日本免费精品视频,男人的天堂在线免费视频,成人久久久精品乱码一区二区三区,高清成人爽a毛片免费网站

第三章

有關無限的數學悖論

牛頓宇宙學中的三個經典佯謬都和宇宙“無限”的概念聯系起來。實際上，“無限”包括無限大和無限小，都是數學家和邏輯學家喜歡玩的游戲，并不一定對應任何實際生活中的物理實在。不過，因為理論物理與數學的關系太密切，“無窮”這個“鬼”，已經隨著數學大搖大擺地進入到物理學的地盤，使得物理學家們不得不重視和研究它。據說著名數學家希爾伯特曾經說過一句警句式的名言： “盡管數學需要無窮大，但它在實際的物理宇宙中卻沒有立足之地。”那么，數學家們是如何理解“無窮”的？下面幾節中將從介紹幾個數學和邏輯中與“無窮”有關的典型佯謬開始。本章只有有趣的數學思想，并無公式，不感興趣的讀者可以直接閱讀第四章。1. 悖論、佯謬知多少佯謬和悖論在英語中是同一個詞： paradox，而在中文中這兩個詞的意思稍有不同，筆者喜歡中文中這兩個詞的微妙區別，用它表明物理佯謬與數學悖論之不同恰到好處，盡管許多時候這兩個詞被人們交叉使用。中文中的“悖論”，一般指因為數學定義不完善，或邏輯推理的漏洞而導出了互為矛盾的結果。比如著名的“理發師悖論”。傳說有一個理發師，將他的顧客集合定義為城中所有“不給自己理發之人”。但某24小時，當他想給自己理發時卻發現他的“顧客”定義是自相矛盾的。因為如果他不給自己理發，他自己就屬于“顧客”，就應該給自己理發； 但如果他給自己理發，他自己就不屬于“顧客”了，但他給自己理了發，又是顧客，到底自己算不算顧客？該不該給自己理發？這邏輯似乎怎么也理不清楚，由此而構成了“悖論”。理發師悖論實際上等同于羅素悖論。英國哲學家及數學家羅素(Bertrand William Russell，1872—1970年)提出的這個悖論當時在數學界引起軒然大波，或者稱之為引發了第三次數學危機，因為那時的數學家們正在慶幸康托(G.Cantor,1845—1918年)的“集合論”解決了數學的基礎問題，沒想到這個基礎之基礎自身卻裂了一條大口。數學的三次危機都可以說是與悖論聯系在一起的。及時次數學危機可追溯到古希臘時代的希帕索斯悖論，起因于研究某些三角形邊長比例時發現的無理數，泄漏這個“怪數”的學者希帕索斯(Hippasus，大約公元前500年)被他的同門弟子扔進大海處死。第二次危機則與芝諾悖論及貝克萊悖論有關，基于對無窮小量本質的研究，它的解決為牛頓、萊布尼茨創建的微積分學奠定了基礎。畢達哥拉斯學派在淹死了希帕索斯之后，對錯誤有所認識，被迫承認了無理數，并提出了“單子”，它有點類似“極小量”的概念。不過，這個做法卻遭到了詭辯數學家芝諾的嘲笑，他拋出一個快跑運動員阿格里斯永遠也追不上烏龜的“芝諾悖論”，令歷代數學家們反復糾結不已。牛頓發明微積分之后，雖然在實用上頗具優勢，但理論基礎尚未完善，貝克萊等人便用悖論來質疑牛頓的無窮小量，將其稱之為微積分中的“鬼魂”。因為前兩次數學危機的解決，建立了實數理論和極限理論，又因為有了康托的集合論，數學家們興奮激動，認為數學及時次有了“基礎牢靠”的理論。然而，當初康托的集合論對“集合”的定義太原始了，以為把任何一堆什么東西放在一起，只要它們具有某種簡單定義的相同性質，再加以數學抽象后，就可以叫做“集合”了。可沒有想到如此“樸素”的想法也會導致許多悖論，羅素悖論是其一。因此，這些悖論解決之后，人們便將康托原來的理論稱為“樸素集合論”。實際上，集合可以分為在邏輯上不相同的兩大類，一類(A)可以包括集合自身，另一類(B)不能包括自身。可以包括自身的，比如說，圖書館的集合仍然是圖書館； 不能包括自身的，比如說，全體自然數構成的集合并不是一個自然數。顯然一個集合不是A類就應該是B類，似乎沒有第三種可能。但是，羅素問： 由所有B類集合組成的集合X，是A類還是B類？如果你說X是A類，則X應該包括其自身，但是X是由B類組成，不應該包括其自身。如果你說X是B類，則X不包括其自身，但按照X的定義，X包括了所有的B類集合，當然也包括了其自身。總之，無論把X分為哪一類都是自相矛盾的，這就是羅素悖論(Russell Paradox)，即理發師悖論的學術版。還有一個與樸素集合論有關的悖論，叫做“說謊者悖論” (Liar Paradox)，由它引申出來許多版本的小故事。它的典型語言表達為： “我說的話都是假話”。為什么說它是悖論？因為如果你判定這句話是真話，便否定了話中的結論，自相矛盾； 如果你判定這句話是假話，那么引號中的結論又變成了一句真話，仍然產生矛盾。上述這兩個悖論導致了一種“左也不是，右也不是”的尷尬局面。說謊者悖論中的那句話，無論說它是真還是假，都有矛盾； 而羅素悖論中的集合X，包含自己或不包含自己，也都有矛盾。樸素集合論產生的另一個有趣悖論“Curry’s Paradox”，與上述兩個悖論有點不一樣，它導致的荒謬結論是“左也正確，右也正確”，永遠正確！我們也可以用自然語言來表述“Curry’s Paradox”。比如，我說： “如果這句話是真的，則馬云是外星人。”根據數學邏輯，似乎可以證明這句話永遠都是真的，為什么呢？因為這是一個條件語句，條件語句的形式為“如果A，則B”，其中包括了兩部分： 條件A和結論B。這個例子中，A=這句話是真的，B=馬云是外星人。如何證明一個條件語句成立？如果條件A滿足時，能夠導出結論B，這個條件語句即為“真”。那么現在，將上述的方法用于上面的那一句話，假設條件“這句話是真的”被滿足，“這句話”指的是引號中的整個敘述“如果A，則B”，也就是說，A被滿足意味著“如果A，則B”被滿足，亦即B成立。也就得到了B“馬云是外星人”的結論。所以，上面的說法證明了此條件語句成立。但是，我們知道事實上馬云并不是外星人，所以構成了悖論。此悖論的有趣之處并不在于馬云是不是外星人，而是在于我們可以用任何荒謬結論來替代B。那也就是說，通過這個悖論可以證明任何荒謬的結論都是“正確”的。如此看來，這個悖論實在太“悖”了！以上三個悖論都牽涉到“自我”指涉(selfreference)的問題。理發師不知道該不該給“自己”理發？說謊者聲稱的是“我”說的話。“Curry’s Paradox”產生悖論的關鍵是“這句話”的語義表達中包括了條件和結論兩者。看起來，將自身包括在“集合”中不是好事，可能會產生出許多意想不到的問題，那么，如果將自身排除在集合之外，悖論不就解決了嗎？也許問題并非那么簡單，但總而言之，這些悖論提醒數學家們重新考察集合的定義，為它制定了一些“公理”作為條條框框，從而使得康托的樸素集合論走向了現代的“公理集合論”。上面只是數學中的幾個簡單悖論，數學中的悖論只和理論自身的邏輯有關，修改理論便可解決。物理中的佯謬除了與理論自身的邏輯體系有關之外，還要符合實驗事實。打個比方，數學理論的高樓大廈自成一體，建立在自己設定的基礎結構之上。物理學中則有“實驗”和“理論”兩座高樓同時建造，彼此相通相連、不斷更新。理論大廈不僅僅要滿足自身的邏輯自洽，還要和旁邊的實驗大樓統一考慮，每一層都得建造在自身的下一層以及多層實驗樓的基礎之上。因此，在物理學發展的過程中，既有物理佯謬，也有數學悖論，可能還有一些未理清楚難以歸類的混合物產生出來，也許這可算是英語中使用同一個單詞表達兩者的優越性。前面提到過，數學史上的三次危機以及導致危機的悖論的根源，都與連續和無限有關，都是由無限進入到人的思維領域中而導致思考方法不同而產生的。及時次是從整數、分數擴展到實數，雖然整數和分數在數目上也有無限多，但本質上仍然有別于(小數點后數字)無限不循環的無理數。第二次危機中的微積分革命導致對“無限小”本質的探討，推導總結發展了極限理論。第三次危機涉及的“集合”，顯然需要更深究“無限”的概念。看來，的確如數學家外爾所說： “數學是無限的科學”。實際上“無限”的概念對物理學和其他科學也至關重要，宇宙有限還是無限？物質是否可以“無限”地分下去？存在“終極理論”嗎？人類思維有極限嗎？我們(細胞數目)有限的大腦，能真正想通“無限”這個問題嗎？就像小狗永遠也學不會微積分那樣，有些東西對我們人類的大腦來說，是不是也可能是永遠無法認知的？科學研究就是提出和解決悖論、佯謬的過程。正如數學史上悖論引發的三次危機，既是危機又是契機，有力地推動了數學的發展，促進了人類的進步。2. 芝諾帶你走向無窮小無窮小極限思想的萌芽階段可以上溯到2000多年前。希臘哲學家芝諾(約公元前490—430年)曾經提出一個著名的阿基里斯悖論，就是古希臘極限萌芽意識的典型體現。而與之對應的是我國古代哲學家莊子亦有類似的見解。(圖321)

圖321芝諾悖論和莊子的早期極限概念

阿基里斯是古希臘神話中善跑的英雄人物，參與了特洛伊戰爭，被稱為“希臘及時勇士”。假設他跑步的速度為烏龜的10倍。比如說，阿基里斯每秒鐘跑10m，烏龜每秒鐘跑1m。出發時，烏龜在他前面100m處。按照我們每個人都具備的常識，阿基里斯很快就能追上并超過烏龜。我們可以簡單地計算一下20s之后他和它在哪里？20s之后，阿基里斯跑到了離他出發點200m的地方，而烏龜只在離它自己出發點20m處，也就是離阿基里斯最初出發點120m之處而已，阿基里斯顯然早就超過了它！但是，從古至今的哲學家們都喜歡狡辯，芝諾說： “不對，阿基里斯永遠都趕不上烏龜！”為什么呢？芝諾說，你看，開始的時候，烏龜超前阿基里斯100m； 當阿基里斯跑了100m到了烏龜開始的位置時，烏龜已經向前爬了10m，這時候，烏龜超前阿基里斯10m； 然后，我們就可以一直這樣說下去： 當阿基里斯又跑了10m后烏龜超前1m； 下一時刻，烏龜超前01m； 再下一刻，烏龜超前001m、0001m、00001m…不管這個數值變得多么小，烏龜永遠超前阿基里斯。所以，阿基里斯不可能追上烏龜！正如柏拉圖所言，芝諾編出這樣的悖論，或許是興之所至而開的小玩笑。芝諾當然知道阿基里斯能夠捉住烏龜，但他的狡辯聽起來也似乎頗有道理，怎樣才能反駁芝諾的悖論呢？再仔細分析一下這個問題。將阿基里斯開始的位置設為零點，那時烏龜在阿基里斯前面100m，位置=100m。我們可以計算一下在比賽開始100/9s之后阿基里斯及烏龜兩者的位置。阿基里斯跑了1000/9m，烏龜跑了100/9m，加上原來的100m，烏龜所在的位置=100/9 100=1000/9，與阿基里斯在同一個位置，說明這時候(100/9s)阿基里斯追上了烏龜。不過是11s加1/9s而已。但是，按照悖論的邏輯，將這11s加1/9s的時間間隔無限細分，給我們一種好像這段時間永遠也過不完的印象。就好比說，你有1h的時間，過了一半，還有1/2h； 又過了一半，還有1/4h； 又過了一半，你還有1/8h； 1/16h、1/32h…一直下去，好像這后面半小時永遠也過不完了。這當然與實際情況不符。事實上，無論你將這后半小時分成多少份，無限地分下去，時間總是均勻地流逝，與前半小時的流逝過程沒有什么區別。因此，阿基里斯一定追得上烏龜，芝諾悖論不成立。不過，從純數學的角度來看，芝諾悖論本身的邏輯并沒有錯，因為任何兩點之間都有無數個點，都可以分成無限多個小段。阿基里斯追烏龜是一個極限問題，即使從現代數學的觀點，對于潛無限而言，極限是個無限的、不可完成的動態進行過程。因而，仍然有人認為，僅從邏輯的角度，這個悖論始終沒有解決，阿基里斯永遠追不上烏龜。繼芝諾之后，阿基米德對此悖論進行了頗為詳細的研究。他把每次追趕的路程相加起來計算阿基里斯和烏龜到底跑了多遠，將這問題歸結為無窮級數求和的問題，證明了盡管路程可以無限分割，但整個追趕過程是在一個有限的長度中。當然，對我們而言，這個無窮等比級數求和已經不是個問題，高中數學中就有答案。但對2000多年前的阿基米德來說，還是極富挑戰性的。3. 希爾伯特旅館悖論牛頓的無限而又靜止、信息以無限大速度傳播的宇宙引出不少佯謬，比如之前所介紹的夜黑佯謬和引力佯謬。當這些有關宇宙是否無窮的問題令物理學家們頭疼的年代，數學家們卻正在欣賞“無窮”的美妙。古代與中世紀哲學著作中記載過關于無限的思想。公元前1000年左右的印度梵文書中說： “如果你從無限中移走或添加一部分，剩下的還是無限。”不久前才發現并解讀的古希臘羊皮書中的記載表明，古希臘的阿基米德就已經進行了有關無窮大的計算。康托于1874年在他有關集合論的及時篇論文中提出的“無窮集合”概念，引起數學界的極大關注，震撼了學術界。康托還導出了關于數的本質的新思想模式，建立了處理數學中的“無限”的基本技巧。因此希爾伯特說： “沒有人能夠把我們從康托爾建立的樂園中趕出去。”