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無言的宇宙:隱藏在24個數(shù)學(xué)公式背后的故事》

序

我希望，本書能揭開那圍繞著數(shù)學(xué)和方程的神秘莫測的面紗，讓那些對此有興趣的人得以窺其真容。

首先讓我簡略討論幾個有關(guān)術(shù)語。"方程""公式"和"恒等式"這幾個詞都用于數(shù)學(xué)中，并帶有略微不同的意義。"公式"的實用意義略強(qiáng)，人們運用公式解方程。"恒等式"的意義不那么深刻，隱含著它們可以通過純符號操作加以證明的意思。但我在本書內(nèi)不會刻意強(qiáng)調(diào)這些詞之間的差別。

你也經(jīng)常會在本書中看到"公理""定理""假說"和"猜想"這些詞。"公理"是對數(shù)學(xué)家們認(rèn)為未經(jīng)證實的事實的陳述。他們這樣認(rèn)為，是因為他們或者確實相信這一公理是普適的真理，或者他們是為方便起見而以此作為討論的出發(fā)點。

"定理"是數(shù)學(xué)真相的金科玉律，它是根據(jù)特定公理體系正式推導(dǎo)所得的陳述。它不受實驗誤差或認(rèn)知方式的影響……一例外的是，公理系統(tǒng)本身可能被時代所淘汰。數(shù)學(xué)確實會發(fā)生革命，這些革命通常不是因為定理不正確而發(fā)生的，而是因為人們確認(rèn)，這些定理產(chǎn)生于其上的基礎(chǔ)過于嚴(yán)格或過于寬松，或過于不，或與實際情況不夠吻合。

"假說"與"猜想"是同義詞，它們是尚未證明的數(shù)學(xué)陳述，但有支持這些陳述的實質(zhì)性證據(jù)。這些證據(jù)可能來自類似但較低層次的定理或經(jīng)驗觀察或計算機(jī)實驗。無論如何，數(shù)學(xué)中的事實永遠(yuǎn)不能用經(jīng)驗證據(jù)、表面上講得通的道理或統(tǒng)計測試來證明。這是區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)和實證科學(xué)包括物理、生物和化學(xué)的原則。

不可避免地，哪些方程入選與個人品味和喜好有關(guān)。有些方程幾乎是篤定入選的，如愛因斯坦的質(zhì)能方程E=mc2，這或許是所有方程中有名的。其他方程則除了懂行的讀者以外大家都不熟悉，如"連續(xù)統(tǒng)假說"。以下是我為確定某方程是否偉大所采用的一些標(biāo)準(zhǔn)。

1.令人驚訝。一個偉大的方程能夠告訴我們一些過去不了解的東西。它看上去可能就像煉金術(shù)士的一份杰作；它能把一個量轉(zhuǎn)化成另一個開始看上去與之風(fēng)馬牛不相及的量，并對每一步都解釋得合情合理。這種魔力僅僅存在于能夠發(fā)現(xiàn)其中聯(lián)系的人的大腦之中。

2.簡潔。一個偉大的方程具有日本書法般的簡樸美感，囊括其中的只有其核心精華。它所敘述的是簡單而作用重大的事物。

3.能夠產(chǎn)生重大效果。我放棄了幾個我認(rèn)為優(yōu)美而又發(fā)人深省的方程，因為它們終只能進(jìn)入寥寥幾位鑒賞大家的法眼。讓人留下深刻印象的方程是那些讓數(shù)學(xué)發(fā)生了革命性變化、改變了我們對世界的看法或者改變了我們物質(zhì)生活的方程。

4.具有普遍意義。數(shù)學(xué)的大吸引力之一是：一個今天證明為真的方程將永遠(yuǎn)如此，它不受時尚的虛妄影響，它放之四海而皆準(zhǔn)，它不受審查刪改或者立法控制。

本書呈獻(xiàn)的一些方程并非數(shù)學(xué)定理，而是物理"定律"或理論，如麥斯韋方程。物理學(xué)理論通常是通過數(shù)據(jù)歸納或"科學(xué)方法"證實的，而不是從一套公理推導(dǎo)而來的。與數(shù)學(xué)定理不同，它們需要經(jīng)過經(jīng)驗證據(jù)和統(tǒng)計檢測確認(rèn)，而且有時候，更為確的實驗會證明它們并非。

事實上，數(shù)學(xué)具有兩重性。首先，它是因其本身而存在的一個知識體系；其次，它是表達(dá)宇宙知識的一種語言。如果你僅僅把方程視為傳遞科學(xué)信息的一種工具，那你就看不到數(shù)學(xué)解除我們頭腦束縛的方式；如果你僅僅把方程視為智慧的結(jié)晶，那你就看不到自然對我們求索"正確"問題的微妙指引。

19世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家利奧波德 羅內(nèi)曾說："上帝創(chuàng)造了整數(shù)，其他的都是人類的貢獻(xiàn)。"盡管我們并不接近清楚應(yīng)該在多大程度上接受他的這一名言，但在歷提出數(shù)學(xué)的神靈起源的絕非僅此一人。古代美索不達(dá)米亞人認(rèn)為，數(shù)學(xué)是書吏守護(hù)女神尼沙巴的禮物。公元前20世紀(jì)的一位書吏這樣寫道："尼沙巴是一位喜氣洋溢的女性、一位真誠的女性、一位女性書吏、一位通曉萬事的女性；她指引著我們，把著我們的手指在陶土上書寫。測量桿、閃光的測量員之線、碼尺和帶來智慧的寫字板，這些都是尼沙巴的慷慨贈品。"在巴比倫的數(shù)學(xué)寫字板上，只有當(dāng)問題解答者在答案結(jié)尾處寫下"贊美尼沙巴！"時，該問題才算解答完畢。

古代國人認(rèn)為，數(shù)學(xué)的創(chuàng)始人是伏羲，傳說中國的位皇帝。人們經(jīng)常把他描繪為手拿一把矩尺的人。3世紀(jì)的數(shù)學(xué)家劉徽寫道："遠(yuǎn)古時代，伏羲創(chuàng)造了能與神靈溝通的八卦。"他還說，伏羲"發(fā)明了管控六十四卦變化的九九算法。""八卦"和"六十四卦"是國書法的基本單位，因此，這基本上等同于將文字的發(fā)明歸功于伏羲；而"九九算法"指的是乘法表。于是，數(shù)學(xué)并不僅僅是神靈的啟迪，而是與文字一起由神靈發(fā)明的。

在這些說法中，我們已經(jīng)可以認(rèn)出從那時起便源遠(yuǎn)流長地發(fā)展著的三大數(shù)學(xué)支流。大支流為算術(shù)或代數(shù)，是數(shù)量的科學(xué)；第二大支流為幾何，是形體的科學(xué)；第三大支流為應(yīng)用數(shù)學(xué)，是將數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為解決工程、物理學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)實際問題的手段的科學(xué)。

并未明顯地表現(xiàn)在以上引文中的是第四大支流——無限的科學(xué)，即對無限大與無限小數(shù)量的分析，它對于理解任何連續(xù)運動或變化的過程來說是至關(guān)重要的。數(shù)學(xué)家簡單地稱這一分支為"分析"，盡管這個詞在數(shù)學(xué)以外的世界中具有相當(dāng)不同的含義。

由此，我認(rèn)為數(shù)學(xué)的四個主要支流是代數(shù)、幾何、應(yīng)用數(shù)學(xué)和分析。以上四者全都相互交融，并以為奇妙的方式相輔相成；而見證它們之間的相互作用，是作為數(shù)學(xué)家的一大幸事。差不多每個數(shù)學(xué)家都發(fā)現(xiàn)，自己受到這四大支流之一的吸引強(qiáng)于其他支流，但這一學(xué)科的美好與強(qiáng)大無疑來自于所有四大分支。因此，本書四個部分中的每一個都有一個貫穿始終的主題或者說"故事情節(jié)"，它們與千百年來這四大分支的進(jìn)化息息相關(guān)。