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第二十一章 物理模型法

方法點撥

物理學是一門研究物質普遍、基本的運動形式的自然科學。人們認為，所有的自然現象都不是孤立的，而是相互聯系、相互影響，并且這些聯系和影響往往是錯綜復雜的，使得物質的運動規律往往變得非常復雜。為了更加方便地研究問題，物理學上常常采用"簡化"或"理想化"的方法，對實際問題進行抽象處理，構建出理想化的"物理模型"。這種方法我們稱之為"物理模型法"。

"模型"一詞的意思是尺度、樣本、標準。錢學森給模型下了這樣的定義："模型就是通過對問題現象的分解，利用我們考慮得來的原理吸收一切主要的因素，略去一切不主要的因素，所創造出來的一幅圖畫……"。物理模型就是在一定條件下，考慮對實際物理現象來說是主要的、本質的因素，忽略次要的、非本質的因素，這種被抽象出來的物理現象雖不再是原來的實際的物理現象，但它能反映出原來實際現象發展變化的基本規律。例如：在研究物體的機械運動時，實際上的運動往往非常復雜，不可能找到理想的作勻速直線運動、勻變速直線運動的物體，但我們能找到一些很接近于物理學中定義的作勻速直線運動、勻變速直線運動的物體，在研究它們的運動時，將它們當作勻速直線運動或勻變速直線運動。因此，模型方法是有實際意的。為了使研究過程簡化，我們常采取先忽略某些次要因素，把問題理想化，如在初中學習中引入了勻速直線運動。在高中學習中引入勻變速直線運動、勻速圓周運動和簡諧運動等運動模型。有了這些模型，再考慮問題的特有條件，就可以處理某些復雜的實際問題了。

物理模型的分類方法有很多。但從中學物理學習來講。一般分成以下4類：

(1)對象模型。實際物體在某些特定條件下可被抽象為理想化的研究對象，這個研究對象稱為對象模型。如研究豎直放置在光滑圓弧形軌道上的物體作小幅度運動(運動范圍遠小于圓弧半徑)時就可把它等效為單擺模型；在研究地球繞太陽的公轉時，把地球看成是一個質點等。在中學我們已經學習了很多模型，如質點、彈簧振子、單擺、理想氣體、點電荷、理想電流表、理想電壓表、變壓器、原子模型、光線等。

(2)條件模型。把研究對象所處的外部條件理想化后所建立的模型叫條件模型。如光滑表面(平面或曲面)、輕桿、輕繩、均勻介質、勻強磁場、勻強電場、絕熱、重力不計、導線電阻為零等。比如一根繩子懸掛一物體，若忽略繩子的質量和其伸縮性，就可以抽象成根輕繩。

(3)狀態模型。將物體所處的狀態理想化后用于描述物體的狀態，由此所建立的模型即為狀態模型。如共點力平衡狀態、杠桿平衡狀態、熱平衡狀態、臨界狀態等。

(4)過程模型。實際物理過程在忽略某些次要因素時往往可抽象為一些理想化的變化過程，這樣的模型稱為過程模型。如力學中的勻速直線運動、自由落體運動、簡諧運動、彈性碰撞；電學中的穩恒電流、等幅振蕩；熱學中的等溫變化、等容變化、等壓變化等。

物理模型突出反映了現實原型的某些特征，舍棄了它的另外一些特征。建立物理模型主要有以下幾種方法。

(1)抽象與概括方法。抽象和概括是指撇開物理事物中的各種無關因素，抓住其中起支配和決定作用的本質因素，即事物的"靈魂"，從而建立物理模型。如質點模型是在一定的條件下，忽略了實際物體的大小和形狀，抓住物體的質量這個特征而運用抽象方法建立的。

(2)近似方法。通過分析比較影響事物性質，變化規律的各種因素，舍棄次要因素，抓住主要因素而建立的物理模型。如各種拋體運動的模型，是在忽略空氣阻力影響的基礎上建立的；勻強電場模型是在極板間距離與極板長度相比非常之小且忽略邊緣效應時而建立的。

(3)類比方法。它是根據兩個(或兩類)對象之間在某些屬性上相似，推出它們在另一個屬性上也可能相似的一種推理形式。物理學發展史上許多模型的建立都得力于類比推理。如：類比太陽系行星運動的模型，盧瑟福提出了原子的核式模型；德布羅意類比光的波粒二象性，提出實物粒子的波粒二象性等。

(4)假說方法。假說是科學研究中的一種假定性的說法。恩格斯指出："只要自然科學在思維著，它的發展形式就是假說。"一切科學都起源于假說，運用假說的方法建立模型是指在物理現象的真相比較隱蔽或還不清楚時，為了從根本上揭示事物和現象的本質，依據一定的理論和事實建立物理模型的方法。這個模型既能說明已有的實驗事實，又能預測可能出現的結果。假說建模從本質上看是對掌握的資料不歸納以及依據對物質世界秩序的直覺和信念而提出的，因此建立的模型需經特定實踐的檢驗、修正和完善。如開普勒從大量積累的行星運動數據中，提出行星運動模型；玻爾針對盧瑟福原子模型與經典電磁理論的矛盾，建立了玻爾原子模型。

(5)圖像方法。它是指人們用熟悉的、可視的幾何線條刻畫抽象的物理理論，用圖線的特征及空間的位置關系反映出所研究的物理事物的本質和特征。如力的圖示、磁感線、等勢面等等。

(6)分解與綜合的方法。它是在整體的考慮下把問題分解為局部進行研究，再把各部分匯成整體，通過邏輯演繹推理建立模型方法。如牛頓萬有引力定律的建立，盧瑟福的原子核式結構模型的提出，都是建立在對實驗事實的分析和綜合基礎上的。

理解物理模型的建立在物理學習(特別是解題)中有十分廣泛的應用。高中物理學習中，要注意在我們的頭腦中形成形象化的實物模型和抽象化的諸多物理模型，并能靈活地提取、應用、置換、遷移物理模型，這是學好高中物理的充要條件。在應試教育盛行，題海戰術泛濫的氛圍中，如何跳出題海，提高學習效率，正確理解物理概念和規律是前提，而理解的基礎正是要建立合理的物理模型。在解題的過程中，要明確研究對象、弄清物理過程、建立物理圖景，尋找模型解決實際問題，再在解決實際問題的基礎上建立新的物理模型，實現新的遷移和飛躍。

物理試題中新的情境，實際上是我們熟知的理想模型的基礎上發展和變化而來的，只要我們深刻地挖掘其隱含共性，實現解法的類化和移植，就可以縮短分析推理路徑。

典例精講

[典例1]原地起跳時，先曲腿下蹲，然后突然蹬地。從開始蹬地到離地為加速過程(視為勻加速)，加速過程中重心上升的距離稱為"加速距離"。離地后重心繼續上升，在此過程中重心上升的距離為"豎著高度"。現有下列數據：人原地上跳的"加速距離" ，"豎著高度" ；跳蚤原地上跳的"加速距離" ，"豎著高度" ，假設人具有與跳蚤相等的起跳加速度，而"加速距離"仍為 ，則人上跳的"豎著高度"是多少？

[解析]用 表示跳蚤起跳的加速度大小， 表示離地時的速度，則對加速過程和離地后上升過程分別有

，

若假設人具有和跳蚤相同大小的加速度 ， 表示這種假設下人離地時的速度， 表示與此相對應的豎直高度，則對加速過程和離地后上升過程分別有

，

由以上各式可得

代人數據可得

[評注]此題從實際生活情景立意，要通過審題，理清題意，將跳蚤和人看成是質點，抽象出運動模型是先勻加速上升，后豎直上拋勻加速到高度處速度減為零，然后把過程分解成若干段，抓住各段之間的聯系，選擇勻變速直線運動的公式進行求解。

[典例2]某同學對著墻壁練習打網球，假定球在墻面以25m/s的速度沿水平向反彈，落地點到墻面的距離在10m至15m之間，忽略空氣阻力，取g=10m/s2，球在墻面上反彈點的高度范圍是[ ]。

A.0.8m 至1.8m B.0.8m 至1.6m

C.1.0m 至1.6m D.1.0m 至1.8m

[解析]網球反彈后水平方向以25m/s的速度做勻速運動，由 可得反彈后在空中運動的時間在0.4s至0.6s之間，在豎直方向析運動是自由落體運動，由y=gt可得網球下落的高度為0.8m至1.8m之間。故選A選項。

[評注]本題是一道基礎題，主要考察平拋運動知識。要求能正確地把實際問題轉化為平拋運動模型，問題便迎刃而解。

[典例3]汽車以一定的速度 在一寬闊水平面上勻速直線行駛，突然發現正前方出現一堵長墻，為了盡可能避免碰到墻上，司機是急剎車好呢？還是轉彎好？假定汽車所受的靜摩擦力和滑動摩擦力相等。

[解析]首先，必須對汽車的兩種運動情況建立相應的物理模型。

汽車急剎車的物理模型：剎車裝置鎖住輪子，車輪不轉動，輪子在地面上滑動。地面對輪子的滑動摩擦力使汽車做勻減速運動，直至停下來。如果要避免汽車碰到墻壁，就必須使汽車從剎車開始到停止的過程中，所前進的距離小于司機發現墻時，急剎車的地點到墻的距離。

汽車轉彎的物理模型：車子做勻速圓周運動，車子是否碰墻，在于軌道半徑R的大小。軌道半徑R是由向心力 決定的。這個向心力是由靜摩擦力提供的，在此題中約等于滑動摩擦力。

根據動能定理，汽車急剎車后滑行的距離S和滑動摩擦力的關系為

則

(1)

汽車轉彎時，根據勻速圓周運動向心力的公式，汽車轉彎時有

則

(2)

比較(1)式和(2)式，知R>S，故汽車急剎車時碰墻可性能較小。

[評注]此題所給條件極少，情景又模糊，只有建立了正確的物理模型，才能發現隱含條件："急剎車時，汽車是在滑動摩擦力作用下做勻減速直線運動；轉彎時，汽車是在靜摩擦力作用下做勻速圓周運動"。從此隱含條件出發才能正確選用物理規律解題。

[典例4]如圖21-1所示，輕桿長為L，一端可繞光滑軸O在豎直平面內轉動， 另一端系一質量為m的小球。把小球拉至圖示位置A(桿與水平方向夾角為 )由靜止釋放，小球將做什么樣的運動到達點B？到點時的小球速度有多大？若將輕桿換成輕繩，情況又如何？

[解析]小球以O為圓心，L為半徑在豎直平面內做變速率圓周運動到達點B，由于該運動過程中只有重力對系統做功，因此機械能守恒。設小球B點水平向左的速度為 ，則

若將輕桿換成輕繩，由于輕繩不能對小球產生推力，繩處在松弛狀態，小球靜止釋放后，只受重力作用，將從A到C做自由落體運動。C的位置在水平線下方與初始位置對稱，如圖21-2所示，由自由落體運動公式，得到小球落到C點的速度大小為

由于在C點輕繩被緊繃而產生對小球的拉力，于是小球在拉力的作用下，法向速度 迅速變為零(有機械能損失)，而在重力和拉力的共同作用下，小球以速度 開始向下做圓周運動。從C到B過程中只有重力做功，由機械能守恒定律，有

所以

[評注]本題中涉及兩個對象模型：輕繩和輕桿。輕繩的特征是：(1)指質量不計的柔軟物體，只能產生沿繩方向伸長的彈性形變，阻礙其相連接物體沿其伸長方向的運動，而又不考慮繩的伸長；(2)繩上只存在沿繩方向處處相等的拉力，且拉力大小隨外界條件變化而變化，這種變化的時間極短，即拉力可以發生突變。

輕桿特征是：(1)指質量不計的剛性體，它不僅可以產生拉伸形變，還可以產生壓縮、彎曲和扭轉形變，因此它不僅存在拉力，還存在壓力，且力的方向并不一定沿桿的方向；(2)不考慮輕桿的拉伸和壓縮的形變，并認為其內部彈力處處相等，可以發生突變。

[典例5]如圖所示，寬為d、質量為M的正方形木靜止在光滑水平面上，一質量m的小球由靜止開始沿"Z"字通道從一端運動到另一端，求木塊和小球的對地位移。

[解析]把小球和木塊看成一個系統，由于水平方向所受合外力為零，則水平方向動量守恒。設小球的水平速度為 、木塊的速度為 ，則有

若小球對地位移為S1、木塊對地位移為S2，由上式可得

mS1=MS2

且

S1+S2=d

解得

，

[評注]本題屬于過程模型中的人船模型。它不僅是動量守恒問題中典型的物理模型，也是重要的力學綜合模型之一。利用人船模型及其典型變形，通過類比和等效，可使許多動量守恒問題的分析思路和解答步驟變得極為簡單，有時甚至可直接得出答案。

[典例6]一皮帶傳動裝置如圖21-4所示，一根質量不計的、勁度系數為k的彈簧一端固定，另一端連接一個質量為m的滑塊，已知滑塊與皮帶間的動摩擦因數為 .當滑塊放到勻速運動的皮帶上時，彈簧的軸線恰好水平，若滑塊放到皮帶上的瞬間，滑塊的速度為零，且彈簧正好處于自由長度，已知皮帶的速度為 ，且足夠大，使得滑塊在皮帶上振動時始終相對于滑塊向右滑動，求：

(1)滑塊振動的振幅多大？

(2)當彈簧次伸長到長時，滑塊相對于皮帶滑行的距離多大？滑塊與皮帶間所產生的熱量是多少？(已知彈簧簡諧振動的周期為 )

[解析](1)滑塊在摩擦力與彈簧彈力的共同作用下，先向左做變加速運動，當二力平衡時，滑塊速度，該位置即為滑塊的平衡位置，接著向左做變減速度運動至速度為零，然后返回，作往復運動，設滑塊在平衡位置時，彈簧的伸長量為A，此即為滑塊的振幅，此時有 。當滑塊經過平衡位置左側某一位置相對平衡的位移為x時，設向左為正方向，則合力為

此式說明滑塊所受合力(即回復力)與位移大小成正比，方向相反，同理，滑塊經過平衡位置右側某一位置，受到的合力同樣與位移正比反向，符合簡諧振動的條件，所以滑塊做簡諧振動，振幅為

(2)當彈簧次伸長到長時，滑塊對地位移為2A，運動時間為簡揩振動的半周期限，即 ，此段時間內，傳送帶對地路程為 ，故滑塊相對于皮帶滑行的距離為

滑塊與皮帶間所產生的熱量為

[評注]簡諧振動與"皮帶輪"模型相聯系屬于平常卻又創新的物理場景。滑塊在恒力摩擦力和變力彈力的作用下運動，要對滑塊進行受力分析，用物體作簡諧振動的受力條件 來分析判斷滑塊的運動，從能量轉化的角度分析滑塊與皮帶間所產生的熱量。本題中將滑塊的運動模型與豎直方向上振動的彈簧振子相類比，使解題過程容易理解。因此，從力和運動的角度分析皮帶輪模型時，弄清所發生的物理過程。描述時要以地面為參照系，標定物塊、皮帶各自發生的位移，解出相對位移，從而得出滑塊與皮帶間所產生的熱量；本題在分析中，要善于從功能的角度分析能量的轉化關系，即要能從局部入手，更要能從全程的視角把握能量的轉換。

[典例7]如圖21-5所示變壓器，初級線圈匝數n1=1000匝，次級有兩個線圈，匝數分別為n2=500匝和n3=200匝，分別接一個R=55Ω的電阻，在初級線圈上接U=220V 交流電。試求：

(1)兩次級線圈輸出電功率之比；

(2)初級線圈中的電流。

[解析](1)由電壓思路，兩個次級線圈兩端電壓分別為

，

又

，

所以

(2)根據歐姆定律，得

，

由電流思路，對有兩個次級線圈的變壓器有

所以

[評注]解答有關理想變壓器模型的題，關鍵是掌握理想變壓器的基本規律。這些規律有：變壓器穿過原線圈中磁通量等于穿過所有副線圈磁通量；輸入功率等于輸出功率；原、副線圈兩端的電壓之比等于原、副線圈的匝數之比；原、副線圈中的電流之比等于副線圈的匝數與原線圈的匝數之比。

[典例8]如圖21-6所示，一矩形輕質柔軟反射膜可繞過O點垂直紙面的水平軸轉動，其在紙面上的長度為L1，垂直紙面的寬度為L2。在膜的下端(圖中A處)掛有一平行于轉軸，質量為m，長為L2的導體棒使膜成平面。在膜下方水平放置一足夠大的太陽能光電池板，能接收到經反射膜反射到光電池板上的所有光能，并將光能轉化成電能。光電池板可等效為一個電池，輸出電壓恒定為U；輸出電流正比于光電池板接收到的光能(設垂直于入射光單位面積上的光功率保持恒定)。導體棒處在方向豎直向上的勻強磁場B中，并與光電池構成回路，流經導體棒的電流垂直紙面向外(注：光電池與導體棒直接相連，連接導線未畫出)。

(1)現有一束平行光水平入射，當反射膜與豎直方向成 時，導體棒處于受力平衡狀態，求此時電流強度的大小和光電池的輸出功率。

(2)當 變成 時，通過調整電路使導體棒保持平衡，光電池除維持導體棒平衡外，還能輸出多少額外電功率？

[解析]此題情景新穎，不易看懂題目的意思。不易從題目中獲取解題的信息，不易抓住問題的主要矛盾和本質因素，其本質就是在解題時不能根據題目構建出正確的物理模型。其實該題重要的是建構三力平衡的模型，構建物理模型的思維過程可按圖21-7流程進行操作。

(1)導體棒受3個力的作用，一是重力，二是水平現左的安培力，三是反射膜的張力，如圖21-8所示，設導體棒的安培力Fl=BIL3，根據力的平衡關系有

(1)

解得當 時，由(1)式得光電流為

光電池的輸出功率為

(2)當θ變成 時，導體棒仍受3個力的作用，如圖21-9所示，導體棒的安培力F2=BIL3，為維持導體棒力學平衡所需要的電流為

光電池為維持導體棒力學平衡輸出的功率為

根據幾何關系和能量守恒定律， 和 時，光電池板接收到來自反射膜反射的能量之比為

當 時，光電池的輸出功率為

光電池除維持導體棒力學平衡外，額外輸出的電功率為

[評注]解題的過程就是獲取解題信息、構建物理模型的過程。本題基本的物理模型是三力平衡，物體在重力、安培力、彈力的作用下處于平衡狀態，其中的三個力恰構成一個封閉的矢量三角形。當然，該題不僅考查了三力平衡的知識，還考查了電路計算、安培力、能量守恒等知識，突出了運用能量觀點從整體上把握問題的思維方式，同時還關注新能源發展方向與低碳生活理念。

[典例9]電磁流量計廣泛應用于測量可導電流體(如污水)在管中的流量(在單位時間內通過管內橫截面的流體的體積)。為了簡化，假設流量計是如圖21-10所示的截面為長方形的一段管道，其中空部分的長、寬、高分別為圖中的a、b、c。流量計的兩端與輸送流體的管道相連接(圖中虛線)。圖中流量計的上下兩面是金屬材料，前后兩面是絕緣材料。現于流量計所在處加磁感強度為B的勻強磁場，磁場方向垂直于前后兩面。當導電流體穩定地流經流量計時，在管外將流量計上、下兩表面分別與一串聯了電阻R的電流表的兩端連接，I表示測得的電流值。已知流體的電阻率為 ，不計電流表的內阻，則可求得流量為[ ]。

A. B. C. D.

[解析]此題中電磁流量計相當于一個電源，根據電阻定律，其內阻為 ，但電動勢是多少呢？液體流動切割磁場可類比于我們所熟悉的"單根直導線切割磁感線"的物理模型，則上下兩表面電動勢為

(1)

又根據閉合電路歐姆定律有

(2)

在時間t內，流過管中的流體體積為

(3)

則由(1)、(2)、(3)式可得流體的流量為

故A選項正確。

[評注]這道試題有一定的難度，給人以無從下筆之感.當將電磁流量計這種實際模型轉化為電源這種物理模型時，電源內阻的求解這一難點得以突破；當進一步轉化為開路時的電源這一物理模型時，另一障礙點—電動勢的求解也得以逾越。

[典例10]如圖21-11所示。在真空中速度 =6.4107 m/s的電子束連續地射人兩平行極板之間，極板長度L=8.010-2m，間距d=5.010-3m。兩極板上加50 Hz的交流電壓 ，如果所加電壓的值 超過某一值 時，將出現以下現象：電子有時能通過兩極板，有時不能通過，求 的大小。(me=9.010-31kg，e=1.610-19 C)

[解析]由于平時練習題中多出現帶電粒子在勻速電場中做類平拋運動，一看交變電場，認為沒有學過，就覺得不會做。其實，只要冷靜推敲，就會發現本題是考查帶電粒子在勻強電場中做類平拋運動的物理模型。

電子在電場中運動時間為

(1)

交流電周期為

由此可見，t

電子在豎直方向作勻加速直線運動，有

(2)

又

(3)

聯立(1)、(2)和(3)式解得

[評注]在物理題中，有些條件是題目明確顯現出來的，而有些條件則是"含而不露"的。對這些具有"隱蔽"性的條件，只有挖掘出來，才能使一些比較模糊的物理過程變得具體化、形象化，才能揭示出它的特征和規律，構建出物理模型，然后建立方程求解。

針對練習

1.一跳水運動員從離水面10m高的平臺上向上躍起，舉雙臂直體離開臺面、此時其重心位于從手腳全長中心點，躍起后重心升高0.45m達到點，落水時身體豎立，手先入水(此過程運動員在水平方向忽略不計)，從離開跳臺到手觸水面，他可用于完成空中動作的時間是多少秒？

2.如圖21-12所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向運動的小車A，小車下吊著裝有物體B的吊鉤。在小車A與物體B以相同的水平速度沿吊臂方向勻速運動的同時，吊鉤將物體B向上吊起，A、B之間距離以d=H－2t2(式中H為吊臂離地面的高度)的規律變化，則物體做[ ]。

A.速度大小不變的曲線運動

B.速度大小增加的曲線運動

C.加速度大小方向均不變的曲線運動

D.加速度大小方向均變化的曲線運動

3.某種變速自行車，有6個飛輪和3個鏈輪，如圖21-13所示，鏈輪和飛輪的齒數如下表所示。前后輪直徑均為660mm，人騎該車行進速度為4m/s時，腳踩踏板做勻速圓周運動的角速度小值約為[ ]。

名 稱 鏈 輪 飛 輪

齒數N/個 48 38 28 15 16 18 21 24 28

A.1.9rad/s B.3.8rad/s C.6.5rad/s D.7.1rad/s

4.(1)如圖21-14所示一個質量為m的小球。通過一根不可伸長的細繩AB與一根輕彈簧OB懸吊處于靜止狀態，其中繩AB水平，彈簧OB與豎直成θ角。求剪斷細繩的瞬間。小球的加速度？(2)若其他條件不變，將輕彈簧換成不可伸長的細繩.如圖21-15所示。結論如何？

5.如圖21-16所示，是雙人花樣滑冰運動中男運動員拉著女運動員做圓錐擺運動的精彩場面，若女運動員做圓錐擺運動時和豎直方向的夾角為θ，女運動員的質量為m，轉動過程中女運動員的重心做勻速圓周運動的半徑為r，求這時男運動員對女運動員的拉力大小及兩人轉動的角速度。

6.噴水池噴出豎直向上的水柱高5m，假設空中的水柱是圓柱體，且體積為2010-3m3，不計空氣阻力，噴水裝置做功的功率為多少·(g取10m/s 2)

7.圖21-17為推行節水灌溉工程中使用的轉動式噴水龍頭的示意圖。"龍頭"離地面高h m，將水水平噴出，其噴灌半徑為10h m，每分鐘可噴水m kg，所用的水從地面以下H m深的井里抽取。設所用水泵(含電動機)的效率為η，不計空氣阻力。求：(1)水從龍頭中噴