主要內(nèi)容是群、環(huán)、域的基礎(chǔ)知識。本書的特點是簡明實用，注重講清抽象代數(shù)的思想和精神。本書還配備了適當(dāng)數(shù)量的習(xí)題，并分基本題與補充題兩個層次設(shè)置，便干學(xué)生自學(xué)和教師選題。我們只是在《抽象代數(shù)》中講述多元多項式和對稱多項式，本教材特別注重講清楚數(shù)學(xué)思想，因此在引出定義和定理前一般會加入很多解釋性的按語，或者在定理后面加一些注記。是我們花了大量心血精心設(shè)計而成的這對于學(xué)生數(shù)學(xué)思維和研究能力的提高是很好重要的。本書可作為綜合性大學(xué)、一般院校或師范院校的"抽象代數(shù)"課教材，特別適合周3學(xué)時的教學(xué)使用。
前
引言 1
第1章 群 3
1.1 半群與群 3
1.2 子群與陪集 10
1.3 正規(guī)子群與商群 18
1.4 群的同態(tài)與同構(gòu) 22
1.5 循環(huán)群 31
1.6 對稱群與交錯群 33
1.7 群的擴張與Jordan-H？lder定理 37
1.8 可解群和幕零群 44
1.9 群在集合上的作用 49
1.10 Sylow定理 56
1.11 本章小結(jié) 59
第2章 環(huán) 61
2.1 環(huán)的定義與基本性質(zhì) 61
2.2 理想與商環(huán) 67
2.3 四元數(shù)體 73
2.4 環(huán)的同態(tài) 76
2.5 整環(huán)上的因子分解 83
2.6 素理想與極大理想 90
2.7 主理想整環(huán)與歐幾里得環(huán) 94
2.8 環(huán)上的多項式 99
2.9 整環(huán)上的多項式環(huán) 107
2.10 對稱多項式 111
2.11 本章小結(jié) 114
第3章 模 115
3.1 模的基本概念 115
3.2 環(huán)上的矩陣與模的自同態(tài)環(huán) 121
3.3 自由模 129
3.4 主理想整環(huán)上的有限生成模 133
3.5 有限生成的交換群 142
3.6 線性變換的標(biāo)準形 144
3.7 本章小結(jié) 151
第4章 域 153
4.1 域的基本概念 153
4.2 代數(shù)擴張 158
4.3 尺規(guī)作圖 163
4.4 分裂域 166
4.5 Galois群 171
4.6 Galms擴張與Galms對應(yīng) 175
4.7 有限域 179
4.8 可分多項式與完備域 184
4.9 可分擴張 188
4.10 Galois逆問題 192
4.11 Abel擴張 196
4.12 方程的根式解 200
4.13 本章小結(jié) 203
參考文獻 205
索引 206
引
抽象代數(shù)是高等代數(shù)和解析幾何這一課程在抽象層面上的延續(xù).在高等代數(shù)與解析幾何中主要研究了多元一次方程組的求解及由此發(fā)展而來的矩陣、線性空間和線性變換等理論，這些理論在抽象代數(shù)的理論體系中也占有舉足輕重的地位，不僅提供了大量的具體例子，而且提供了很多思想方法.一元高次方程，即多項式理論的研究正是抽象代數(shù)理論發(fā)展的起源，其歷史可以追溯到4000 年前的古巴比倫時期. 模形文字泥板記錄了4000 年前的古巳比倫人對二次方程求根的探索，實際上他們已經(jīng)找到求根公式了然而經(jīng)過了3000 多年的沉寂，直到文藝復(fù)興時期，在一批意大利數(shù)學(xué)家的努力下，三、四次方程的求根公式問題才取得了突破. 首先是Ferro 和Tartaglia 獨立的發(fā)現(xiàn)了后來被稱為Cardano 公式的二次方程求根公式.Cardano 的學(xué)生Ferrari 在此基礎(chǔ)上找到了四次方程的求根方法. 1770 年， Lagrange用一種統(tǒng)一的方法來處理低于五次的方程的求根方法，他的方法體現(xiàn)了根置換的思想.不過在應(yīng)用到五次以上方程求解時遇到了實質(zhì)性的困難，也提示人們五次以上方程未必有求根公式. 1799 年， Ruffini 證明一般五次以上方程不可解，不過證明中有漏洞.直到1824 年， Abel 給出了后來被稱為Abel-Ruffini 定理的完整證明，正式宣告一般五次以上方程不可用根式解盡管如此，還是有很多高次方程是明顯可解的法國數(shù)學(xué)家Galois 在前人的研究工作的基礎(chǔ)上引入群和域的思想來描述方程的根的對稱性.域論的簡單性質(zhì)就能給出古希臘蘭大幾何作圖難題的否定回答.進一步， Galois 理論可以給出正n 邊形可以尺規(guī)作圖的充要條件. 很為重要的是，域論和群論的結(jié)合得到了一元商次方程可用根式解的充要條件.從此，代數(shù)學(xué)研究開始了新的篇章.
在很多杰出的數(shù)學(xué)家的努力下，群論迅速發(fā)展成為一門嶄新的數(shù)學(xué)分支.出于判斷方程是否可用根式解的需要， Galois 證明了是單群.由此開啟了數(shù)學(xué)家們對群論的核心問題一一有限單群分類的研究這一史詩般的研究工作持續(xù)了百年，跨越了整個20 世紀從1963 年Fe站和Thompson 發(fā)表長達255 頁的論文證明了Burnside 關(guān)于奇數(shù)階群都是可解群的猜想開始，有限單群的研究進入了快車道. Gorenstein 引領(lǐng)了有限單群分類的靠前合作，并于1983 年宣布分類工作完成.然而，漏洞很快被發(fā)現(xiàn)，直到2004 年這一漏洞才被一篇1221 頁的論文填補盡管目前認可有限單群的分類工作已經(jīng)完成，不過由于篇幅太長，微小的漏洞仍然會被發(fā)現(xiàn)；并且，簡化分類證明的工作也在不斷進行中.
域論也在Abel 和Galois 的工作基礎(chǔ)上不斷發(fā)展. 1871 年，數(shù)域的概念被Dedekind 首先引入. 1881 年， Kronecker 定義了有理函數(shù)域. 1893 年， H. M. Weher給出了域的抽象定義1910 年， E Steinitz 研究了域的性質(zhì)，給出了素域、完備域等概念. 1928 年至1942 年， E Art in 系統(tǒng)地研究了群與域的關(guān)系，發(fā)展了Galois理論到目前為止，對于代數(shù)數(shù)域的研究始終是數(shù)論研究的一個重要方向.
比域論更廣泛的是環(huán)論.我們熟知的整數(shù)、多項式全體都構(gòu)成環(huán).在數(shù)論的早期研究包括對Fermat 大定理的研究中，代數(shù)整數(shù)環(huán)的重要性不斷體現(xiàn)，其中的因式分解的不專享性也給包括Cauchy 在內(nèi)的數(shù)學(xué)家們帶來了極大的困擾. 1843 年，Hamilton 經(jīng)過十年努力發(fā)現(xiàn)了四元數(shù)體，這是一種不滿足乘法交換律的環(huán)或代數(shù)，很快，在1857 年， Cayley 引入了矩陣乘法，矩陣代數(shù)得到迅速發(fā)展，為包括環(huán)論在內(nèi)的抽象代數(shù)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ).隨后， Clifford，Wedderburn， Artin 等一批數(shù)學(xué)家為環(huán)論的發(fā)展做出了極大貢獻其中很值得一提的是被譽為"數(shù)學(xué)歷史記錄重要的女性"的Emmy Noether，她提出的模論使得抽象代數(shù)的很多概念和理論得以統(tǒng)一起來，并被廣泛應(yīng)用到代數(shù)拓撲、代數(shù)兒何等領(lǐng)域中.實際上，代數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)的各種表示理論都可以看做是模論.
靠前章 群
在18 世紀Euler 和Gauss 對于數(shù)論的研究中已經(jīng)有了群的概念的萌芽； Lagrange，Raffini 和Abel 對于方程根式解的研究中運用了根的置換的思想，研究了置換群的性質(zhì)；群的概念的提出要歸功于Galois，他利用群有效解決了方程根式解的充要條件.在20 世紀，群論的一個重大研究成果是在很多群論學(xué)家的共同努力之下完成了有限單群的分類.當(dāng)然，群論的研究工作遠遠沒有結(jié)束，群的用途也越來越廣泛.如18 世紀后半葉， Klein 把群的思想運用到幾何分類的研究中， Lie 在對偏微分方程的研究中提出了Lie 群的概念，這些都開創(chuàng)了新的研究領(lǐng)域.在其他學(xué)科，如物理、化學(xué)等，群論也有廣泛的應(yīng)用.本章我們將介紹群的基本理論，研究群分類的基本思想和基本工具.
1.1 半群與群
顧名思義，抽象代數(shù)是在抽象的層面上研究代數(shù)結(jié)構(gòu).簡單地說，一個代數(shù)結(jié)構(gòu)其實就是一個定義了一種或多種運算的非空集合，而我們要研究的正是其中的運算規(guī)律.首先來看一些熟知的例子在整數(shù)集Z，非負整數(shù)集或自然數(shù)集，以及任何一個數(shù)域(如有理數(shù)域Q、實數(shù)域R、復(fù)數(shù)域C 等)上，多項式集合等集合上都有加法和乘法兩種運算矩陣理論中的有加法和數(shù)乘運算.特別地， ]p>n陽上還具有乘法運算.容易驗證，我們熟知的n 階可逆矩陣的全體、實正交矩陣的全體O(n) 在矩陣乘法的運算下是封閉的.這些運算都是由兩個元素對應(yīng)到一個元素的一種法則，它們都有自己的特性，也有一些共性本書的群、環(huán)、模和城等理論實際上都是從這些共性中抽象出來的.
為了方便敘述，首先引入一個記號.設(shè)A，B 為兩個非空集合，用A × B 表示A與B 的直積集合，它是由所有有序?qū)?a， b) 組成的，其中，也就是說
這個概念自然可以推廣到有限個集合的情形.
現(xiàn)在我們從一些熟知的數(shù)學(xué)對象中提煉出如下定義.
定義1.1.1 給定非空集合S，若有一個法則，使得對任意，存在S 中專享元素c 與有序?qū)?a， b) 對應(yīng)，則稱S 上定義了一個二元運算.稱c 為α， b 的積，換言之，非空集合S 上的一個二元運算實際上就是S x S 到S 的一個映射.
