數(shù)? 和? 即可確定它的位置，所以減少了一個(gè)自由度。因此，兩個(gè)剛片用一根鏈桿聯(lián)結(jié)后的自由度總數(shù)為五個(gè)(6-1=5)。由此可見，一根鏈桿使體系減少了一個(gè)自由度，也就是說，一根鏈桿相當(dāng)于一個(gè)聯(lián)系或一個(gè)約束。

2.單鉸的作用

圖2-4(b)表示用一個(gè)鉸B聯(lián)結(jié)的兩個(gè)剛片Ⅰ和Ⅱ。在未聯(lián)結(jié)以前，兩個(gè)剛片在平面內(nèi)共有六個(gè)自由度。在用鉸B聯(lián)結(jié)以后，剛片Ⅰ仍有三個(gè)自由度，而剛片Ⅱ則只能繞鉸B作相對轉(zhuǎn)動(dòng)，即再用一個(gè)獨(dú)立參數(shù)(夾角?)就可確定它的位置，所以減少了兩個(gè)自由度。因此，兩個(gè)剛片用一個(gè)鉸聯(lián)結(jié)后的自由度總數(shù)為四個(gè)(6-2=4)，我們把聯(lián)結(jié)兩個(gè)剛片的鉸稱為單鉸。由此可見，一個(gè)單鉸相當(dāng)于兩個(gè)聯(lián)系，或兩個(gè)約束，也相當(dāng)于兩根鏈桿的作用；反之，兩根鏈桿也相當(dāng)于一個(gè)單鉸的作用。

我們將地基看作是不動(dòng)的，這樣，如果在體系上加一個(gè)可動(dòng)鉸支座，就使體系減少一個(gè)自由度；加一個(gè)固定鉸支座，就使體系減少兩個(gè)自由度；加一個(gè)固定支座，就使體系減少三個(gè)自由度。

3.復(fù)鉸的作用

圖2-4(c)表示用一個(gè)鉸C聯(lián)結(jié)的三個(gè)剛片Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。在未聯(lián)結(jié)以前，三個(gè)剛片在平面內(nèi)共有九個(gè)自由度。在用鉸C聯(lián)結(jié)以后，剛片Ⅰ仍有三個(gè)自由度，而剛片Ⅱ和剛片Ⅲ則都只能繞鉸C作相對轉(zhuǎn)動(dòng)，即再用兩個(gè)獨(dú)立參數(shù)(夾角?、? )就可確定它們的位置，因此減少了四個(gè)自由度。我們把聯(lián)結(jié)兩個(gè)以上剛片的鉸稱為復(fù)鉸。由上述可見，一個(gè)聯(lián)結(jié)三個(gè)剛片的復(fù)鉸相當(dāng)于兩個(gè)單鉸的作用。一般情況下，如果n個(gè)剛片用一個(gè)復(fù)鉸聯(lián)結(jié)，則這個(gè)復(fù)鉸相當(dāng)于n－1個(gè)單鉸的作用。

4.剛性聯(lián)結(jié)的作用

圖2-4(d)所示為兩根桿件AB和BC在B點(diǎn)連接成一個(gè)整體，其中的結(jié)點(diǎn)B為剛結(jié)點(diǎn)。原來的兩根桿件在平面內(nèi)共有六個(gè)自由度，剛性連接成整體，形成一個(gè)剛片，只有三個(gè)自由度，所以一個(gè)剛性聯(lián)結(jié)相當(dāng)于三個(gè)約束。

顯然，可動(dòng)鉸支座即鏈桿支承只能阻止剛片沿鏈桿方向的運(yùn)動(dòng)，使剛片減少了一個(gè)自由度，相當(dāng)于一個(gè)約束；鉸支座阻止剛片上下、左右的移動(dòng)，使剛片減少兩個(gè)自由度，相當(dāng)于兩個(gè)約束；固定支座阻止剛片上下、左右的移動(dòng)，也阻止其轉(zhuǎn)動(dòng)，所以相當(dāng)于三個(gè)約束。

圖2-4 鏈桿、單鉸、復(fù)鉸、剛性聯(lián)結(jié)相當(dāng)?shù)募s束數(shù)目示意圖

5.虛鉸的作用

由于兩根鏈桿也相當(dāng)于一個(gè)單鉸的作用，則圖2-5所示剛片Ⅰ在平面內(nèi)有三個(gè)自由度；如果用兩根不平行的鏈桿AB和BC把它與基礎(chǔ)相聯(lián)結(jié)，則此體系仍有一個(gè)自由度。我們來分析剛片Ⅰ的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)。由鏈桿AB的約束作用，A點(diǎn)的微小位移應(yīng)與鏈桿AB垂直，C點(diǎn)的微小位移要與鏈桿CD垂直。以O(shè)點(diǎn)表示兩鏈桿軸線延長線的交點(diǎn)，顯然，剛片Ⅰ可以發(fā)生以O(shè)點(diǎn)為中心的微小轉(zhuǎn)動(dòng)，且隨時(shí)間不同，O點(diǎn)的位置不同，因此稱O點(diǎn)為瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心。這時(shí)剛片Ⅰ的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)情況與剛片Ⅰ在O點(diǎn)用鉸與基礎(chǔ)相聯(lián)結(jié)時(shí)的運(yùn)動(dòng)情況相同。因此，從瞬時(shí)微小運(yùn)動(dòng)來看，兩根鏈桿所起的約束作用相當(dāng)于在鏈桿交點(diǎn)處的一個(gè)鉸所起的約束作用。這個(gè)鉸我們稱為虛鉸。顯然，體系在運(yùn)動(dòng)過程中，與兩根鏈桿相應(yīng)的虛鉸位置也跟著改變。

2.1.2 體系自由度的計(jì)算公式

我們已經(jīng)研究了不同約束對體系自由度的影響，下面給出平面剛片系統(tǒng)計(jì)算體系自由度的公式：

(2-1

式中，m表示體系中的剛片數(shù)(地基不計(jì)入)；n為聯(lián)結(jié)剛片的單鉸數(shù)；c為聯(lián)結(jié)剛片的鏈桿數(shù)；c0為體系與地基聯(lián)結(jié)的支座鏈桿數(shù)，且將三類支座均用相應(yīng)的鏈桿約束代替，即可動(dòng)鉸支座的c0=1，固定鉸支座的c0=2，定向支座的c0=2，固定支座的c0=3。顯然，幾何不變體系的自由度必然是等于零或小于零，即由式(2-1)計(jì)算出的W≤0。

圖2-6(a)所示為一簡支梁，其剛片數(shù)m=1，單鉸數(shù)n=0，鏈桿數(shù)c=0，支座鏈桿數(shù)c0=3，則自由度W=0。而圖2-6(b)所示的體系剛片數(shù)m=9，單鉸數(shù)n=12，鏈桿數(shù)c=0，支座鏈桿數(shù)c0=3，則自由度W=3×9-2×12-0-3=0。然而，這一體系是一幾何可變體系(證明見2.2節(jié))，這說明體系的自由度等于或小于零，體系不一定為幾何不變體系。因而我們說，由式(2-1)計(jì)算出體系的自由度等于或小于零只是判斷體系為幾何不變體系的必要條件，并不充分。當(dāng)體系的約束或剛片布置不合理時(shí)，體系的自由度等于或小于零，體系仍然是幾何可變體系。

圖2-6 體系自由度計(jì)算

由于式(2-1)計(jì)算體系自由度不能保障體系的幾何不變性，通常采用對體系直接進(jìn)行幾何組成分析的方法判斷體系是否幾何不變，省略體系的自由度計(jì)算。

2.2 幾何不變體系的基本組成規(guī)則

為了分析體系的幾何組成，我們必須知道體系不變的條件，即幾何不變體系的組成規(guī)則。本節(jié)將研究構(gòu)成平面幾何不變體系的幾個(gè)基本規(guī)則，用以判斷體系的幾何組成情況。

2.2.1 兩剛片之間的聯(lián)結(jié)

圖2-7(a)表示用兩根不平行的鏈桿相聯(lián)結(jié)的剛片Ⅰ和剛片Ⅱ。設(shè)剛片Ⅱ固定不動(dòng)，則剛片Ⅰ的運(yùn)動(dòng)方式只能是繞AB與CD桿延長線的交點(diǎn)即相對轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心而轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)剛片Ⅰ運(yùn)動(dòng)時(shí)，其上的A點(diǎn)將沿與鏈桿AB垂直的方向運(yùn)動(dòng)，而C點(diǎn)將沿與鏈桿CD垂直的方向運(yùn)動(dòng)。因?yàn)檫@種轉(zhuǎn)動(dòng)只是瞬時(shí)的，在不同瞬時(shí)，O點(diǎn)在平面內(nèi)的位置將不同。由于兩根鏈桿的作用相當(dāng)于一個(gè)鉸的作用，此時(shí)這個(gè)鉸的位置是在鏈桿的延長線上，而且它的位置隨鏈桿的轉(zhuǎn)動(dòng)而改變，即虛鉸。

欲使剛片Ⅰ和剛片Ⅱ不能發(fā)生相對轉(zhuǎn)動(dòng)，需增加一根鏈桿，如圖2-7(b)所示。這樣，剛片Ⅰ繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，E點(diǎn)將沿與OE連線垂直的方向運(yùn)動(dòng)。但是從鏈桿EF來看，E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向必須與鏈桿EF垂直。由于鏈桿EF延長線不通過O點(diǎn)，所以E點(diǎn)的這種運(yùn)動(dòng)不可能發(fā)生，也就是鏈桿EF阻止了剛片Ⅰ和剛片Ⅱ的相對轉(zhuǎn)動(dòng)。因此，這樣組成的體系是幾何不變體系。

圖2-7 兩剛片組成規(guī)則

如果在剛片Ⅰ和剛片Ⅱ之間再增加一根鏈桿，如圖2-7(c)所示，顯然體系仍是幾何不變的，但從保障幾何不變性來看它是多余的。這種可以去掉而不影響體系幾何不變性的約束稱為多余約束。

由以上分析可得以下規(guī)則。

規(guī)則一：兩個(gè)剛片用不交于一點(diǎn)也不互相平行的三根鏈桿相聯(lián)結(jié)，則所組成的體系是幾何不變的，并且沒有多余約束。

如果兩根鏈桿AB和CD相交成為實(shí)鉸，如圖2-7(d)所示，顯然，它也是一個(gè)幾何不變體系，故規(guī)則一也可以表述為：兩個(gè)剛片用一個(gè)鉸和軸線不通過這個(gè)鉸的一根鏈桿相聯(lián)結(jié)，則所組成的體系也是幾何不變體系。

2.2.2 三剛片相互聯(lián)結(jié)

將三個(gè)剛片Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ用不在同一直線上的三個(gè)鉸兩兩相聯(lián)，即得三角形ABC，如圖2-8(a)所示。從幾何上看，它的幾何形狀是不會(huì)改變的。從運(yùn)動(dòng)上看，如將剛片Ⅰ固定不動(dòng)，則剛片Ⅱ只能繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，其上的C點(diǎn)必在半徑為AC的圓弧上運(yùn)動(dòng)；而剛片Ⅲ則只能繞B點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，其上的C點(diǎn)又必在半徑為BC的圓弧上運(yùn)動(dòng)。由于AB和BC是在C點(diǎn)用鉸聯(lián)結(jié)在一起的，C點(diǎn)不可能同時(shí)在兩個(gè)不同的圓弧上運(yùn)動(dòng)，因此剛片之間不可能發(fā)生相對運(yùn)動(dòng)，所以這樣組成的體系是幾何不變的。

圖2-8 三剛片組成規(guī)則

因?yàn)閮筛湕U的作用相當(dāng)于一個(gè)單鉸的作用，則將圖2-8(a)中的任一單鉸換為兩根鏈桿所構(gòu)成的虛鉸，如圖2-8(b)中的a、c，此時(shí)，三剛片用三個(gè)鉸(兩個(gè)虛鉸和一個(gè)實(shí)鉸)聯(lián)結(jié)，且三個(gè)鉸不在一條直線上，這樣組成的體系同樣為幾何不變的，而且無多余約束。

由以上分析可得出以下規(guī)則。

規(guī)則二：三個(gè)剛片用不在同一條直線上的三個(gè)鉸兩兩鉸聯(lián)，組成的體系是幾何不變的，并且沒有多余約束。

2.2.3 二元體的概念

圖2-9所示體系中Ⅰ為一剛片，從剛片上的A、B兩點(diǎn)出發(fā)，用不共線的兩根鏈桿1、鏈桿2在結(jié)點(diǎn)C相連。將鏈桿1、鏈桿2均視為剛片，則由規(guī)則二可知，該體系是幾何不變的。由于實(shí)際結(jié)構(gòu)的幾何組成中這種聯(lián)結(jié)方式應(yīng)用很多，為了便于分析，我們將這樣聯(lián)結(jié)的兩根連桿稱為二元體。二元體的特征是兩鏈桿用鉸相連，而另一端分別用鉸與剛片或體系相聯(lián)。根據(jù)二元體的組成特征可得出以下規(guī)則。

規(guī)則三：在一個(gè)剛片上增加一個(gè)二元體，仍為幾何不變體系。

由規(guī)則三不難得出以下推論：在一個(gè)體系上依次加入二元體，不會(huì)改變原體系的計(jì)算自由度，也不影響原體系的幾何不變性和可變性。反之，若在已知體系上依次排除二元體，也不會(huì)改變原體系的計(jì)算自由度、幾何不變性或可變性。

例如分析圖2-10所示桁架時(shí)，由規(guī)則二可知，任選一鉸結(jié)三角形都是幾何不變體系，并以此為新的剛片，采用增加二元體的方式分析。例如取新剛片AHC，增加一個(gè)二元體得結(jié)點(diǎn)Ⅰ，從而得到幾何不變體系A(chǔ)HIC，再以其為基礎(chǔ)，增加一個(gè)二元體得結(jié)點(diǎn)D，...，如此依次增添二元體而組成該桁架，故知它是一個(gè)幾何不變體系，且無多余約束。

此外，也可以反過來，用拆除二元體的方法來分析。因?yàn)閺囊粋€(gè)體系拆除一個(gè)二元體后，所剩下的部分若是幾何不變的，則原來的體系必定也是幾何不變的。現(xiàn)從結(jié)點(diǎn)B開始拆除一個(gè)二元體，然后依次拆除結(jié)點(diǎn)L，G，K，...，剩下鉸結(jié)三角形AHC，它是幾何不變的，故知原體系亦為幾何不變的。

圖2-9 二元體的概念

圖2-10 桁架

當(dāng)然，若去掉二元體后所剩下的部分是幾何可變的，則原體系必定也是幾何可變的。

綜上所述，可以將規(guī)則三進(jìn)一步闡述為：在一個(gè)體系上增加或拆除二元體，不會(huì)改變原有體系的幾何組成性質(zhì)。