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第1 章 剛體力學(xué)基礎(chǔ) 物體的彈性

一、內(nèi)容提要

1.剛體的定軸轉(zhuǎn)動

定軸轉(zhuǎn)動的剛體，角位移隨時(shí)間變化的方程稱為剛體的運(yùn)動方程，即

θ = θ( t)

剛體角位移θ 隨時(shí)間的變化率稱為剛體的角速度，即

ω = dθ

dt

剛體角速度隨時(shí)間的變化率稱為剛體的角加速度，即

β = dω

dt = d2 θ

dt2

剛體勻變速定軸轉(zhuǎn)動的運(yùn)動學(xué)規(guī)律為

ω = ω0 + βt ， θ = ω0 t + 1

2 βt2 ， ω2 = ω20

+ 2βθ

2.剛體定軸轉(zhuǎn)動定律

1) 力對軸的力矩

剛體受一位于轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的力F 作用時(shí)，r 為轉(zhuǎn)軸與力作用點(diǎn)間的垂直距離矢量.則

r 與F 的矢積稱為力F 對z 軸的力矩，即

Mz = r F

2) 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律

剛體定軸轉(zhuǎn)動時(shí)，作用在剛體上所有外力相對某一軸的合外力矩，等于剛體相對該軸

轉(zhuǎn)動慣量與剛體角加速度的乘積.這一結(jié)論稱為剛體定軸轉(zhuǎn)動定律，即

Mz = Jz β

3.剛體相對定軸的轉(zhuǎn)動慣量

組成剛體的每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與該質(zhì)點(diǎn)到定軸垂直距離平方的乘積之和，稱為剛體

相對某一定軸的轉(zhuǎn)動慣量.

質(zhì)量不連續(xù)分布的剛體，相對某一定軸z 的轉(zhuǎn)動慣量為

Jz = Σi = 1

mi r2i

質(zhì)量連續(xù)分布的剛體，相對某一定軸z 的轉(zhuǎn)動慣量為

Jz = ∫dJz = ∫r2 dm

4.剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動動能定理

在合外力矩Mz 的作用下，剛體由角位置θ1 轉(zhuǎn)動到角位置θ2 的過程中，力矩Mz 對剛

體所做的功為

A = ∫θ2

θ1

Mz dθ

剛體的轉(zhuǎn)動動能為

Ek = 12

Jz ω2

剛體定軸轉(zhuǎn)動時(shí)，合外力矩對剛體做的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量，這一結(jié)論稱為剛

體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理，即

∫θ2

θ1

Mz dθ = 1

2 Jz ω22

- 1

2 Jz ω21 5.剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量 角動量守恒定律

質(zhì)量為m 的質(zhì)點(diǎn)，以速度v 運(yùn)動時(shí)，角動量為

Lz = r mv

相對定軸z 轉(zhuǎn)動慣量為J z 的剛體以角速度ω 繞z 軸轉(zhuǎn)動時(shí)，角動量為

Lz = Jz ω

剛體相對定軸z 的角動量定理如下：

∫t2

t1

Mz dt = Δ ( Jz ω)

當(dāng)剛體所受的所有外力相對于某一定軸的力矩之和為零時(shí)，剛體對該軸的角動量保

持不變，這一結(jié)論稱為剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律，即

Σ Mz i = 0 ， Lz = Jz ω = 常矢量

6 .剛體的進(jìn)動

剛體在繞自身軸高速轉(zhuǎn)動的同時(shí)，其自轉(zhuǎn)軸繞空間某一軸做轉(zhuǎn)動，這種高速自轉(zhuǎn)物體

的自轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的現(xiàn)象稱為進(jìn)動.

陀螺進(jìn)動的角速度為

ωp =

Mzs

Jzs ωzs sinφ

7.應(yīng)力

彈性體在外力作用下發(fā)生形變時(shí)，物體內(nèi)部各個(gè)相鄰的宏觀部分之間便產(chǎn)生相互作

用的彈性內(nèi)力.單位面積上的彈性內(nèi)力稱為應(yīng)力.應(yīng)力有正應(yīng)力、切應(yīng)力和體應(yīng)力三種.

正應(yīng)力

σ = lim Δ S → 0

Δ Fn

Δ S = dFn dS

切應(yīng)力

τ = lim Δ S → 0

Δ Fτ

Δ S = dFτ

dS

體應(yīng)力

p = lim Δ S → 0

Δ Fn

Δ S = dFn dS

應(yīng)力的大小反映物體恢復(fù)原狀的能力.

在國際單位制中，應(yīng)力的單位為牛頓? 米- 2 (N ? m- 2 ) ，稱為帕斯卡，簡稱帕(Pa) .

8.應(yīng)變

彈性體受外力作用發(fā)生形變時(shí)，相對形變量稱為應(yīng)變.應(yīng)變有線應(yīng)變、切應(yīng)變和體應(yīng)

變?nèi)N.

線應(yīng)變

ε = Δ l

l0

切應(yīng)變

γ = Δ x

d = Δ φ

體應(yīng)變

θ = Δ V

V0

體應(yīng)變描述彈性體體積變化的程度，其值越大，表明彈性體體積越容易變化，反之亦

然.應(yīng)變是相對量，無單位.

9.彈性模量

在彈性限度內(nèi)，材料所受的應(yīng)力與相應(yīng)應(yīng)變之比稱為材料的彈性模量.材料的彈性模

量有楊氏模量、切變模量和體變模量三種.

當(dāng)材料在法向外力的作用下長度發(fā)生變化時(shí)，楊氏模量為

E = σ

ε = l0 Δ Fn

Δ SΔ l

當(dāng)材料在切向外力的作用下形狀發(fā)生變化時(shí)，切變模量為

G = τ

γ = Fτ d

Δ SΔ x

當(dāng)材料在周向均勻的法向外力作用下體積發(fā)生變化時(shí)，體變模量為

K = p

θ

= - V0

Δ V p

式中的" - "號表示壓強(qiáng)增大時(shí)，體積是減小的.

彈性模量表征材料變形的難易程度，其值越大，材料越不容易變形，反之亦然.

在國際單位制中，楊氏模量、切變模量和體變模量的單位均為牛頓? 米- 2 (N ? m- 2 ) .

二、思考題解答

1.1 一個(gè)有固定軸的剛體，受到兩個(gè)力作用，當(dāng)這兩個(gè)力的矢量和為零時(shí)，它們對軸

的力矩之和也一定是零嗎？ 當(dāng)這兩個(gè)力的合力矩為零時(shí)，兩個(gè)力的矢量和也一定為零嗎？

舉例說明之.

答 不一定.例如，兩人在一扇門的兩對面距門轉(zhuǎn)軸不同的位置同時(shí)對門施予大小相

等、方向相反的推力，則門所受的合力為零，但兩力對轉(zhuǎn)軸的力矩之和不為零.

不一定.例如，兩人在一扇門的兩對面同時(shí)對門施予合力矩之和為零的兩個(gè)推力，則

一個(gè)力大，作用點(diǎn)必然離轉(zhuǎn)軸近，另一個(gè)力小，作用點(diǎn)必然離轉(zhuǎn)軸遠(yuǎn)，此時(shí)兩力的矢量和就

不為零.

1.2 剛體的轉(zhuǎn)動慣量由哪些因素決定？

答 剛體的轉(zhuǎn)動慣量由剛體的總質(zhì)量、剛體質(zhì)量相對于轉(zhuǎn)軸的分布以及轉(zhuǎn)軸的方位

決定.

1.3 一個(gè)運(yùn)動的小球碰在門上使門轉(zhuǎn)動.如果忽略門軸的摩擦力，小球和門作為

個(gè)系統(tǒng)，在碰撞過程中，系統(tǒng)的動量是否守恒？ 角動量是否守恒？

答 在小球和門的碰撞過程中，由于小球和門所受的合外力不為零，因此系統(tǒng)的動量

不守恒.因?yàn)橄到y(tǒng)所受的外力對門轉(zhuǎn)軸的力矩分別為零，即外力矩之和為零，所以系統(tǒng)的

角動量守恒.

1.4 一水平圓盤可繞通過其中心的固定鉛直軸轉(zhuǎn)動，盤上站著一個(gè)人，初始時(shí)整個(gè)

系統(tǒng)處在靜止?fàn)顟B(tài)，當(dāng)此人在盤上隨意走動時(shí)，若忽略軸的摩擦，則此系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸的角動

量是否守恒？

答 系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸的角動量守恒.將人和轉(zhuǎn)盤作為一個(gè)系統(tǒng)考慮時(shí)，任意時(shí)刻，系統(tǒng)

受的外力為轉(zhuǎn)軸的軸力、轉(zhuǎn)盤的重力和人的重力.由于轉(zhuǎn)軸的軸力、轉(zhuǎn)盤的重力都過轉(zhuǎn)軸，

相對轉(zhuǎn)軸的力矩為零；人的重力與轉(zhuǎn)軸平行，相對轉(zhuǎn)軸的力矩也為零.因此，系統(tǒng)所受的外

力矩之和為零，所以系統(tǒng)的角動量守恒.

1.5 人造地球衛(wèi)星繞地球做橢圓軌道運(yùn)動，地球在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)O 上，在衛(wèi)星運(yùn)

動的過程中，衛(wèi)星對O 點(diǎn)的角動量是否守恒？ 動量是否守恒？

答 由于衛(wèi)星在運(yùn)動過程中始終受到指向O 點(diǎn)的萬有引力的作用，而萬有引力相對

于O 點(diǎn)的力矩為零，因此衛(wèi)星對O 點(diǎn)的角動量守恒.因?yàn)樾l(wèi)星在運(yùn)動過程中始終受萬有

引力的作用，所以衛(wèi)星的動量不守恒.

1.6 應(yīng)力是怎么定義的？ 靜止在深水中的鐵塊中的應(yīng)力是什么應(yīng)力？

答 彈性體在外力作用下發(fā)生形變時(shí)，物體內(nèi)部各個(gè)相鄰的宏觀部分之間便產(chǎn)生

相互作用的彈性內(nèi)力.物體內(nèi)單位面積上的彈性內(nèi)力稱為應(yīng)力.應(yīng)力的大小反映物體

恢復(fù)原狀的能力.鐵塊是一立體形彈性體，當(dāng)鐵塊靜止在深水中時(shí)，在水作用的法向壓

縮外力Δ Fn 的作用下體積發(fā)生變化.而法向力Δ Fn 與其作用面積Δ S 之比在Δ S → 0 的

極限就是Δ S 上的體應(yīng)力p ，即p = lim Δ S → 0

Δ Fn

Δ S = dFn dS .因此，靜止在深水中的鐵塊中的應(yīng)力

是體應(yīng)力.

1.7 什么是應(yīng)變？ 靜止在深水中的鐵塊中的應(yīng)變是線應(yīng)變、體應(yīng)變，還是切應(yīng)變？

邊長為a 的正方形物塊，在切應(yīng)力的作用下，受力面的邊長變?yōu)閎 ，怎樣表示該物塊的切

應(yīng)變？

答 彈性體受外力發(fā)生形變時(shí)，相對形變量稱為應(yīng)變.靜止在深水中的鐵塊中的應(yīng)變

是體應(yīng)變.邊長為a 的正方形物塊，在切應(yīng)力的作用下發(fā)生的形變是切應(yīng)變.受力面的邊

長變?yōu)閎 ，則該物塊的切應(yīng)變?yōu)棣?= Δ x

d = b - a

a .

1.8 什么是彈性模量？ 彈性模量有哪幾種？

答 在彈性限度內(nèi)，材料所受的應(yīng)力與相應(yīng)應(yīng)變之比稱為材料的彈性模量.材料的彈

性模量有楊氏模量、切變模量和體變模量三種.當(dāng)材料在法向外力的作用下長度發(fā)生變化

時(shí)，在彈性限度內(nèi)，應(yīng)力與相應(yīng)應(yīng)變之比稱為材料的楊氏模量；當(dāng)材料在切向外力的作用

下形狀發(fā)生變化時(shí)，在彈性限度內(nèi)，應(yīng)力與相應(yīng)應(yīng)變之比稱為材料的切變模量；當(dāng)材料在

周向均勻的法向外力作用下體積發(fā)生變化時(shí)，在彈性限度內(nèi)，應(yīng)力與相應(yīng)應(yīng)變之比稱為材

料的體變模量.彈性模量表征材料變形的難易程度，其值越大，材料越不容易變形，反之

亦然.

三、習(xí)題解答

1.1 一微型電動機(jī)的圓柱形轉(zhuǎn)子可繞垂直其橫截面并通過中心的軸轉(zhuǎn)動.設(shè)電動機(jī)

由靜止開始啟動后，轉(zhuǎn)速n 隨時(shí)間t 變化的關(guān)系為n = 540(1 - e- t/2.0 )(r ? s- 1 ) .試求：

(1) 啟動后6.0s 時(shí)，電動機(jī)的轉(zhuǎn)速；

(2) 啟動后6.0s 時(shí)間內(nèi)，電動機(jī)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)；

(3) 電動機(jī)角加速度隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系.

解 (1) 由轉(zhuǎn)速n 隨時(shí)間t 變化的關(guān)系n = 540(1 - e- t/2.0 )( r ? s- 1 ) ，可得t = 6.0s

時(shí)，電動機(jī)的轉(zhuǎn)速為

n = 540(1 - e- t/ 2.0 ) = 540 (1 - e- 6.0/2.0 ) = 540 (1 - e- 3 ) = 513(r ? s- 1 )

(2) 由角速度的定義ω = dθ

dt ，有

dθ = ωdt = 2π ndt = 1080π(1 - e- t/2.0 )dt

對上式兩端積分

∫θ

0 dθ = ∫t

ωdt = ∫t

1080π(1 - e- t/2.0 )dt

可得電動機(jī)角位移隨時(shí)間變化的規(guī)律為

θ = 1080π( t + 2.0e- t/ 2.0 ) - 2160π(rad)

當(dāng)t = 6.0s 時(shí)，角位移為

θ = 1080π(6.0 + 2.0e- 3 ) - 2160π = 4428π(rad)

則啟動后6.0s 時(shí)間內(nèi)，電動機(jī)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為

N = θ

2π = 4428

2π = 2214

(3) 由角加速度的定義可得，任意時(shí)刻電動機(jī)的角加速度為

β = dω

dt = d(2π n)

dt = - 2π 540 - 1

2.0 e- t/2.0 = 540πe- t/2.0 (SI)

答 (1) 啟動后6.0s 時(shí)，電動機(jī)的轉(zhuǎn)速為513r ? s- 1 ；(2) 啟動后6.0s 時(shí)間內(nèi)，電動機(jī)轉(zhuǎn)

過的圈數(shù)為2214 ；(3) 電動機(jī)角加速度隨時(shí)間變化的規(guī)律為β= 540πe- t/2.0 SI .

1.2 由三根質(zhì)量均為m 、長均為l 的細(xì)棒構(gòu)成一平面三角形框架，試求該系統(tǒng)相對

于過任一頂點(diǎn)且垂直于框架平面的軸的轉(zhuǎn)動慣量.

習(xí)題1.2 圖

解 由習(xí)題1.2 圖及轉(zhuǎn)動慣量的定義，該系統(tǒng)相對于過任

一頂點(diǎn)且垂直于框架平面的軸的轉(zhuǎn)動慣量為

Jz = 2 1

3 ml2 + 2∫l/ 2

ml

r2 dx

= 2 1

3 ml2 + 2∫l/ 2

ml

( d2 + x2 )dx

由l2 = d2 + l2

2

，有d2 = 34

l2 .代入上式可得

Jz = 2 1

3 ml2 + 2∫l/ 2

ml

34

l2 + x2 dx

= 2

3 ml2 +∫l/2

32

mldx +∫l/2

2 ml

x2 dx

= 3

2 ml2