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及時(shí)節(jié) 本著作目的的表述 1 熱的作用服從于一些不變的規(guī)律，如果不借助于數(shù)學(xué)分析就不可能 發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律。我們即將要闡明的這個(gè)理論的目的就是要論證這些規(guī)律；它 把關(guān)于熱傳導(dǎo)的所有物理研究都?xì)w結(jié)為其基礎(chǔ)已由實(shí)驗(yàn)所給出的那些積分運(yùn) 算問題。由于熱的作用永遠(yuǎn)存在，它充斥于一切物質(zhì)和空間之中，它影響工 藝過程，并發(fā)生在宇宙的一切現(xiàn)象之中；因此，沒有任何主題比它與工業(yè)和 自然科學(xué)的進(jìn)步具有更廣泛的聯(lián)系了。

當(dāng)熱在一個(gè)實(shí)體的不同部分之間不均勻地分布時(shí)，它傾向于達(dá)到平衡， 并且慢慢地從較熱部分傳到次熱部分；同時(shí)它在表面耗散，并且耗散在介質(zhì) 或空間中。作用在物體表面的這種自發(fā)輻射傾向于不斷改變它們不同點(diǎn)的溫 度。假定初始溫度已知，那么，熱傳導(dǎo)的問題就在于確定在一給定時(shí)刻一物 體在每一點(diǎn)的溫度是怎樣的。下面的例子將更清楚地弄清這些問題的本質(zhì)。

2 如果我們使一個(gè)直徑很大的金屬環(huán)的同一部分受一個(gè)熱源持續(xù)而均 勻的作用，那么，最靠近熱源的分子將首先被加熱，并且經(jīng)過一定時(shí)間之后 ，這個(gè)固體的每一點(diǎn)都將獲得非常接近于它所能達(dá)到的較高溫度。這個(gè)極限 溫度或較高溫度在不同點(diǎn)上是不同的；它隨它們離受熱源直接作用的那一點(diǎn) 愈遠(yuǎn)而愈低。

當(dāng)這些溫度變成永恒不變時(shí)，熱源在每一時(shí)刻內(nèi)提供恰好補(bǔ)償在這個(gè)環(huán) 的外表面的所有點(diǎn)上所耗散的熱量。

如果現(xiàn)在撤掉這個(gè)熱源，熱將繼續(xù)在這一固體內(nèi)傳導(dǎo)，但是，在介質(zhì)和 空間中所失掉的熱，就再也不會(huì)像以前那樣由這個(gè)熱源提供補(bǔ)償了，因此， 所有溫度都將變化，并且不斷減少，直到它們變得與周圍介質(zhì)的溫度相等為 止。

3 當(dāng)溫度永恒不變，并且保留熱源時(shí)，如果在環(huán)的中周的每一點(diǎn)上作 一個(gè)垂直于環(huán)平面的縱坐標(biāo)，它的長度與那一點(diǎn)的固定溫度成正比，那么， 過這些縱坐標(biāo)端點(diǎn)的曲線就表示這些溫度的永恒狀態(tài)，并且，很容易用分析 來確定這條曲線的性質(zhì)。應(yīng)當(dāng)注意，由于假定與中周垂直的同一個(gè)截面的所 有點(diǎn)的溫度明顯相等，所以假定環(huán)是很細(xì)的。當(dāng)熱源撤走時(shí)，界定這些與不 同點(diǎn)的溫度成正比的縱坐標(biāo)的曲線，就不斷改變它的形式，問題在于用一個(gè) 方程表示這條曲線的這種可變形式，因此，就在于用單個(gè)公式概括這一固體 的所有連續(xù)狀態(tài)。

4 設(shè)z是中周上一點(diǎn)m的不變溫度，x是這一點(diǎn)到熱源的距離，即是包含 在點(diǎn)m和對應(yīng)于熱源位置的點(diǎn)。之間的這段中周弧的長度；z是點(diǎn)m依靠熱源 的恒定作用所能達(dá)到的較高溫度，這一永恒溫度z是距離z的一個(gè)函數(shù)f(x) 。這個(gè)問題的及時(shí)部分在于確定表示這個(gè)固體永恒狀態(tài)的函數(shù)f(x)。

考慮當(dāng)熱源一移開時(shí)繼前一個(gè)狀態(tài)的下一個(gè)變化狀態(tài)；用t表示自熱源 撤除后所經(jīng)歷的時(shí)間，用v表示t時(shí)后點(diǎn)m的溫度值。量v則是距離z和時(shí)間￡ 的某個(gè)函數(shù)F(x，t)；這個(gè)問題的目的是要找到這個(gè)函數(shù)F(x，t)，我們 現(xiàn)在僅僅只知道這個(gè)函數(shù)的初始值是f(x)，因此我們應(yīng)當(dāng)有方程f(x)= F(x，0)。

5 如果我們把一個(gè)形如球或立方體的同質(zhì)實(shí)體放進(jìn)一種保持恒溫的介 質(zhì)中，把它持續(xù)浸泡很長時(shí)間，那么，它將在它的所有點(diǎn)上都達(dá)到與這種流 體相差無幾的溫度。假定取出這一物體，把它轉(zhuǎn)移到轉(zhuǎn)涼的介質(zhì)中去，那么 ，熱將開始在其表面耗散；這一物體不同點(diǎn)的溫度也會(huì)明顯地不同，如果我 們假定它被平行于它的外表面的面分成無窮多個(gè)薄層，那么，在每一時(shí)刻， 每一薄層就向包圍它的薄層傳送一定量的熱。如果設(shè)想每一分子帶有一個(gè)單 獨(dú)的溫度計(jì)，它表示它在每一時(shí)刻的溫度，那么，這一固體的狀態(tài)就時(shí)刻由 所有這些溫度計(jì)所測得的高度的變化系統(tǒng)來表示。有必要用解析公式表示這 些連續(xù)變化，以便我們能夠在這一給定時(shí)刻知道由每一個(gè)溫度計(jì)所標(biāo)明的溫 度，并且比較同一時(shí)刻內(nèi)兩個(gè)相鄰薄層之間所流過的，以及進(jìn)入周圍介質(zhì)的 熱量。

6 如果這一物體是球狀的，并且我們用x表示這一物體某一點(diǎn)到球心的 距離，用t表示自冷卻開始后所經(jīng)歷的時(shí)間，用v表示點(diǎn)m的變化溫度，那么 容易看出，位于與球心距離相同的點(diǎn)有相同的溫度v。這個(gè)量v是半徑-z和時(shí) 間t的某個(gè)函數(shù)F(x，t)；無疑，當(dāng)我們假定￡為零時(shí)，無論z是什么值，v 都是常數(shù)；因?yàn)橛杉俣?，在取出的一瞬間，所有點(diǎn)的溫度都相同。問題在于 確定那個(gè)表示v值的x和t的函數(shù)。

7 接下來應(yīng)該注意，在冷卻期間的每一時(shí)刻，一定熱量通過外表面而 逃逸，并進(jìn)入介質(zhì)。這個(gè)量值不是不變的；它在冷卻開始時(shí)較大。然而，如 果我們考慮半徑為z的內(nèi)球面的變化狀態(tài)，那么我們?nèi)菀卓吹?，在每一時(shí)刻 肯定有一定熱量穿過那個(gè)球面，并且經(jīng)過這一物體距球心更遠(yuǎn)的那一部分。

熱的這一連續(xù)流動(dòng)同它經(jīng)過外表面的流動(dòng)一樣，是可變的，并且兩者是可以 相互比較的量；它們的比是其變化值為距離x和歷經(jīng)時(shí)間t的函數(shù)的數(shù)。有必 要確定這些函數(shù)。

8 如果長時(shí)間在介質(zhì)中浸泡所加熱，并且我們想計(jì)算其冷卻率的這一 物質(zhì)，是一個(gè)立方體，如果我們?nèi)∵@一立方體的中心為原點(diǎn)，取垂直于各面 的線為軸，用三個(gè)直角坐標(biāo)x，y，z確定每一點(diǎn)的位置，那么我們看到，在 時(shí)間￡之后，點(diǎn)m的溫度v是4個(gè)變量x，y，z和t的一個(gè)函數(shù)。在每一時(shí)刻過 這一固體的整個(gè)外表面所流出的熱量是變化的，并且可以相互比較；它們的 比是依賴于時(shí)間t的一些解析函數(shù)，是我們應(yīng)當(dāng)確定的表達(dá)式。

9 讓我們也考察這樣一種情況：一個(gè)充分粗、無限長、其末端受恒溫 作用的矩形棱柱，當(dāng)它周圍的空氣保持較低溫度時(shí)，達(dá)到一個(gè)需要確定 的固定狀態(tài)。由假定，在棱柱基底的底截面上的所有點(diǎn)都有相同和永恒的溫 度。與熱源有距離的截面則不同；這個(gè)平行于基底的矩形面的每一點(diǎn)得到一 固定溫度，但是，這在這同一個(gè)截面的不同點(diǎn)上是不一樣的，在離受空氣作 用的面更近的點(diǎn)上，溫度肯定更低一些。我們還看到，由于這一固體的狀態(tài) 已經(jīng)變成恒定的，因此，在每一時(shí)刻，有一定的熱量流過一個(gè)已知截面，它 們總是相等的。問題在于確定在這一固體的任一已知點(diǎn)上的永恒溫度和在一 個(gè)給定時(shí)間內(nèi)，流過其位置已知的截面的總熱量。

10 取棱柱基底的中心為坐標(biāo)x，y，z的原點(diǎn)，取棱柱本身的軸和垂直 于各底邊的兩條垂線為直角坐標(biāo)軸：其坐標(biāo)為x，y，z的點(diǎn)m的永恒溫度v， 是三個(gè)變量的函數(shù)F(x，y，z)：當(dāng)我們假定無論y和z取什么值x均為0時(shí)， 由假設(shè)，這個(gè)函數(shù)有一個(gè)常數(shù)值。如果由一個(gè)面積所界定、由相同物質(zhì)組成 為這一棱柱的這一受熱物體一直保持沸水溫度，并且浸沒在保持溶冰溫度的 大氣中，那么，讓我們以在一個(gè)單位時(shí)間內(nèi)從一個(gè)與單位面積相等的面積中 所發(fā)出的熱量為一個(gè)熱量單位。

我們看到，在這個(gè)矩形棱柱的永恒狀態(tài)中，在一個(gè)單位時(shí)間內(nèi)，流過垂 直于軸的某一截面的熱量與作為單位的熱量有一個(gè)確定的比，這個(gè)比對所有 截面來說是不同的：它是這一截面所位于的距離x的函數(shù)φ(x)。需要找到 函數(shù)φ(x)的一個(gè)解析表達(dá)式。

11 上述例子足以對我們所談過的不同問題給出一個(gè)思想。

這些問題的解使我們認(rèn)識(shí)到，就每一種固體物質(zhì)來說，熱傳導(dǎo)的作用都 依賴于三個(gè)基本量，它們是物質(zhì)的熱容量(capacity for heat)，它的自 熱導(dǎo)率(own conducibility)和外熱導(dǎo)率(exterior conducibility)。

人們已經(jīng)觀察到，如果同體積不同質(zhì)的兩個(gè)物體有相同的溫度，并且如 果對它們增加相同的熱量，那么，溫度的增量是不相同的，這兩個(gè)增量的比 是它們熱容量的比。如此，規(guī)定熱作用的三個(gè)具體要素中的及時(shí)個(gè)，就被 嚴(yán)格地確定了，并且，物理學(xué)家們很早就知道幾種確定它的值的方法。其他 兩個(gè)要素就不一樣了；雖然它們的作用經(jīng)常被觀察到，但是還沒有一個(gè)嚴(yán)格 的理論能地區(qū)別、定義和測量它們。

一個(gè)物體的固有熱導(dǎo)率或內(nèi)熱導(dǎo)率(the proper or interior conducibility)表示使熱從一個(gè)內(nèi)部分子傳遞到另一個(gè)內(nèi)部分子的能力。

一個(gè)固體的外熱導(dǎo)率或相對熱導(dǎo)率(theexternal or relative conducibility)取決于熱穿過其表面，并從這一物體進(jìn)入一種已知介質(zhì)， 或者，從這種介質(zhì)進(jìn)入這個(gè)固體的能力。這后一種性質(zhì)或多或少地由表面的 光潔狀態(tài)所左右；它也隨這一物體所浸入其中的介質(zhì)而變化；但是內(nèi)熱導(dǎo)率 只隨這一固體的質(zhì)而變化。

在我們的公式中，這三個(gè)基本量由常數(shù)來表示，并且這一理論本身指明 適合于測量它們的值的實(shí)驗(yàn)。一旦它們被確定，則與熱傳導(dǎo)有關(guān)的一切問題 就都只取決于數(shù)值分析。關(guān)于這些特殊性質(zhì)的知識(shí)可能在物理科學(xué)的幾種應(yīng) 用中都直接有用；此外，這種知識(shí)也是不同物質(zhì)的研究和描述的一個(gè)要素。

那些忽視它們與自然界主要作用力之一所具有的這些聯(lián)系的知識(shí)，將是非常 不完善的?？偟恼f來，由于這一理論可以給以熱的使用為基礎(chǔ)的無數(shù)工藝實(shí) 踐帶來清晰性和完整性，所以，還沒有任何一種數(shù)學(xué)理論比它與國民經(jīng)濟(jì)具 有更緊密的聯(lián)系。

12地球溫度問題表明是熱理論的最漂亮的應(yīng)用之一；形成它的一般思想 如下。地球表面的不同部分不等地受到太陽光線的作用；其作用強(qiáng)度取決于 那一地點(diǎn)的緯度；它在24小時(shí)的過程中和在一年的過程中也有變化，并且受到 其他更不易察覺的不均勻性的影響。顯然，地表的變化狀態(tài)與內(nèi)部溫度的變 化狀態(tài)之間存在著一種必然聯(lián)系，它可以由理論導(dǎo)出。我們知道，在地表以 下的某一深度，在一已知地點(diǎn)的溫度無年變：這一永恒的地下溫度隨這一地 點(diǎn)離赤道愈來愈遠(yuǎn)而變得愈來愈低。地球外殼的厚度相對于地球半徑無比地 小，因此我們可以不考慮它，而把我們這顆行星看做是一個(gè)近球體，它的表 面受到這樣一種溫度的作用，這種溫度在一條給定的緯線的所有點(diǎn)上保持不 變，而在另一條緯線上則不同。由此推出，每一個(gè)內(nèi)分子也有由它的位置所 確定的固定溫度。這一數(shù)學(xué)問題在于找出任一已知點(diǎn)的固定溫度，以及日熱 在射入地球內(nèi)部時(shí)所遵循的規(guī)律。

如果我們考慮在我們居住于其表面之上的地殼本身中所相繼發(fā)生的變化 ，那么，這種溫度的差異性就會(huì)使我們更加感興趣。在每24小時(shí)和在每一年的 期間所反復(fù)產(chǎn)生的那些冷暖交替，至今都一直是反復(fù)觀察的對象。我們現(xiàn)在 可以計(jì)算它們，并且可以從一個(gè)一般的理論推導(dǎo)出經(jīng)驗(yàn)所教給我們的所有特 殊事實(shí)。這一問題可簡化成這樣一個(gè)假設(shè)：一個(gè)巨大球體的每一點(diǎn)都受到周 期性溫度的作用，那么分析告訴我們，這些變化的強(qiáng)度根據(jù)什么規(guī)律隨深度 的增加而減弱，在一給定深度上，年變化或日變化的總量是多少，這些變化 的時(shí)期是怎樣的，怎樣從地表所觀測到的變化溫度推出地下溫度的固定值。

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