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第二章 廣義相對論

1907年，愛因斯坦再次提出廣義相對論的基本原理，經(jīng)過深入研究和補充之后，1915年正式創(chuàng)建了廣義相對論，第二年發(fā)表了具有總結(jié)性的文章《廣義相對論基礎(chǔ)》。廣義相對論主要描述的是引力理論，它的創(chuàng)建基礎(chǔ)是狹義相對論，在這個基礎(chǔ)上證明了時空結(jié)構(gòu)和物質(zhì)分布之間的關(guān)系，指明物質(zhì)的存在和分布狀況決定了萬有引力，而時間和空間的性質(zhì)不均勻性引發(fā)了萬有引力。還提出空間"彎曲"學(xué)說，指明時空的幾何性質(zhì)是由非歐幾里得幾何學(xué)的分布決定的。

2.1 狹義相對性原理和廣義相對性原理

狹義相對性原理是我們的研究中心，它指出所有的勻速運動都體現(xiàn)了物理相對性，讓我們再次對它的意義進(jìn)行深入研究。有一點非常明確，根據(jù)狹義相對性原理可以得知，任何運動都不是的，而是相對的。我們再看一下前面說過的路基和車廂的例子，可以這樣來描述發(fā)生的運動：

(a)對于路基來說，車廂是運動的。

(b)對于車廂來說，路基是運動的。

在(a)中，我們選擇的參考物是路基；而在(b)中，選擇的參考物是車廂，這就是我們對運動的描述。如果只是為了描述運動，那么，選擇什么樣的參考物在原則上并不是非常重要。在前面，我們就說過這一點，但這不是我們的研究重點，更不能和廣泛的"相對性原理"混淆在一起。

如果我們描述任意事件時既可以選擇車廂作為參考物又可以選擇路基作為參考物，那么，定律告訴我們，當(dāng)我們用簡單的語言描述自然定律時為：

(a)選擇路基當(dāng)作參考物。

(b)選擇車廂當(dāng)作參考物。

在上面兩種情況的描述中，普遍的自然界定律(如力學(xué)定律、光在真空中的傳播定律)的形式一樣。這一點可以簡單地表達(dá)為：通過物理方法對自然過程進(jìn)行描述時，參考物 和 的含義是相同的，沒有哪一個是獨特的(特別規(guī)劃)。這不同于及時個陳述，推論并不一定能夠保障后一個陳述是正確的，"運動"概念和"參考物"概念無法推導(dǎo)出這個陳述，只有經(jīng)驗事實才能證明這個陳述是否正確。

一直以來，我們都在否認(rèn)所有的參考物 都可以用簡潔的語言去描述自然界定律。我們的想法來自于一個假定：對于伽利略定律來說，一個參考物 所具有的運動狀態(tài)都可以成立，即當(dāng)一個質(zhì)點到其他質(zhì)點的距離足夠遠(yuǎn)時，這個質(zhì)點做勻速直線運動。 (伽利略參考物體)能夠描述的自然界定律是非常簡單的。除了 之外，可以用參考物 描述的自然界定律應(yīng)該也是很簡單的。對于 來說，如果某些參考物進(jìn)行的是勻速直線非旋轉(zhuǎn)運動，那么，在描述自然界定律方面這些參考物和 是等效的。不過，我們選擇的參考物一定要是伽利略參考物，只有這些參考物才會符合我們的假定相對性原理，其他的參考物(如具有不同性質(zhì)的參考物)則不符合。因此，我們把它稱為特殊相對性原理或者狹義相對論。

與此對應(yīng)，我們可以這樣來描述廣義相對性原理：對于所有的參考物來說，無論它的運動狀態(tài)如何，但在描述自然界定律上都是等效的。需要注意的是，在我們深入討論之前要用一個抽象的表達(dá)式去替代這個論述，以后我們會具體解釋其中的原因。

狹義相對性原理的合理性已經(jīng)被證實，所有想要研究普遍化結(jié)果的人都會向著廣義相對性原理的道路前進(jìn)。目前，這種努力成功的機會微乎其微。我們還是去考慮勻速行駛的火車問題，坐在車廂中的乘客不會感覺到車廂在運動。由于這個原因，車廂中的乘客可以說："車廂處于靜止?fàn)顟B(tài)，而鐵路路基在運動。"根據(jù)狹義相對性原理可知，這種解釋非常符合物理學(xué)觀點。

如果車廂的運動不再是勻速的，而是非勻速的，如突然拉動剎車，此時車廂中的乘客會出現(xiàn)身體向前傾的運動，這中減速運動是車廂相對于乘客體現(xiàn)出來的一種力學(xué)運動，它不同于我們以前所接觸的力學(xué)運動。因此，即使某些力學(xué)定律適用于靜止?fàn)顟B(tài)或者勻速運動的車廂，也無法適用于進(jìn)行非勻速運動的車廂。不管怎樣，對于做非勻速運動的車廂來說，伽利略定律顯然無法成立。由于這個原因，我們暫時賦予非勻速運動一種物理實在性，這個做法和廣義相對性原理相反，但不久后我們就會明白，這個做法是錯誤的。

2.1 狹義相對性原理和廣義相對性原理

附 相對性原理

在力學(xué)中，相對性原理是一個基本原理。

一開始，當(dāng)人們研究自然、利用自然力量時，就認(rèn)識到物體個性化之間的聯(lián)系。隨著時間的推移，一個物體和另一個物體之間的距離也會發(fā)生變化。當(dāng)它們依然是所討論的物體的不可分割的一部分時，我們無法用數(shù)列去描述該物體的位置及位置的變化，所以無法把物體的位置和速度進(jìn)行參數(shù)化。如果給定一個物體，它相對于一些物體進(jìn)行運動，然后把這些物體標(biāo)記下來，通過數(shù)列和這些距離相對應(yīng)，于是這些物體變成了參考物，而給定物體到這些物體的距離構(gòu)成了參照空間。與距離相互對應(yīng)的數(shù)形成了一個有序系統(tǒng)。于是，我們將和參考物有著緊密聯(lián)系的坐標(biāo)系引進(jìn)來。在這里，相對性原理指的是坐標(biāo)系的平等性，從一個坐標(biāo)系向另一個坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的可能性，坐標(biāo)變換時剛體的內(nèi)部特性與其質(zhì)點的距離及其結(jié)構(gòu)的不變性。

參照系統(tǒng)變更時拓展物理客體不變性概念的范圍和力學(xué)的發(fā)展過程始終緊密聯(lián)系在一起。17世紀(jì)時，人們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)物體的結(jié)構(gòu)和所選擇的坐標(biāo)系沒有關(guān)系，同時也明白從一個坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到另一個相對于它進(jìn)行勻速直線運動的坐標(biāo)系時，力和加速度之間的關(guān)系具有不變性。如果用現(xiàn)代物理學(xué)中的語言去描述伽利略的偉大發(fā)現(xiàn)，正是如此。它標(biāo)志著近代自然科學(xué)的誕生。

牛頓通過運動三定律得出的結(jié)論體現(xiàn)了相對性原理。不過，運動概念是牛頓力學(xué)的基礎(chǔ)。運動概念像是一架橋梁，把力和加速度聯(lián)系起來。不能用單值去表示力的作用。例如，在一個系統(tǒng)中，力可以產(chǎn)生某個加速度，但在另一個相對于它進(jìn)行加速運動的系統(tǒng)中，相同的力卻會產(chǎn)生另一個加速度(當(dāng)然，加速度也可能是零)。因此，只能用引發(fā)加速度系統(tǒng)中的力去標(biāo)記加速度。牛頓用著名的水桶實驗證明了存在著運動和空間的觀念。對于牛頓來說，離心力是證明運動的主要依據(jù)。

牛頓認(rèn)為，運動是相對于空間來說的，而不是一些個別物體。這種靜止的空間可以認(rèn)為是充滿整個宇宙的數(shù)目不確定的離散狀態(tài)的物質(zhì)和"宇宙氣"共同組成的。物體在空間中的運動，可以看成是一個被個體化的物體和一個無法分割的背景的對照。他認(rèn)為，加速度也是相對于這個難以明確的背景來說的。不過，在具體的動力學(xué)的課程中，一定要使用某個和具體的物體聯(lián)系在一起的計算系統(tǒng)。因此，在明確了動力學(xué)客體的范圍之后，必須把相對靜止的物體和以空間出現(xiàn)的具有特權(quán)的計算系統(tǒng)區(qū)分開。

自由度數(shù)無窮大的系統(tǒng)會限制相對運動。不過，只要我們承認(rèn)不可分割的整體連續(xù)的事件，放棄單個物體的位置變化和運動變化的參數(shù)，否定某些必備的坐標(biāo)系，那么，運動和相對運動就可以相互兼容。對于某個質(zhì)點的熱運動來說，相對性感念就會失去作用。如果宇宙氣體和連續(xù)介質(zhì)能夠結(jié)合成一體，那么，牛頓的空間在理論上就會具有重要的意義。

在物理學(xué)中，通過因果對力學(xué)的終極概念進(jìn)行了解釋。對于物理學(xué)來說，一定要去分析和研究力的概念。物理學(xué)給出了力的數(shù)值，在特殊的情況下，當(dāng)質(zhì)點的運動不會受到摩擦力時，力也許是坐標(biāo)的函數(shù)。這種函數(shù)可以通過引力論、彈性理論、電動力學(xué)理論中對引力、彈性力、電力、磁力的分析給出，而這種分析不同于力學(xué)研究，它按照另一種方式進(jìn)行，這些力脫離了終極概念的范圍。不過，現(xiàn)代科學(xué)的目的是，通過物理方法或者數(shù)學(xué)方法把它們從其他的量中推導(dǎo)出來。

達(dá)朗貝爾在《動力學(xué)》這本書中說，可以用兩個分力去代替作用在質(zhì)點上的力，其中一個分力指向受到約束的運動路線。如果質(zhì)點可以自由移動，那么，它的移動方向是兩個分力構(gòu)成的平行四邊形的對角線方向。其實，質(zhì)點的運動好像只是受到一個力的作用，另一個力似乎沒有作用。達(dá)朗貝爾把這個力叫做"遺失的力"。遺失的力沒有讓質(zhì)點產(chǎn)生加速度，就是系統(tǒng)中失去蹤影了，因為約束反作用力把它抵消了。需要說明的是：遺失的力指的是作用在質(zhì)點上的力和慣性力的合力。作用在質(zhì)點上的力和約束條件決定的反作用力、慣性力相互平衡。也就是說，遺失的力和反作用力相互平衡。

曾經(jīng)，人們把達(dá)朗貝爾引入的慣性力叫做虛構(gòu)的力。此后，動力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為靜力學(xué)問題。每一個運動方程都對應(yīng)著一個平衡方程，平衡方程通過虛構(gòu)的慣性力和運動方程相互區(qū)分。

實在的力和虛構(gòu)的力是相對而言的。如果把達(dá)朗貝爾引進(jìn)的力施加在所論物之上，它就是虛構(gòu)的力；如果把這個力施加在別物之上，它就是實在的力。如果將坐標(biāo)原點從一個物體上移動到另一個物體上，那么，虛構(gòu)的力是實在的，而實在的力卻是虛構(gòu)的。

每個系統(tǒng)都是用屬于這個系統(tǒng)的全體質(zhì)點在這一時刻的位形進(jìn)行表示，可以把這樣的位形當(dāng)作多維空間中的一個點。在《分析力學(xué)》中，拉格朗日描述了系統(tǒng)狀態(tài)及其運動的普適方法，也就是廣義坐標(biāo)法。它描繪出了空間中的質(zhì)點的位置，即讓古典力學(xué)中的原始形象去對應(yīng)被看作多維"空間"的點的系統(tǒng)的位形。從幾何學(xué)的角度而言，這是拉格朗日在科學(xué)中引入四維空間之后，所要采取的下一步行動。當(dāng)拉格朗日在《分析力學(xué)》一書中，將古典力學(xué)原理以四維解析幾何的形式闡釋之后；當(dāng)達(dá)朗貝爾在《百科全書》中的度量這篇文章中，將時間看成是第四維時，他已經(jīng)在科學(xué)中引入了第四維概念。在柯西、凱爾、普留凱爾、黎曼、格拉斯曼的探索下，多維空間的理論在形式上有了很大進(jìn)步。對于相對論和量子力學(xué)來說，這個進(jìn)步為它們提供了豐富的多維幾何學(xué)的解釋。

拉格朗日認(rèn)為，廣義坐標(biāo)除了可以作為質(zhì)點系的笛卡爾坐標(biāo)之外，還可以當(dāng)作描述這個系統(tǒng)位形的某種參數(shù)。如果一個質(zhì)點系統(tǒng)受到引力作用或者彈性力作用，那么，廣義坐標(biāo)決定了每個時刻作用在系統(tǒng)中的各個點上的力(即加速度)。物體的速度不會對加速度產(chǎn)生影響，如果已經(jīng)知道了系統(tǒng)的位形，那么，速度的取值也許不同。如果真是這樣，即使加速度是已知的，也無法確定下一刻系統(tǒng)的位形。因此，如果想要弄清楚系統(tǒng)在未來每刻的狀態(tài)，不僅要知道已知時刻的坐標(biāo)，還要知道物體的速度。

當(dāng)我們把個別物體及其運動從原始的、直接的、無法分割的圖景中分離出來時，我們把物體在空間中改變自己位置的一系列自身同一狀態(tài)看作是某個過程，這是力學(xué)中的原始表象。力學(xué)的原始形象指的是隨著時間的推移，坐標(biāo)改變的自身同一的物體。我們可以"識別出"任何一個相繼時刻的物體，前提條件是坐標(biāo)的連續(xù)變化。如果我們記錄下物體在一個位置和另一個位置的間隔上的所有點，那么，我們可以說出現(xiàn)在面前的是同一個物體。借助于物理客體的這種個體性，在已知物體在某個時刻的狀態(tài)后，我們可以推測出任何一個相繼時刻的狀態(tài)。因此，狀態(tài)指的是標(biāo)志若干物理量的綜合，這種綜合通過單值的形式和每個相繼時刻的、每個相似的綜合建立聯(lián)系。借助于這種狀態(tài)的連續(xù)性和單值的依存關(guān)系，我們可以推導(dǎo)出運動的微分方程。如果初始條件是已知的，通過這個方程就可以預(yù)測出物體以后的運動過程。

物理學(xué)的影響改變了相對性原理的形式。在牛頓運動方程中，純力學(xué)量指的是質(zhì)點的空間坐標(biāo)。對于某個坐標(biāo)系來說，質(zhì)點處于運動狀態(tài)，當(dāng)它從一個慣性系轉(zhuǎn)換到另一個慣性系中時，運動方程體現(xiàn)了協(xié)變性。體現(xiàn)廣義坐標(biāo)的拉格朗日方程，可以用來描述非力學(xué)的運動過程，當(dāng)物體從一個坐標(biāo)系過渡到另一個坐標(biāo)系時，它能否保持原有的協(xié)變性呢？愛因斯坦的相對論讓我們明白：如果所討論的系統(tǒng)做的是勻速直線運動，方程具有協(xié)變性。這樣一來，相對性原理向非力學(xué)過程拓展，并形成了古典物理學(xué)的最終形式。因此，古典物理學(xué)必須用不變的四維間隔去替代原來的不變的空間距離和時間間隔。此時，相對性原理依然是把宏觀物理學(xué)和力學(xué)聯(lián)系在一起的普遍原理。因此，可以認(rèn)為相對論總結(jié)了世界上的古典圖景。

我們把歷史的變更進(jìn)行歸納，然后去討論相對性原理，或者說討論適用于伽利略變換、牛頓運動力學(xué)、狹義相對論、廣義相對論的具有普遍意義的相對性原理。伽利略和牛頓的古典原理用在緩慢的慣性運動中，狹義相對論用在和電磁振蕩傳播的速度相似的慣性運動中，廣義相對論用在引力場中的質(zhì)點或者質(zhì)點系的加速運動中。在上面的情況中，隨著時間的推移，坐標(biāo)以不同的形式發(fā)生變化，指的是在每一時刻，空間中的物理客體在保持自身不變的情況下，從空間中的一個點移動到另一個點上。這個客體可以憑借任意速度(古典的相對性原理)通過這些場所，或者以某個恒定(狹義相對論)速度通過，或者由引力場所決定的(時空彎曲、廣義相對論)速度通過。無論根據(jù)的是何種觀點，只要明確自身同一客體相對它進(jìn)行運動的那個物體，那么，自身同一客體運動的概念就有意義。至于這個論題(是否可以指明位置、速度、加速度的相對性)要用哪種坐標(biāo)去表示，還要由具體實驗決定。把所有已知的相對性理論歸納起來，這才能體現(xiàn)相對性原理的真正意義。