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第3章動(dòng)量與角動(dòng)量第2章講解了牛頓第二定律，主要是用加速度表示的式(2.3)的形式。該式表示了力和受力物體的加速度的關(guān)系，那是一個(gè)瞬時(shí)關(guān)系，即與力作用的同時(shí)物體所獲得的加速度和此力的關(guān)系。實(shí)際上，力對(duì)物體的作用總要延續(xù)一段或長或短的時(shí)間。在很多問題中，在這段時(shí)間內(nèi)，力的變化復(fù)雜，難于細(xì)究，而我們又往往只關(guān)心在這段時(shí)間內(nèi)力的作用的總效果。這時(shí)我們將直接利用式(2.2)表示的牛頓第二定律形式，而把它改寫為微分形式并稱為動(dòng)量定理。本章首先介紹動(dòng)量定理，接著把這一定理應(yīng)用于質(zhì)點(diǎn)系，導(dǎo)出了一條重要的守恒定律——動(dòng)量守恒定律。然后對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系，引入了質(zhì)心的概念，并說明了外力和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的關(guān)系。后面幾節(jié)介紹了和動(dòng)量概念相聯(lián)系的描述物體轉(zhuǎn)動(dòng)特征的重要物理量——角動(dòng)量，在牛頓第二定律的基礎(chǔ)上導(dǎo)出了角動(dòng)量變化率和外力矩的關(guān)系——角動(dòng)量定理，并進(jìn)一步導(dǎo)出了另一條重要的守恒定律——角動(dòng)量守恒定律。3.1沖量與動(dòng)量定理把牛頓第二定律公式(2.2)寫成微分形式，即Fdt=dp(3.1)式中乘積Fdt叫做在dt時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所受合外力的沖量。此式表明在dt時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所受合外力的沖量等于在同一時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量的增量。這一表示在一段時(shí)間內(nèi)，外力作用的總效果的關(guān)系式叫做動(dòng)量定理。如果將式(3.1)對(duì)t0到t′這段有間積分，則有∫t′t0Fdt=∫p′p0dp=p′-p0(3.2)左側(cè)積分表示在t0到t′這段時(shí)間內(nèi)合外力的沖量，以I表示此沖量，即I=∫t′t0Fdt則式(3.2)可寫成I=p′-p0(3.3)式(3.2)或式(3.3)是動(dòng)量定理的積分形式，它表明質(zhì)點(diǎn)在t0到t′這段時(shí)間內(nèi)所受的合外力的沖量等于質(zhì)點(diǎn)在同一時(shí)間內(nèi)的動(dòng)量的增量。值得注意的是，要產(chǎn)生同樣的動(dòng)量增量，力大力小都可以: 力大，時(shí)間可短些；力小，時(shí)間需長些。只要外力的沖量一樣，就產(chǎn)生同樣的動(dòng)量增量。第3章動(dòng)量與角動(dòng)量3.1沖量與動(dòng)量定理動(dòng)量定理常用于碰撞過程，碰撞一般泛指物體間相互作用時(shí)間很短的過程。在這一過程中，相互作用力往往很大而且隨時(shí)間改變。這種力通常叫沖力。例如，球拍反擊乒乓球的力，兩汽車相撞時(shí)的相互撞擊的力都是沖力。圖3.1是清華大學(xué)汽車碰撞實(shí)驗(yàn)室做汽車撞擊固定壁的實(shí)驗(yàn)照片與相應(yīng)的沖力的大小隨時(shí)間的變化曲線。圖3.1汽車撞擊固定壁實(shí)驗(yàn)中汽車受壁的沖力 (a) 實(shí)驗(yàn)照片； (b) 沖力時(shí)間曲線對(duì)于短時(shí)間Δt內(nèi)沖力的作用，常常把式(3.2)改寫成Δt=ΔP(3.4)式中是平均沖力，即沖力對(duì)時(shí)間的平均值。平均沖力只是根據(jù)物體動(dòng)量的變化計(jì)算出的平均值，它和實(shí)際的沖力的極大值可能有較大的差別，因此它不足以說明碰撞所可能引起的破壞性。例3.1汽車碰撞實(shí)驗(yàn)。在一次碰撞實(shí)驗(yàn)中，一質(zhì)量為1200kg的汽車垂直沖向一固定壁，碰撞前速率為15.0m/s，碰撞后以1.50m/s的速率退回，碰撞時(shí)間為0.120s。試求： (1)汽車受壁的沖量； (2)汽車受壁的平均沖力。解以汽車碰撞前的速度方向?yàn)檎较颍瑒t碰撞前汽車的速度v=15.0m/s，碰撞后汽車的速度v′=-1.50m/s，而汽車質(zhì)量m=1200kg。(1) 由動(dòng)量定理知汽車受壁的沖量為I=p′-p=mv′-mv=1200×(-1.50)-1200×15.0=-1.98×104(N s)(2) 由于碰撞時(shí)間Δt=0.120s，所以汽車受壁的平均沖力為=IΔt=-1.98×1040.120=-165 (kN)上兩個(gè)結(jié)果的負(fù)號(hào)表明汽車所受壁的沖量和平均沖力的方向都和汽車碰前的速度方向相反。平均沖力的大小為165kN，約為汽車本身重量的14倍，瞬時(shí)較大沖力還要比這大得多。例3.2棒擊壘球。一個(gè)質(zhì)量m=140 g的壘球以v=40m/s的速率沿水平方向飛向擊球手，被擊后它以相同速率沿θ=60°的仰角飛出，求壘球受棒的平均打擊力。設(shè)球和棒的接觸時(shí)間Δt=1.2ms。解本題可用式(3.4)求解。由于該式是矢量式，所以可以用分量式求解，也可直接用矢量關(guān)系求解。下面分別給出兩種解法。(1) 用分量式求解。已知v1=v2=v,選如圖3.2所示的坐標(biāo)系，利用式(3.4)的分量式，由于v1x=-v,v2x=vcosθ，可得壘球受棒的平均圖3.2例3.2解法(1)圖示打擊力的x方向分量為x=ΔpxΔt=mv2x-mv1xΔt=mvcosθ-m(-v)Δt=0.14×40×(cos60° 1)1.2×10-3=7.0×103(N)又由于v1y=0,v2y=vsinθ，可得此平均打擊力的y方向分量為Fy=ΔpyΔt=mv2y-mv1yΔt=mvsinθΔt=0.14×40×0.8661.2×10-3=4.0×103(N)球受棒的平均打擊力的大小為F=F2x F2y=103×7.02 4.02=8.1×103(N)以α表示此力與水平方向的夾角，則tanα=FyFx=4.0×1037.0×103=0.57圖3.3例3.2解法(2)圖示由此得α=30°(2) 直接用矢量公式(3.4)求解。按式(3.4)m?瘙經(jīng)2,m?瘙經(jīng)1以及Δt形成如圖3.3中的矢量三角形，其中mv2=mv1=mv。由等腰三角形可知,與水平面的夾角α=θ/2=30°，且Δt=2mvcosα，于是F=2mvcosαΔt=2×0.14×40×cosα1.2×10-3=8.1×103(N)注意，此打擊力約為壘球自重的5900倍!例3.3火車運(yùn)煤。一輛裝煤車以v=3 m/s的速率從煤斗下面通過(圖3.4)，每秒鐘落入車廂的煤為Δm=500 kg。如果使車廂的速率保持不變，應(yīng)用多大的牽引力拉車廂?(車廂與鋼軌間的摩擦忽略不計(jì)。)解先考慮煤落入車廂后運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變。如圖3.4所示，以dm表示在dt時(shí)間內(nèi)落入車廂的煤的質(zhì)量。它在車廂對(duì)它的力f帶動(dòng)下在dt時(shí)間內(nèi)沿x方向的速率由零增加到與車廂速率v相同，而動(dòng)量由0增加到dm v。由動(dòng)量定理式(3.1)得，對(duì)dm在x方向，應(yīng)有圖3.4煤dm落入車廂被帶走fdt=dp=dm v(3.5)對(duì)于車廂，在此dt時(shí)間內(nèi)，它受到水平拉力F和煤dm對(duì)它的反作用f′的作用。此二力的合力沿x方向，為F-f′。由于車廂速度不變，所以動(dòng)量也不變，式(3.1)給出(F-f′)dt=0(3.6)由牛頓第三定律f′=f(3.7)聯(lián)立解式(3.5),式(3.6)和式(3.7)可得F=dmdt v以dm/dt=500kg/s，v=3m/s代入得F=500×3=1.5×103(N)3.2動(dòng)量守恒定律在一個(gè)問題中，如果我們考慮的對(duì)象包括幾個(gè)物體，則它們總體上常被稱為一個(gè)物體系統(tǒng)或簡稱為系統(tǒng)。系統(tǒng)外的其他物體統(tǒng)稱為外界。系統(tǒng)內(nèi)各物體間的相互作用力稱為內(nèi)力，外界物體對(duì)系統(tǒng)內(nèi)任意一物體的作用力稱為外力。例如，把地球與月球看做一個(gè)系統(tǒng)，則它們之間的相互作用力稱為內(nèi)力，而系統(tǒng)外的物體如太陽以及其他行星對(duì)地球或月球的引力都是外力。本節(jié)討論一個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)量變化的規(guī)律。3.2動(dòng)量守恒定律先討論由兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)。設(shè)這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量分別為m1,m2。它們除分別受到相互作用力(內(nèi)力)f和f′外，還受到系統(tǒng)外其他物體圖3.5兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的系統(tǒng)的作用力(外力)F1,F2,如圖3.5所示。分別對(duì)兩質(zhì)點(diǎn)寫出動(dòng)量定理式(3.1),得(F1 f)dt=dp1,(F2 f′)dt=dp2將這二式相加，可以得(F1 F2 f f′)dt=dp1 dp2由于系統(tǒng)內(nèi)力是一對(duì)作用力和反作用力，根據(jù)牛頓第三定律，得f=-f′或f f′=0，因此上式給出(F1 F2)dt=d(p1 p2)如果系統(tǒng)包含兩個(gè)以上，例如i個(gè)質(zhì)點(diǎn)，可仿照上述步驟對(duì)各個(gè)質(zhì)點(diǎn)寫出牛頓定律公式，再相加。由于系統(tǒng)的各個(gè)內(nèi)力總是以作用力和反作用力的形式成對(duì)出現(xiàn)的，所以它們的矢量總和等于零。因此，一般地又可得到∑iFidt=d∑ipi(3.8)其中∑iFi為系統(tǒng)受的合外力，∑ipi為系統(tǒng)的總動(dòng)量。式(3.8)表明，系統(tǒng)的總動(dòng)量隨時(shí)間的變化率等于該系統(tǒng)所受的合外力。內(nèi)力能使系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量發(fā)生變化，但它們對(duì)系統(tǒng)的總動(dòng)量沒有影響。(注意： “合外力”和“總動(dòng)量”都是矢量和！)如果在式(3.5)中，∑iFi=0,立即可以得到d∑ipi=0,或∑ipi=∑imi?瘙經(jīng)i=常矢量∑iFi=0(3.9)這就是說當(dāng)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力為零時(shí)，這一質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量就保持不變。這一結(jié)論叫做動(dòng)量守恒定律。一個(gè)不受外界影響的系統(tǒng)，常被稱為孤立系統(tǒng)。一個(gè)孤立系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過程中，其總動(dòng)量一定保持不變。這也是動(dòng)量守恒定律的一種表述形式。應(yīng)用動(dòng)量守恒定律分析解決問題時(shí)，應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)。(1) 系統(tǒng)動(dòng)量守恒的條件是合外力為零，即∑iFi=0。但在外力比內(nèi)力小得多的情況下，外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量變化影響甚小，這時(shí)可以認(rèn)為近似滿足守恒條件，也就可以近似地應(yīng)用動(dòng)量守恒定律。例如兩物體的碰撞過程，由于相互撞擊的內(nèi)力往往很大，所以此時(shí)即使有摩擦力或重力等外力，也常可忽略它們，而認(rèn)為系統(tǒng)的總動(dòng)量守恒。又如爆炸過程也屬于內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力的過程，也可以認(rèn)為在此過程中系統(tǒng)的總動(dòng)量守恒。(2) 動(dòng)量守恒表示式(3.9)是矢量關(guān)系式。在實(shí)際問題中，常應(yīng)用其分量式,即如果系統(tǒng)沿某一方向所受的合外力為零，則該系統(tǒng)沿此方向的總動(dòng)量的分量守恒。例如，一個(gè)物體在空中爆炸后碎裂成幾塊，在忽略空氣阻力的情況下，這些碎塊受到的外力只有豎直向下的重力，因此它們的總動(dòng)量在水平方向的分量是守恒的。(3) 由于我們是用牛頓定律導(dǎo)出動(dòng)量守恒定律的，所以它只適用于慣性系。以上我們從牛頓定律出發(fā)導(dǎo)出了以式(3.9)表示的動(dòng)量守恒定律。應(yīng)該指出，更普遍的動(dòng)量守恒定律并不依靠牛頓定律。動(dòng)量概念不僅適用于以速度?瘙經(jīng)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)或粒子，而且也適用于電磁場，只是對(duì)于后者，其動(dòng)量不再能用m?瘙經(jīng)這樣的形式表示。考慮包括電磁場在內(nèi)的系統(tǒng)所發(fā)生的過程時(shí)，其總動(dòng)量必須也把電磁場的動(dòng)量計(jì)算在內(nèi)。不但對(duì)可以用作用力和反作用力描述其相互作用的質(zhì)點(diǎn)系所發(fā)生的過程，動(dòng)量守恒定律成立；而且，大量實(shí)驗(yàn)證明，對(duì)其內(nèi)部的相互作用不能用力的概念描述的系統(tǒng)所發(fā)生的過程，如光子和電子的碰撞，光子轉(zhuǎn)化為電子，電子轉(zhuǎn)化為光子等過程，只要系統(tǒng)不受外界影響，它們的動(dòng)量都是守恒的。動(dòng)量守恒定律實(shí)際上是關(guān)于自然界的一切物理過程的一條最基本的定律。例3.4沖擊擺。如圖3.6所示，一質(zhì)量為M的物體被靜止懸掛著，今有一質(zhì)量為m的子彈沿水平方向以速度?瘙經(jīng)射中物體并停留在其中。求子彈剛停在物體內(nèi)時(shí)物體的速度。