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內容簡介

圖的可區別染色不是一種染色, 而是許多種染色的總稱. 本書就是介紹各種可區別染色, 包括點可區別正常邊染色(第1章)、鄰點可區別正常邊染色(第2章)、點可區別正常全染色(第3章)、鄰點可區別正常全染色(第4章)、 D(d)-點可區別正常邊染色(第5章前3節)、 D(d)-點可區別正常全染色(第5章后3節)、點強可區別正常全染色(第6章第1節)、鄰點強可區別正常全染色(第6章第2節)、鄰和可區別正常邊染色(第6章第3節)、鄰和可區別正常全染色(第6章第4節)、鄰點可區別無圈邊染色(第6章第5節)、可區別的未必正常的染色(第6章第6節給出了分類). 書中介紹的都是可區別染色方面的重要成果或者作者非常感興趣的素材. 許多結論的證明過程融入了作者的理解與體會。書中的許多結論都是很新的。

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作者簡介

陳祥恩，1985年7月畢業于西北師范大學數學系，獲理學學士學位，畢業后留校任教至今。期間于1988年8月至1991年7月脫產在蘭州大學數學系攻讀數學專業碩士研究生，主攻圖論理論及其應用研究，并獲理學碩士學位。1998年晉升為副教授，2003年被評為碩士研究生導師，2006年晉升為教授，2007年擔任《美國數學評論》的評論員，2009年開始擔任西北師范大學教學督導委員會委員。在2015年舉行的第六屆圖論與組合算法國際研討會期間被選為中國運籌學會圖論組合分會理事。多年來主講本科生《高等代數》、《近世代數》、《代數選件》、《圖論》以及研究生《組合數學》、《組合矩陣論》、《圖論及其應用》、《圖的染色理論》等課程。一直從事圖的理論及其應用方面的研究，尤其對圖的鄰點可區別全染色做出了較為深入的結果，得到了度為3的圖的鄰點可區別全色數不超過6等重要結論。在未必正常全染色的(鄰)點可區別理論方面，取得了重要的研究成果。在國內外正式出版的刊物上發表相關研究論文100余篇，其中在國際高級別SCIE以上刊物上公開發表20余篇。作為主要完成人發表于《中國科學 A輯：數學》(2004年第5期)上的論文“關于圖的鄰點可區別全染色”被評為“中國百篇影響國內文章”。曾兩次獲得西北師大教學科研雙骨干。2004年參與建設了一門省級精品課程，2008年獲得甘肅省教學成果一等獎。獲得過甘肅省高等學校科技進步一等獎二等獎各一次，三等獎三次，獲得過甘肅省科技進步三等獎一次。2011年主持一項國家自然科學基金項目(地區科學基金項目)“圖的可區別染色理論與算法的研究”。參與了面向21世紀課程教材《高等代數》的編寫，該教材于2003年6月被高等教育出版社作為21世紀課程教材而出版。主編的《高等代數專題選講》于2013年5月被中國科學技術出版社。

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前言

1985 年, Harary F 等人開始研究圖的點可區別一般邊染色; Chartrand G, JacobsonM, Lehel J 等人于1986 年研究圖的可允許的一般邊染色(即頂點被關聯邊的顏色之和可區別的一般邊染色，所使用的顏色是從1開始的相繼的正整數)所需要的顏色的少數目即圖的非正規強度; Burris A C, Schelp R H于 1993年和 Cˇ erny?J, Horˇn?ak M, Sot?ak R 于1995年分別獨立地提出圖的點可區別正常邊染色, 取得了許多重要的成果. 特別是2002年以來, 張忠輔教授相繼提出圖的鄰點可區別正常邊染色，鄰點可區別正常全染色, 點可區別正常全染色等新的圖染色概念之后,圖的可區別染色受到越來越多學者的重視.

本書是作者在多年給研究生講授“圖的可區別染色”課程所寫講稿的基礎上整理而成的. 圖的可區別染色不是一種染色, 而是許多種染色的總稱. 本書就是介紹各種可區別染色, 包括點可區別正常邊染色(第1 章)、鄰點可區別正常邊染色(第2 章)、點可區別正常全染色(第3 章)、鄰點可區別正常全染色(第4 章)、D(d)–點可區別正常邊染色(第5 章前3 節)、D(d)–點可區別正常全染色(第5 章后3 節)、點強可區別正常全染色(第6 章第1 節)、鄰點強可區別正常全染色(第6 章第2 節)、鄰和可區別正常邊染色(第6 章第3 節)、鄰和可區別正常全染色(第6 章第4 節)、鄰點可區別無圈邊染色(第6 章第5 節)、可區別的未必正常的染色(第6 章第6 節給出了分類). 書中介紹的都是可區別染色方面的重要成果或者作者非常感興趣的素材. 許多結論的證明過程融入了作者的理解與體會.

本書第6 章第6 節(即本書后一節)所涉及的邊染色及全染色都是未必正常的, 僅對可區別的未必正常的染色做了分類, 而其余各章節所涉及的邊染色及全染色都是正常的.

本書每一章都有該章所涉及的參考文獻.人們研究可區別染色主要圍繞以下幾個方面: , 確定一些圖類的某種染色的色數(即確定對一些圖類進行某種染色所需的少顏色的數目);

第二, 研究某類圖是否滿足關于某種染色的猜想(我們可以看到幾乎每種可區別染色都有相應的猜想);

第三, 給出某種染色的色數的上界;

第四, 研究某類圖的某種色數隨著階增大的變化趨勢;

第五, 研究某種染色的某個特定問題, 比如尋找子圖的某種可區別色數不超過其母圖的相應色數的條件. 而對于普通的正常點(邊, 全)色數來說, 子圖的色數一定不超過相應的母圖的色數. 而對于可區別染色來說, 情況并非如此.在研究可區別染色理論時, 人們采用的方法通常有: 構造具體染色、組合分析、反證法與原理結合、數學歸納法、加點加邊法、共一色法、色集事先分配法、填裝法、放電法、概率方法、利用組合零點定理、利用某個群中的元素為顏色來染色, 等等.

我們會看到, 盡管關于各種可區別染色, 國內外學者已有非常豐富的成果, 但是許多猜想并沒有得到解決(除D(d)–VDEC 猜想及D(d)–VDTC 猜想均已有反例).

圖的可區別染色理論是圖論的一個分支. 而圖論既屬于組合數學, 也屬于運籌學. 圖論組合問題有一個特點, 問題的表述相當容易(就像四色問題的表述一樣,一位中學生就會明白是怎么回事), 但是解決起來相當難. 希望對可區別染色理論感興趣的學者能創新方法, 開拓思路, 以推動可區別染色理論的進一步發展.如果對圖的可區別染色感興趣的初學者及相關研究生覺得本書還有可取之處, 那么筆者就滿足了.筆者于2003 年在張忠輔教授的指導下開始了圖的可區別染色的研究. 盡管先師已于2010年7月作古, 但是他提出的有關可區別染色的若干問題及猜想已被許多學者所研究, 他的思想及方法啟示著后人, 他的堅持不懈地進行科學研究的風范永遠是我學習的榜樣. 我從事可區別染色的研究, 得益于張忠輔教授的指導,因此作者對先師的感激發自肺腑.

西北師范大學數學與統計學院的領導對本書編寫工作給予了極大的支持; 同時北京大學許進教授、蘭州大學張和平教授、南開大學李學良教授、巴黎十一大李皓教授、山東大學吳建良教授、中國科學院閆桂英教授、浙江師范大學王維凡教授、暨南大學樊鎖海教授、西北師范大學姚兵教授和姚海元副教授、蘭州交通大學李敬文教授和文飛博士等對本書編寫給予了極大的鼓勵與幫助; 在書稿的Latex錄入過程中, 我的研究生高毓平、胡志濤、魏甲靜、張芳紅、郭靖、郭虹園、黃小佳、師瑾等同學幫了我很大的忙. 在此對上述領導、專家、同學一并表示衷心感謝! 本書的編寫與出版得到了國家自然科學基金(項目批準號: 61163037)的資助, 作者非常感謝!限于水平, 盡管作者做了很大努力, 但是書中定有許多不足之處, 敬請讀者批評指正.

陳祥恩

2015 年6 月于西北師范大學