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及時部分

數學學科知識

本教材的及時部分詳細講述要成為一名的高中數學教師所應具備的數學基礎知識，幫助考生建立完善的知識結構，系統地把握數學專業知識。

本部分共分為兩個模塊：高等數學基礎知識和高中數學學科知識。

在歷年考試中，本部分內容是考查的重點，其中高等數學基礎知識是考查的難點，常以選擇題、解答題等形式來考查?？忌趯W習該部分知識的時候，要注意多加練習，學以致用。

1.數列極限與函數極限的定義、求極限的方法。2.函數連續性的概念及性質。3.導數與微分的概念及應用，微積分基本定理的應用。4.定積分與不定積分的計算。

及時節極限

一、實數完備性基本定理

1.確界原理

確界原理：設S為非空數集。若S有上界，則S必有上確界；若S有下界，則S必有下確界。

2.單調有界定理

單調有界定理：在實數系中，有界的單調數列必有極限。

3.區間套定理

區間套定理：若an，bn是一個區間套，則在實數系中存在的一點?孜，使得?孜∈an，bn，n=1，2，…，且an=bn即an≤?孜≤bn，n=1，2，…

4.有限覆蓋定理

海涅－博雷爾(Heine－Borel)有限覆蓋定理：設H為閉區間a，b的任一(無限)開覆蓋，則從H中可選出有限個開區間來覆蓋a，b。

5.聚點定理

魏爾斯特拉斯(Weierstrass)聚點定理：實軸上的任一有界無限點集S至少有一個聚點。

6.柯西收斂準則

柯西(Cauchy)收斂準則：數列an收斂的充要條件是：對任意給定ε>0，存在N>0，使得當n，m>N時，有an－am<ε成立。

二、極限

(一)極限的定義

定義1：xn=A：?坌?著>0，?堝正整數N，當n>N時，有xn－A

若xn存在極限(有限數)，又稱xn收斂，否則稱xn發散。

定義2：f(x)=A：?坌?著>0，?堝正數X，當x>X時，有f(x)－A

類似可定義：f(x)=A，f(x)=A。

定義3：f(x)=A：?坌?著>0，?堝正數δ，當0

類似可定義f(x)當x→x0時右極限與左極限：

f(x0＋0)=f(x)=A，f(x0－0)=f(x)=A。

(二)極限的基本性質與兩個重要極限

1.數列極限的基本性質

性質1：(極限的不等式性質)設xn=a，yn=b，若a>b，則?堝N，當n>N時，xn>yn；若n>N時，xn≥yn，則a≥b。

性質2：(收斂數列的有界性)設xn收斂，則xn有界(即?堝常數M>0，xn≤M，n=1，2，…)。

2.函數極限的基本性質

性質1：(極限的不等式性質)設f(x)=A，g(x)=B，

若A>B，則?堝δ>0，當0g(x)；

若f(x)≥g(x)(0

[推論](極限的局部保號性)設f(x)=A，若A>0?圯?堝δ>0，當00；若f(x)≥0(0

性質2：(函數極限的局部有界性)設f(x)=A，則f(x)在x0的某空心鄰域U0(x0，δ)=x|00，M>0，使得0

3.兩個重要極限

=1，(1＋)x=e

((1＋x)=e，=1)

(三)求極限的方法

求極限的方法很多，以下結合例題介紹幾種常用的、簡單的求極限的方法。

1.利用變量替換法與兩個重要極限

1.[2016年下半年真題]極限的值是()。

A.0B.1

C.eD.e2

[答案]D。解析：=1＋===e2。

2.[2016年上半年真題]極限(1+)的值是()。

A.eB.1

C.D.0

[答案]A。解析：

方法一：(1+)=(1+)===e。

方法二：(1+)=e=e=e=e=e=e=e。

2.利用等價無窮小因子替換

若x→a時，無窮小?琢(x)～?琢(x)，β(x)～β(x)，(即=1，=1)，則=。(等式兩邊其中之一極限存在或為∞，則另一邊也是且相等)。

3.利用洛必達法則

4.分別求左右極限的函數極限

5.利用夾逼法

用夾逼定理求極限xn，就是要將數列xn放大與縮小成：zn≤xn≤yn，要想成功，必須是極限yn與zn會求且相等。

[2014年上半年真題]證明=1(a>0，a≠1)。

[解析]當a>1時，設=1＋hn(hn>0)那么有：a=(1＋hn)n=1＋nhn＋Ch＋…＋h≥nhn，?圯01，從而有=1，因==1，故=1；當a=1時，顯然有=1。綜上：當a>0時有=1。

第二節函數連續性

一、連續性概念

1.若f(x)=f(x0)，稱f(x)在x0連續。

2.若f(x)=f(x0)(f(x)=f(x0))，稱f(x)在x=x0右(左)連續。

(單雙側連續性的關系)f(x)在x0連續?圳f(x)在x0既左連續又右連續。

3.若f(x)在(a，b)內任一點均連續，稱f(x)在(a，b)內連續。

4.若f(x)在(a，b)連續，在x=a右連續，在x=b左連續，稱f(x)在［a，b］上連續。

二、函數連續性的判斷

1.(連續性的四則運算法則)設f(x)，g(x)在x0連續，則f(x)±g(x)，f(x)·g(x)，f(x)/g(x)(g(x0)≠0)在x0也連續。

2.(復合函數的連續性)設u=?漬(x)在x=x0連續，y=f(u)在u=u0(u0=?漬(x0))連續，則f(?漬(x))在x=x0連續。

3.(反函數的連續性)設y=f(x)在區間Ix上單調且連續，則反函數x=?漬(y)也在對應的區間Iy=y∣y=f(x)，x∈Ix上連續且有相同的單調性。

三、連續函數的性質

性質1：設f(x)在x=x0連續，f(x0)>0，則?堝δ>0，當x－x0<δ時，f(x)>0。

性質2：(連續函數介值定理(中間值定理))設f(x)在a，b上連續，f(a)≠f(b)，則對f(a)與f(b)之間的任何數η，則必定?堝c(a

設f(x)在a，b上連續，又f(a)與f(b)異號，則?堝c∈(a，b)，使得f(c)=0(c稱為f(x)的零點)。

性質3：(有界閉區間上連續函數的有界性)設f(x)在a，b上連續，則f(x)在a，b有界，即存在常數M>0，對任意x∈a，b，使得f(x)≤M。

性質4：(有界閉區間上連續函數存在較大、最小值)設f(x)在a，b上連續，則在a，b上必存在x1，x2，使得

f(x1)=f(x)(即?坌x∈a，b，f(x)≤f(x1))，

f(x2)=f(x)(即?坌x∈a，b，f(x)≥f(x2))。

四、一致連續性

1.一致連續的定義：設f為定義在區間I上的函數，若對任給的ε>0，存在δ=δ(ε)>0，使得對任何x′，x′′∈I，只要|x′-x′′|

|f(x′)-f(x′′)|

則稱函數f在區間I上一致連續。

直觀地說，f在I上一致連續意味著：不論兩點x′與x′′在I中處于什么位置，只要它們的距離小于δ，就可使|f(x′)-f(x′′)|

2.一致連續性定理：若函數f在閉區間[a，b]上連續，則f在[a，b]上一致連續性。