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及時(shí)部分初中數(shù)學(xué)知識(shí)

及時(shí)節(jié)數(shù)與式

一、實(shí)數(shù)的相關(guān)概念

實(shí)數(shù)的分類如下圖：

當(dāng)然還可以分為正實(shí)數(shù)、零、負(fù)實(shí)數(shù)。有理數(shù)還可以分為正有理數(shù)、零、負(fù)有理數(shù)。

(一)數(shù)軸

數(shù)軸是研究實(shí)數(shù)的重要工具，是在數(shù)與式的學(xué)習(xí)中實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的載體。數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度。實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的。

(二)值

值的代數(shù)意義：|a|=a(a>0)0(a=0)-a(a

值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的值是這個(gè)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。

(三)相反數(shù)、倒數(shù)

若a、b兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，則a+b=0。實(shí)數(shù)a的相反數(shù)記為-a。非零實(shí)數(shù)a的倒數(shù)記為，0沒有倒數(shù)。若m、n兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，則m·n=1。

二、代數(shù)式

(一)代數(shù)式的分類

用加、減、乘、除、乘方和開方等運(yùn)算符號(hào)連接數(shù)和字母而成的式子稱為代數(shù)式，單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或者一個(gè)字母也是代數(shù)式。代數(shù)式的分類如下：

1.整式

整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加、減、乘、除四種運(yùn)算，但在整式中除數(shù)不能含有字母。單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式。

2.分式

形如，A，B是整式，B中含有未知數(shù)且B不等于0的代數(shù)式叫作分式。其中A叫作分式的分子，B叫作分式的分母。

3.無理式

含有關(guān)于字母開方運(yùn)算的代數(shù)式，叫作無理式。如：。

4.方根與根式

數(shù)a的n次方根是指求一個(gè)數(shù)，它的n次方恰好等于a。a的n次方根記為(n為大于1的自然數(shù))。作為代數(shù)式，稱為根式，n稱為根指數(shù)，a稱為根底數(shù)。在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，負(fù)數(shù)不能開偶次方，一個(gè)正數(shù)開偶次方有兩個(gè)方根，其值相同，符號(hào)相反。

5.二次根式

式子(a≥0)叫二次根式。(a≥0)是一個(gè)非負(fù)數(shù)。其中，a叫作被開方數(shù)。

(二)代數(shù)式有意義的條件

1.分式有意義的條件是分母不為零；

2.二次根式有意義的條件是被開方數(shù)(式)非負(fù)；

3.由實(shí)際應(yīng)用中得到的代數(shù)式還要符合實(shí)際意義。

(三)代數(shù)式的運(yùn)算

1.整式的加、減、乘、除運(yùn)算及添括號(hào)、去括號(hào)法則。

2.分式的加、減、乘、除運(yùn)算及分式的乘方。

3.二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算及二次根式的分母有理化。

4.代數(shù)式的恒等變形

添括號(hào)、去括號(hào)、拆項(xiàng)是代數(shù)式恒等變形的常用方法，乘法公式、因式分解是代數(shù)式恒等變形的工具。待定系數(shù)法、配方法也都可進(jìn)行代數(shù)式的恒等變形。

5.代數(shù)式的化簡(jiǎn)求值

含有值的代數(shù)式的化簡(jiǎn)，通常可利用數(shù)軸的直觀性；整式的化簡(jiǎn)求值常常要靈活運(yùn)用配方法、換元法、整體代換思想和構(gòu)造思想；分式的化簡(jiǎn)求值一般可對(duì)分子、分母的多項(xiàng)式因式分解、約分，再運(yùn)用分式的性質(zhì)化簡(jiǎn)計(jì)算；二次根式的化簡(jiǎn)求值一般應(yīng)先考慮能否利用二次根式的性質(zhì)、配方法、乘法公式等化簡(jiǎn)計(jì)算。

[例題1]試用?琢+?茁，?琢-?茁表示2?琢和?茁。

[解析]解法1：2?琢=2?琢+(?茁-?茁)=(?琢+?茁)+(?琢-?茁)，

?茁=·2?茁=［2?茁+(?琢-?琢)］=［(?琢+?茁)-(?琢-?茁)］=(?琢+?茁)-(?琢-?茁)。

解法2：設(shè)2?琢=k1(?琢+?茁)+k2(?琢-?茁)=(k1+k2)?琢+(k1-k2)?茁，

比較等式兩邊的各項(xiàng)系數(shù)可得：k1+k2=2，k1-k2=0。

∴k1=1，k2=1，，∴2?琢=(?琢+?茁)+(?琢-?茁)。

設(shè)?茁=m1(?琢+?茁)+m2(?琢-?茁)=(m1+m2)?琢+(m1-m2)?茁，

比較等式兩邊的各項(xiàng)系數(shù)可得：m1+m2=0，m1-m2=1，

m1=，m2=-，∴?茁=(?琢+?茁)-(?琢-?茁)。

解法1是利用拆項(xiàng)、添加括號(hào)的方法進(jìn)行代數(shù)式的恒等變形，解法2是利用待定系數(shù)法進(jìn)行代數(shù)式的恒等變形。

[例題2]計(jì)算÷·。

[解析]原式=÷·

=··

=。

對(duì)分子、分母都是多項(xiàng)式的分式進(jìn)行乘除運(yùn)算時(shí)，一定要先將每個(gè)多項(xiàng)式分解因式，然后將除法統(tǒng)一成乘法，再進(jìn)行約分化簡(jiǎn)。

第二節(jié)方程與不等式

一、方程

方程是表示兩個(gè)數(shù)學(xué)式(如兩個(gè)數(shù)、函數(shù)、量、運(yùn)算)之間相等關(guān)系的一種等式。使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫作方程的解。

按照元與較高項(xiàng)次數(shù)的不同可以將方程分為幾元幾次方程，如：含有兩個(gè)未知數(shù)且較高項(xiàng)次數(shù)為一次的方程叫作二元一次方程。

(一)一元一次方程的解法

去分母：在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)(不含分母的項(xiàng)也要乘)；

去括號(hào)：先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，去大括號(hào)(記住如括號(hào)外有減號(hào)的話一定要變號(hào))；

移項(xiàng)：把含有未知數(shù)的項(xiàng)都移到方程的一邊，其他項(xiàng)都移到方程的另一邊，移項(xiàng)要變號(hào)；

合并同類項(xiàng)：把方程化成ax=b(a≠0)的形式；

系數(shù)化為1：在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a，得到方程的解x=。

(二)一元二次方程的解法

只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的較高次數(shù)是2，且較高次項(xiàng)系數(shù)不為0，這樣的方程叫一元二次方程，一般形式為ax2+bx+c=0(a≠0)，設(shè)其兩根為x1，x2，則x1+x2=-，x1x2=。一元二次方程的解法如下：

1.直接開平方法

用直接開平方法解形如(x-m)2=n2(n≥0)的方程，其解是x=m±n。它的特征是：左邊是一個(gè)關(guān)于未知數(shù)的平方數(shù)，右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)。符合這個(gè)特征的方程就可以利用直接開平方法。

2.配方法

用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一般步驟是：化二次項(xiàng)系數(shù)為1，即方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)；移項(xiàng)，使方程的左邊為二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng)；配方，即方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)值一半的平方；化方程為(x+m)2=n的形式；如果n≥0就可以用兩邊開平方來求出方程的解；如果n