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"實(shí)驗(yàn)一二維抽樣定理

一 的

通過計(jì)算機(jī)仿真掌握二維抽樣定理(惠特克 香農(nóng)抽樣定理，Whittaker Shanno samplin theorem)，包括帶限函數(shù)的定義?連續(xù)函數(shù)的離散化(抽樣過程)，以及利用抽樣函數(shù)重構(gòu)原函數(shù)的過程和還原條件等. 二 理

隨時(shí)間或空間連續(xù)變化的物理量轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號(hào)后，不再是隨時(shí)間或空間連續(xù)變化的物理量，而是一系列離散分布的抽樣值陣列.如果一個(gè)物理量可以用函數(shù)g(x，y)表示，那么該物理量的一系列離散分布的抽樣需要滿足什么條件才能重構(gòu)原函數(shù)g(x，y)呢 這個(gè)答案最早由Whittaker給出，Shannon又將它用于信息論研究，即所謂的惠特克 香農(nóng)抽樣定理.圖1 1是連續(xù)函數(shù)的抽樣及重構(gòu)過程示意圖.

圖1 1連續(xù)函數(shù)的抽樣及重構(gòu)

Whittaker和Shannon認(rèn)為，如果抽樣點(diǎn)取得彼此非常靠近，就可以認(rèn)為這些抽樣數(shù)據(jù)是原函數(shù)的表示.對(duì)于帶限函數(shù)只要抽樣點(diǎn)之間的間隔不大于某個(gè)上限，就可以地重建原函數(shù).

所謂帶限函數(shù)(band limite functio )，是指這類函數(shù)的傅里葉變換只在頻率空間的有限區(qū)域R上不為零，圖1 2給出了一個(gè)典型的帶限函數(shù)在空域及頻域的分布，抽樣定理適用于帶限函數(shù).

圖1 2帶限函數(shù)在空域及頻域的分布

考慮二維函數(shù)g(x y)在矩形格點(diǎn)上的抽樣，抽樣函數(shù)gs(x y)定義為

gs(x，y)=combxX，yYg(x，y)(1 1

式中comb為梳狀函數(shù).抽樣函數(shù)由δ函數(shù)陣列給出，各個(gè)δ函數(shù)在x方向和y方向上的間隔分別為X和Y.二維函數(shù)的抽樣過程見圖1 3.

圖1 3二維函數(shù)的抽樣過程

設(shè)x和y方向上的頻率坐標(biāo)為u和v，則gs(x y)的頻譜Gs(u v)可以從函數(shù)comb(x/X，y/Y)的變換式與函數(shù)g(x，y)的變換式的卷積給出.因?yàn)閷?duì)式(1 1)兩邊同時(shí)作傅里葉變換有

圖1 4函數(shù)及其頻譜

假如函數(shù)g(x y)是帶限函數(shù)，它的頻譜Gs只在頻率空間(u v)的有限區(qū)域R上不為零 抽樣函數(shù)的頻譜不為零的區(qū)域可由在頻率平面內(nèi)的每一個(gè)(n/X，m/Y)點(diǎn)的周圍劃出區(qū)域R來得到.如果X和Y足夠小，則1/X和1/Y的間隔就會(huì)足夠大，以保障相鄰的區(qū)域不會(huì)重疊.相關(guān)函數(shù)及其頻譜如圖1 4所示.

為了確定抽樣點(diǎn)之間的較大允許間隔，令2BX和2BY分別表示圍住區(qū)域R的最小矩形沿u方向和v方向上的寬度，如果抽樣點(diǎn)陣的間隔滿足

X≤12BX，Y≤12BY(1 6

可保障頻譜區(qū)域分開而不混頻，原函數(shù)可恢復(fù)，1/(2BX)和1/(2BY)為抽樣點(diǎn)陣在u方向和v方向上允許的較大間隔.

用頻域中寬度2BX和2BY的位于原點(diǎn)的矩形函數(shù)作為濾波函數(shù)

H(u，v)=rectu2BXrectv2BY(1 7

讓抽樣函數(shù)gs(x y)的頻譜Gs(u v)通過濾波器便能地復(fù)原G(u，v)，如圖1 5所示.

G(u，v)=Gs(u，v)H(u，v)(1 8

圖1 5從抽樣函數(shù)的頻譜恢復(fù)原函數(shù)的頻譜

將G(u，v)=Gs(u，v)H(u，v)對(duì)應(yīng)到空域，有

g(x，y)=gs(x，y)h(x，y)(1 9

式中

gs(x，y)=combxXcombyYg(x，y

=XY∑∞n=-∞∑∞m=-∞g(nX，mY)δ(x-nX)δ(y-mY)(1 10

而且(其中"F-1{}"或"iF{}"表示作逆傅里葉變換

h(x，y)=F-1rectu2BXrectv2BY=4BXBYsinc(2BXx)sinc(2BYy)(1 11

因此

g(x，y)=4BXBYXY∑∞n=-∞∑∞m=-∞g(nX，mY)sinc[2BX(x-nX)]sinc[2BY(y-mY)](1 12

當(dāng)抽樣間隔取較大允許抽樣間隔，即

X=12BX，Y=12BY(1 13

最終得到

g(x，y)=∑∞n=-∞∑∞m=-∞g[n/(2BX)，m/(2BY)]sinc{2BX[x-n/(2BX)]}

sinc{2BY[y-m/(2BY)]}(1 14

上式的結(jié)果稱為Whittaker Shannon抽樣定理.它表明，對(duì)帶限函數(shù)在一個(gè)間隔合適的矩形陣列上的抽樣值，在每一個(gè)抽樣點(diǎn)上插入一個(gè)由sinc函數(shù)的乘積構(gòu)成的插值函數(shù)，其權(quán)重為相應(yīng)點(diǎn)上g(x，y)的抽樣值，就可以地復(fù)原原函數(shù).

圖1 6用sinc函數(shù)和抽樣函數(shù)重構(gòu)原函數(shù)

如果帶限函數(shù)g(x，y 沿u方向和v方向上的帶寬分別為2BX和2BY，但抽樣時(shí)間隔X和Y過大不滿足式(1 6)，即X>1/(2BX)，Y>1/(2BY)，稱為欠采樣(under sampling).此時(shí)1/X和1/Y的間隔不夠大，頻域中函數(shù)頻譜不為零的區(qū)域在每一個(gè)(n/X，m/Y)點(diǎn)的周圍將會(huì)相互重疊，于是，假設(shè)仍然用矩形函數(shù)rect(u/U)rect(v/V)作為濾波函數(shù)，如果取U≥2BX，V≥2BY，將出現(xiàn)混頻，反之，如果取U<2BX，V<2BY，將容易出現(xiàn)高頻丟失，兩者都不能正確復(fù)原原函數(shù).圖1 6是按抽樣定理用sinc函數(shù)和抽樣函數(shù)重構(gòu)原函數(shù)的示意圖. 三 容

1 利用Matlab中自帶的peaks函數(shù)創(chuàng)建一個(gè)二維帶限函數(shù)，通過傅里葉變換觀察其頻譜，并測量其帶寬，理解"帶限"的含義;

2 構(gòu)建二維梳狀函數(shù)，并顯示其空間分布及頻譜，觀察改變梳狀函數(shù)的空間間隔——抽樣間隔后頻譜的變化;

3 利用梳狀函數(shù)對(duì)連續(xù)函數(shù)抽樣，得到該函數(shù)的抽樣函數(shù)，在空域觀察抽樣函數(shù);

4 觀察抽樣函數(shù)的頻譜，并與原連續(xù)函數(shù)的頻譜作比較，體會(huì)抽樣函數(shù)的頻譜?梳狀函數(shù)的頻譜，以及連續(xù)函數(shù)的頻譜之間的卷積關(guān)系; (5 改變抽樣間隔，或調(diào)整原連續(xù)函數(shù)的帶寬，觀察抽樣函數(shù)頻譜的混疊和分離現(xiàn)象，總結(jié)其規(guī)律;

6 根據(jù)抽樣間隔構(gòu)建二維矩函數(shù)濾波器，并對(duì)抽樣函數(shù)的頻譜完成濾波和逆傅里葉變換，觀察原連續(xù)函數(shù)的帶寬改變，或抽樣間隔改變后，利用抽樣函數(shù)重構(gòu)原函數(shù)的效果，體會(huì)欠采樣，繼而理解抽樣定理. 四 參考程序及實(shí)驗(yàn)結(jié)果

程序流程圖

參考程序](CX1_1

1 fxy=cos(peaks(256).2+pi)+1;%構(gòu)建連續(xù)帶限函數(shù)

2 [rr，cc]=size(fxy);%計(jì)算連續(xù)函數(shù)的大小

3 figure，imshow(fxy，[])%顯示連續(xù)函數(shù)

4 F=fftshift(fft2(fxy));%計(jì)算連續(xù)函數(shù)的頻譜

5 figure，plot(abs(F(round(rr/2)+1，:)))，%觀察帶寬

6 figure，plot(abs(F(:，round(cc/2)+1)))，%觀察帶寬

7 figure，surfl(abs(F))，shadin interp，colormap(gray);%頻譜3D圖

8 combxy=zeros(rr，cc);%開始生成comb函數(shù)

9 X=4;Y=4;%抽樣間隔

10 fo n=1:Y:rr

11 fo m=1:X:cc

12 combxy(n，m)=1;

13 end

14 end

15 figure，imshow(combxy，[]);%顯示comb函數(shù)

16 C=fftshift(fft2(combxy));%計(jì)算comb函數(shù)的頻譜

17 figure，surfl(abs(C))，shadin interp，colormap(gray);%頻譜3D圖

18 gxy=zeros(rr，cc);%開始生成抽樣函數(shù)

19 gxy=fxy.combxy;%生成抽樣函數(shù)

20 figure，imshow(gxy，[]);%顯示抽樣函數(shù)

21 Gs=fftshift(fft2(gxy));%計(jì)算抽樣函數(shù)的頻率

22 figure，surfl(abs(Gs))，shadin interp，colormap(gray);%頻譜3D圖

23 figure，plot(abs(Gs(:，cc/2+1)))，%觀察頻譜是否有重疊

24 By=round(rr/2/Y);Bx=round(cc/2/X);%二維矩函數(shù)濾波器的寬度

25 H=zeros(rr，cc);%開始生成二維矩函數(shù)濾波器

26 H(round(rr/2)+1-By:round(rr/2)+1+By-1，round(cc/2)+1-Bx:round(cc/2)+1+Bx-1)=1;

27 figure，imshow(H，[])%顯示二維矩函數(shù)濾波器

28 Gsyp=H.Gs;%濾波計(jì)算原函數(shù)頻譜

29 figure，surfl(abs(Gsyp))，shadin interp，colormap(gray);

30 gxyyp=XY.abs(ifft2(Gsyp));%逆傅里葉變換計(jì)算原函數(shù)

31 figure，imshow(gxyyp，[])%顯示還原的原函數(shù)

實(shí)驗(yàn)結(jié)果]

圖1 7帶限函數(shù)為cos(peaks(256)2+π)+1，X=Y=4個(gè)像素的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

在上面的實(shí)驗(yàn)中，從G(u，v)|v=0和G(u，v)|u=0兩條剖線圖可以看到:所選帶限函數(shù)cos[peaks(256)2+π]+1的帶寬2BX<64個(gè)像素，而2BY≈64個(gè)像素.因?yàn)閳D像大小為256256像素，根據(jù)快速傅里葉變換的性質(zhì)，傅里葉變換后較高空間頻率為256/2=12 m-1，頻域中相鄰兩個(gè)像素點(diǎn)的頻率差為128/128= m-1，換言之，所選帶限函數(shù)的帶寬2BX<6 m-1，而2BY≈6 m-1.按照抽樣定理，能夠重構(gòu)原函數(shù)的條件是抽樣間隔至少滿足X=1/(2BX)，Y=1/(2BY)，所以至少選擇抽樣間隔Y=1/(2BY)=256/64=4個(gè)像素，為了方便，取X=Y=4個(gè)像素.

從Gs(u v)的三維分布圖以及Gs(u v)|u=0剖線圖可以看到，頻域中函數(shù)頻譜不為零的區(qū)域在每一個(gè)(n/X，m/Y)點(diǎn)的周圍沒有相互重疊，所以用頻域中寬度為2BX和2BY的位于原點(diǎn)的矩形函數(shù)作為濾波函數(shù)，可以直接得到原函數(shù)的頻譜，再作逆傅里葉變換即得到基本沒有失真的原帶限函數(shù).

實(shí)驗(yàn)中傅里葉變換用離散傅里葉變換(快速傅里葉變換FFT)完成，若空域抽樣間隔分別為X和Y，則離散信號(hào)頻譜的幅度應(yīng)該是原函數(shù)頻譜的1/(XY)，為保障二維FFT計(jì)算幅度正確，必須讓用FFT計(jì)算得到的結(jié)果乘以XY，為此實(shí)驗(yàn)程序的第30行乘了XY.

如果加寬帶限函數(shù)的帶寬(方法是將所選帶限函數(shù)cos[peaks(256)2+π]+1中的2改為4，或更大的數(shù)值)，同時(shí)保持抽樣間隔X=Y=4個(gè)像素不變，重復(fù)前面的運(yùn)算，結(jié)果如下:

圖1 8帶限函數(shù)為cos[peaks(256)4+π]+1，X=Y=4個(gè)像素的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

此時(shí)從剖線圖 (u v |u=0可以看到帶限函數(shù)cos[peaks(256)4+π]+1的帶寬2BY≈128個(gè)像素，按照抽樣定理，能夠重構(gòu)原函數(shù)的條件是抽樣間隔至少滿足Y=1/(2BY)，所以至少選擇抽樣間隔Y=1/(2BY)=256/128=2個(gè)像素，但實(shí)驗(yàn)中仍然取X=Y=4個(gè)像素，不滿足抽樣定理，應(yīng)該發(fā)生欠采樣.

從Gs(u v)的三維分布圖以及Gs(u v |u=0剖線圖可以看到，頻域中函數(shù)頻譜不為零的區(qū)域在每一個(gè)(n/X，m/Y)點(diǎn)的周圍明顯相互重疊，所以用頻域中寬度為U=1/X=64和V=1/Y=64個(gè)像素的位于原點(diǎn)的矩形函數(shù)作為濾波函數(shù)，得到原函數(shù)的頻譜有明顯的高頻丟失，作逆傅里葉變換復(fù)原的原帶限函數(shù)當(dāng)然也有明顯失真.

如果仍選帶限函數(shù)為cos[peaks(256)4+π]+1，抽樣間隔也仍取X=Y=4個(gè)像素，但頻域中用寬度為2B =128和2BY=128個(gè)像素的位于原點(diǎn)的矩形函數(shù)作為濾波函數(shù)，可以看到得到的原函數(shù)頻譜有明顯的混頻，復(fù)原的原帶限函數(shù)有嚴(yán)重失真，結(jié)果如圖1 9所示.

圖1 9實(shí)驗(yàn)結(jié)果.帶限函數(shù)為cos[peaks(256)4+π]+1，X=Y=4個(gè)像素，頻域中用寬度為2BX=128和2BY=128個(gè)像素的矩形函數(shù)"